高中數學解析幾何中的對稱問題

陳晶

對稱問題是高中數學的一個重要內容，也是平時學習的難點.它的運用非常廣泛，不僅體現在數學知識上，有時還會滲透到物理應用中去.對稱問題的題型主要體現在點關于點對稱，直線關于點對稱，點關于直線對稱，直線關于直線對稱等幾個方面.

一、點關于點對稱

點關于點對稱是大家比較常見的對稱問題，也是最簡單的對稱問題.關于原點對稱可以通過坐標系得出，關于一般點對稱我們可采用中點公式求出對稱點坐標.

例1設點M(2,4)，求點M關于點P(-1,2)對稱的點N的坐標.

分析P點不是坐標原點，要求出N點坐標必須利用中點坐標公式.

解設點N(x,y)，點M(2,4)，點P(-1,2)，由中點坐標公式可得N(-4,0).

二、直線關于點對稱

直線關于點對稱通常轉化為點關于點對稱.在直線上取出兩個特殊點，然后求出兩對稱點可確定直線方程.在解題過程中我們發現直線關于點的對稱直線和原直線是平行的，這樣我們解決此類問題還可設平行直線系，再將一個對稱點坐標代入即可求出.

例2求直線l1:2x-3y+1=0關于點A(-1,-2)對稱的直線l2方程.

方法一分析在l1上找兩個點，求出其在l2上的兩對稱點，確定方程l2.

解在l1上任取兩點，如M(1,1),N(4,3),則M,N關于點A的對稱點M′,N′均在l2上.

得M′(-3,-5),N′(-6,-7),由兩點式可得l2的方程為2x-3y-9=0.

方法二分析可設直線系方程，再代入一個特殊點，就可以確定直線方程了.

解因為l1∥l2,所以設對稱直線方程l2為： 2x-3y+c=0(c≠1).

因為點A到兩直線的距離相等,

所以由點到直線的距離公式得

|-2+6+c|22+32=|-2+6+1|22+32,解得c=-9.

所以l2的方程為2x-3y-9=0.

方法三分析通過點關于點的對稱來處理，結合“代入法”求軌跡方程的思想方法解題.

設P(x,y)是l2上任一點，則P(x,y)關于點A(-1,-2)的對稱點為P′(-2-x,-4-y)

.因為P′在直線l1上,所以2(-2-x)-3(-4-y)+1=0,整理得2x-3y-9=0.

三、點關于直線對稱

在坐標系中我們容易觀察出點關于坐標軸的對稱點，點關于特殊直線y=x的對稱點.但如果面對一般直線的對稱問題時，如假設已知點的坐標是A(x0,y0)，已知直線方程（非坐標軸直線）是y=kx+b，求點A關于已知直線y=kx+b的對稱點B的坐標.解決此類問題就要抓住兩點：①兩點所在直線與已知直線垂直，②兩點的中點在已知直線上.

例3 求點A(-1,-2)關于直線l∶2x-3y+1=0的對稱點A′的坐標.

分析求解的關鍵是抓住垂直與平分這兩個幾何條件上，轉化為代數關系列方程求解.

解設A′(x,y)，AA′中點坐標為(x-12,y-22)

.由已知得 y+2x+1·23=-1，

2×x-12-3×y-22+1=0,

解得x=-3313，

y=413.

所以A′(-3313,413).

四、直線關于直線對稱

直線關于直線的對稱是以點關于直線的對稱為基礎的，其求解方法和點關于直線的對稱相同.但是直線關于直線的對稱問題中，兩直線的位置關系有兩種不同的情況：兩直線平行，兩直線相交.當兩直線平行時，通常設平行直線系方程，然后通過兩組平行線間的距離相等求出直線方程.當兩直線相交時，解決此類問題的方法很多，主要有：特殊值法，交點法，動點代入法等.為了方便，我們通常采用取交點的方法.下面我們以相交直線為例.

例4求直線m:3x-2y-6=0關于直線l1∶2x-3y+1=0的對稱直線l2的方程.

分析線關于線的對稱問題，可以轉化為點關于直線的對稱問題來解決.

解在直線m上任取一點，如M(2,0)，則M關于l1的對稱點M′必在l2上.

設對稱點M′(a,b).

則由2×a+22-3×b+02+1=0,

b-0a-2×23=-1,得 M′(613,3013).

設m與l1的交點為N，由2x-3y+1=0

3x-2y-6=0得N(4,3).

又l2過N點，由兩點式得直線l2的方程為9x-46y+102=0.

五、對稱問題與物理知識結合應用

由物理光學知識知道，入射光線與反射光線關于法線對稱.所以解決光學對稱題，經常會利用到點關于線的對稱知識.

例5從點（2，3）射出的光線沿與直線x-2y=0平行的直線射到y軸上，求經y軸反射的光線所在的直線方程.

解由題意得，射出的光線方程為y-3=12(x-2),

即得x-2y+4=0與y軸的交點為(0,2),

又(2,3)關于y軸的對稱點為(-2,3),所以反射光線所在直線過(0,2),(-2,3).故方程為x+2y-4=0.

例６在直角坐標系中，A(4,0),B(0,4),從點P(2,0)射出的光線經直線AB反射后，再射到直線OB上，最后經直線OB反射后又回到P點，求光線所經過的路程.

解設點P關于直線AB，y軸的對稱點分別為D,C,易求得D(4,2),C(-2,0),則△PMN的周長=|PM|+|MN|+|PN|=

|DM|+|MN|+|NC|.由對稱性，D,M,N,C共線，所以|CD|即為所求，由兩點間的距離公式得|CD|=40=210.

endprint

對稱問題是高中數學的一個重要內容，也是平時學習的難點.它的運用非常廣泛，不僅體現在數學知識上，有時還會滲透到物理應用中去.對稱問題的題型主要體現在點關于點對稱，直線關于點對稱，點關于直線對稱，直線關于直線對稱等幾個方面.

一、點關于點對稱

點關于點對稱是大家比較常見的對稱問題，也是最簡單的對稱問題.關于原點對稱可以通過坐標系得出，關于一般點對稱我們可采用中點公式求出對稱點坐標.

例1設點M(2,4)，求點M關于點P(-1,2)對稱的點N的坐標.

分析P點不是坐標原點，要求出N點坐標必須利用中點坐標公式.

解設點N(x,y)，點M(2,4)，點P(-1,2)，由中點坐標公式可得N(-4,0).

二、直線關于點對稱

直線關于點對稱通常轉化為點關于點對稱.在直線上取出兩個特殊點，然后求出兩對稱點可確定直線方程.在解題過程中我們發現直線關于點的對稱直線和原直線是平行的，這樣我們解決此類問題還可設平行直線系，再將一個對稱點坐標代入即可求出.

例2求直線l1:2x-3y+1=0關于點A(-1,-2)對稱的直線l2方程.

方法一分析在l1上找兩個點，求出其在l2上的兩對稱點，確定方程l2.

解在l1上任取兩點，如M(1,1),N(4,3),則M,N關于點A的對稱點M′,N′均在l2上.

得M′(-3,-5),N′(-6,-7),由兩點式可得l2的方程為2x-3y-9=0.

方法二分析可設直線系方程，再代入一個特殊點，就可以確定直線方程了.

解因為l1∥l2,所以設對稱直線方程l2為： 2x-3y+c=0(c≠1).

因為點A到兩直線的距離相等,

所以由點到直線的距離公式得

|-2+6+c|22+32=|-2+6+1|22+32,解得c=-9.

所以l2的方程為2x-3y-9=0.

方法三分析通過點關于點的對稱來處理，結合“代入法”求軌跡方程的思想方法解題.

設P(x,y)是l2上任一點，則P(x,y)關于點A(-1,-2)的對稱點為P′(-2-x,-4-y)

.因為P′在直線l1上,所以2(-2-x)-3(-4-y)+1=0,整理得2x-3y-9=0.

三、點關于直線對稱

在坐標系中我們容易觀察出點關于坐標軸的對稱點，點關于特殊直線y=x的對稱點.但如果面對一般直線的對稱問題時，如假設已知點的坐標是A(x0,y0)，已知直線方程（非坐標軸直線）是y=kx+b，求點A關于已知直線y=kx+b的對稱點B的坐標.解決此類問題就要抓住兩點：①兩點所在直線與已知直線垂直，②兩點的中點在已知直線上.

例3 求點A(-1,-2)關于直線l∶2x-3y+1=0的對稱點A′的坐標.

分析求解的關鍵是抓住垂直與平分這兩個幾何條件上，轉化為代數關系列方程求解.

解設A′(x,y)，AA′中點坐標為(x-12,y-22)

.由已知得 y+2x+1·23=-1，

2×x-12-3×y-22+1=0,

解得x=-3313，

y=413.

所以A′(-3313,413).

四、直線關于直線對稱

直線關于直線的對稱是以點關于直線的對稱為基礎的，其求解方法和點關于直線的對稱相同.但是直線關于直線的對稱問題中，兩直線的位置關系有兩種不同的情況：兩直線平行，兩直線相交.當兩直線平行時，通常設平行直線系方程，然后通過兩組平行線間的距離相等求出直線方程.當兩直線相交時，解決此類問題的方法很多，主要有：特殊值法，交點法，動點代入法等.為了方便，我們通常采用取交點的方法.下面我們以相交直線為例.

例4求直線m:3x-2y-6=0關于直線l1∶2x-3y+1=0的對稱直線l2的方程.

分析線關于線的對稱問題，可以轉化為點關于直線的對稱問題來解決.

解在直線m上任取一點，如M(2,0)，則M關于l1的對稱點M′必在l2上.

設對稱點M′(a,b).

則由2×a+22-3×b+02+1=0,

b-0a-2×23=-1,得 M′(613,3013).

設m與l1的交點為N，由2x-3y+1=0

3x-2y-6=0得N(4,3).

又l2過N點，由兩點式得直線l2的方程為9x-46y+102=0.

五、對稱問題與物理知識結合應用

由物理光學知識知道，入射光線與反射光線關于法線對稱.所以解決光學對稱題，經常會利用到點關于線的對稱知識.

例5從點（2，3）射出的光線沿與直線x-2y=0平行的直線射到y軸上，求經y軸反射的光線所在的直線方程.

解由題意得，射出的光線方程為y-3=12(x-2),

即得x-2y+4=0與y軸的交點為(0,2),

又(2,3)關于y軸的對稱點為(-2,3),所以反射光線所在直線過(0,2),(-2,3).故方程為x+2y-4=0.

例６在直角坐標系中，A(4,0),B(0,4),從點P(2,0)射出的光線經直線AB反射后，再射到直線OB上，最后經直線OB反射后又回到P點，求光線所經過的路程.

解設點P關于直線AB，y軸的對稱點分別為D,C,易求得D(4,2),C(-2,0),則△PMN的周長=|PM|+|MN|+|PN|=

|DM|+|MN|+|NC|.由對稱性，D,M,N,C共線，所以|CD|即為所求，由兩點間的距離公式得|CD|=40=210.

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對稱問題是高中數學的一個重要內容，也是平時學習的難點.它的運用非常廣泛，不僅體現在數學知識上，有時還會滲透到物理應用中去.對稱問題的題型主要體現在點關于點對稱，直線關于點對稱，點關于直線對稱，直線關于直線對稱等幾個方面.

一、點關于點對稱

點關于點對稱是大家比較常見的對稱問題，也是最簡單的對稱問題.關于原點對稱可以通過坐標系得出，關于一般點對稱我們可采用中點公式求出對稱點坐標.

例1設點M(2,4)，求點M關于點P(-1,2)對稱的點N的坐標.

分析P點不是坐標原點，要求出N點坐標必須利用中點坐標公式.

解設點N(x,y)，點M(2,4)，點P(-1,2)，由中點坐標公式可得N(-4,0).

二、直線關于點對稱

直線關于點對稱通常轉化為點關于點對稱.在直線上取出兩個特殊點，然后求出兩對稱點可確定直線方程.在解題過程中我們發現直線關于點的對稱直線和原直線是平行的，這樣我們解決此類問題還可設平行直線系，再將一個對稱點坐標代入即可求出.

例2求直線l1:2x-3y+1=0關于點A(-1,-2)對稱的直線l2方程.

方法一分析在l1上找兩個點，求出其在l2上的兩對稱點，確定方程l2.

解在l1上任取兩點，如M(1,1),N(4,3),則M,N關于點A的對稱點M′,N′均在l2上.

得M′(-3,-5),N′(-6,-7),由兩點式可得l2的方程為2x-3y-9=0.

方法二分析可設直線系方程，再代入一個特殊點，就可以確定直線方程了.

解因為l1∥l2,所以設對稱直線方程l2為： 2x-3y+c=0(c≠1).

因為點A到兩直線的距離相等,

所以由點到直線的距離公式得

|-2+6+c|22+32=|-2+6+1|22+32,解得c=-9.

所以l2的方程為2x-3y-9=0.

方法三分析通過點關于點的對稱來處理，結合“代入法”求軌跡方程的思想方法解題.

設P(x,y)是l2上任一點，則P(x,y)關于點A(-1,-2)的對稱點為P′(-2-x,-4-y)

.因為P′在直線l1上,所以2(-2-x)-3(-4-y)+1=0,整理得2x-3y-9=0.

三、點關于直線對稱

在坐標系中我們容易觀察出點關于坐標軸的對稱點，點關于特殊直線y=x的對稱點.但如果面對一般直線的對稱問題時，如假設已知點的坐標是A(x0,y0)，已知直線方程（非坐標軸直線）是y=kx+b，求點A關于已知直線y=kx+b的對稱點B的坐標.解決此類問題就要抓住兩點：①兩點所在直線與已知直線垂直，②兩點的中點在已知直線上.

例3 求點A(-1,-2)關于直線l∶2x-3y+1=0的對稱點A′的坐標.

分析求解的關鍵是抓住垂直與平分這兩個幾何條件上，轉化為代數關系列方程求解.

解設A′(x,y)，AA′中點坐標為(x-12,y-22)

.由已知得 y+2x+1·23=-1，

2×x-12-3×y-22+1=0,

解得x=-3313，

y=413.

所以A′(-3313,413).

四、直線關于直線對稱

直線關于直線的對稱是以點關于直線的對稱為基礎的，其求解方法和點關于直線的對稱相同.但是直線關于直線的對稱問題中，兩直線的位置關系有兩種不同的情況：兩直線平行，兩直線相交.當兩直線平行時，通常設平行直線系方程，然后通過兩組平行線間的距離相等求出直線方程.當兩直線相交時，解決此類問題的方法很多，主要有：特殊值法，交點法，動點代入法等.為了方便，我們通常采用取交點的方法.下面我們以相交直線為例.

例4求直線m:3x-2y-6=0關于直線l1∶2x-3y+1=0的對稱直線l2的方程.

分析線關于線的對稱問題，可以轉化為點關于直線的對稱問題來解決.

解在直線m上任取一點，如M(2,0)，則M關于l1的對稱點M′必在l2上.

設對稱點M′(a,b).

則由2×a+22-3×b+02+1=0,

b-0a-2×23=-1,得 M′(613,3013).

設m與l1的交點為N，由2x-3y+1=0

3x-2y-6=0得N(4,3).

又l2過N點，由兩點式得直線l2的方程為9x-46y+102=0.

五、對稱問題與物理知識結合應用

由物理光學知識知道，入射光線與反射光線關于法線對稱.所以解決光學對稱題，經常會利用到點關于線的對稱知識.

例5從點（2，3）射出的光線沿與直線x-2y=0平行的直線射到y軸上，求經y軸反射的光線所在的直線方程.

解由題意得，射出的光線方程為y-3=12(x-2),

即得x-2y+4=0與y軸的交點為(0,2),

又(2,3)關于y軸的對稱點為(-2,3),所以反射光線所在直線過(0,2),(-2,3).故方程為x+2y-4=0.

例６在直角坐標系中，A(4,0),B(0,4),從點P(2,0)射出的光線經直線AB反射后，再射到直線OB上，最后經直線OB反射后又回到P點，求光線所經過的路程.

解設點P關于直線AB，y軸的對稱點分別為D,C,易求得D(4,2),C(-2,0),則△PMN的周長=|PM|+|MN|+|PN|=

|DM|+|MN|+|NC|.由對稱性，D,M,N,C共線，所以|CD|即為所求，由兩點間的距離公式得|CD|=40=210.

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