球與平面彈塑性接觸的計算分析

官春平，金宏平

(1.廣東輕工職業技術學院，廣州 510300；2.湖北汽車工業學院 機械工程學院，湖北 十堰 442002)

滾動軸承作為機械設備的關鍵部件，其運行狀態直接影響到整個機械系統的性能。據統計，約30%的旋轉機械故障由滾動軸承的損傷造成。對于小型軸承，由于承受的載荷較小，通常假定軸承的內、外圈為完全剛性，而滾動體為彈性變形，然后采用Hertz接觸理論研究軸承的接觸應力和變形等。但對于大型軸承，如風力發電機軸承、工程機械的轉盤軸承等，由于其支承結構本身受載變形較大，內、外圈滾道與滾動體在接觸點會發生一定程度的塑性變形，這種情況超出了Hertz彈性接觸理論的適用范圍，因此必須采用彈塑性接觸分析來研究軸承的接觸載荷、接觸應力和接觸變形等。

由于軸承的結構和所承受的工作載荷均具有對稱性，因此可以將其等效為單個滾動體與內、外圈的接觸問題。而對于球軸承，為了便于分析，一般將其簡化為球與平面的接觸。根據接觸力學理論，在球與平面的接觸過程中，當接觸變形較小時，接觸體處于完全彈性接觸狀態，可以采用Hertz接觸理論進行分析。當接觸變形超過某一值后，接觸體將發生屈服而出現彈塑性變形。最初的塑性變形出現在接觸體內部，塑性區域位于接觸中心的正上方，而接觸區域仍然處于彈性變形階段。隨著外部載荷增加，接觸變形進一步增大，接觸體的塑性變形區域逐漸擴大，處于接觸區域的材料也會發生屈服，此時，接觸區域處于彈塑性變形階段[1]。由于材料的彈塑性變形使得球與平面的接觸問題復雜化，不僅存在接觸的非線性和幾何變形的非線性，還存在材料塑性變形的非線性，以致無法用解析模型來描述球與平面的接觸過程。為此，不少學者根據接觸力學和變形機理推導了多種近似解析模型，但由于目的不同，這些模型之間存在較大差別[2-6]。如果滾動體長期處于彈塑性或塑性接觸狀態，會嚴重影響軸承的壽命和旋轉精度。因此，有必要對球與平面發生彈塑性接觸時的參數進行研究，以便為軸承的設計或選用提供技術支持。

1 球與平面彈塑性接觸理論分析

根據Tabor理論[1]，當球與平面的接觸狀態從完全彈性接觸階段轉變到完全塑性變形階段，即處于彈塑性變形階段時，其最大接觸應力p0將從0.6H增加到3H(H為材料的硬度)。由于該階段接觸區域既有彈性變形又有塑性變形，因此接觸半徑a、接觸載荷F與接觸變形δ之間的關系比較復雜，此時接觸應力分布也不能用Hertz接觸應力分布公式來描述。針對這種情況，文獻[7]將接觸應力進行分區假設：接觸區域的中間部分存在塑性變形，其接觸應力均勻分布且等于完全塑性變形時的接觸應力；而接觸區域的其他部分處于彈性變形階段，其接觸應力為Hertz接觸應力分布，并從最大接觸應力逐漸變為0。文獻[8]在此基礎上提出了“有限接觸應力”的接觸應力分布模型，如圖1所示，其接觸應力表達式為

圖1 沿接觸面的接觸應力分布

(1)

式中：E1，E2分別為球與平面材料的彈性模量；ν1，ν2分別為球與平面的泊松比；Re為材料的屈服強度；R為球的半徑；a為接觸半徑；b為接觸區域中心到彈塑性接觸應力分界點的徑向距離。

根據接觸應力連續性條件，在分界點處有

p(b)=CRe。

(2)

接觸半徑a遠小于球半徑R, 因此可得C的近似值為2.8，即在彈塑性變形階段，接觸區域中塑性變形部分的接觸應力為常量。然而，根據文獻[9]可知，在發生初始屈服時，p0=1.6Re。根據Tabor理論[1]，當球與平面接觸處于完全塑性變形時，p0=(2.8～3)Re。因此C應該是與接觸變形δ或接觸半徑a有關的變量，有必要對“有限應力分布”的假設進行適當修正，即

(3)

式中：k為與接觸變形δ或接觸半徑a有關的函數。

將(3)式在整個接觸區域進行積分，可以得到球與平面接觸的接觸載荷為

(4)

根據接觸應力連續性條件，當r=b時，由(3)式可得

(5)

對(5)式進行數學變換可得

(6)

由(4)和(6)式可得

(7)

在(7)式右邊，只有k和a是未知數，而k無法通過解析法求得，a無法準確測量，因而通過有限元仿真對其進行求解。

根據(7)式計算出球與平面接觸的平均接觸應力pm為

(8)

當球與平面的接觸狀態從彈性變形轉變到彈塑性變形時[9]，其臨界點的平均接觸應力pmy為

(9)

式中：Fy和ay分別為接觸變形處于臨界屈服狀態時的接觸載荷和接觸半徑。

將(9)式代入(8)式，計算得到臨界點處的接觸應力系數k=1.466，因此k的取值范圍為1.466～3。

2 有限元仿真

為提高有限元仿真的效率，減小工作量，在建模時將球與平面的接觸模型簡化為軸對稱平面結構并采用圓柱坐標進行分析，如圖2所示。在ABAQUS中采用解析剛體來模擬球。球與平面在對稱軸上為軸對稱約束，平面底部施加水平約束。通過對球施加z向位移來實現加載，根據球上的反作用力獲得接觸載荷。在仿真中，模型材料采用理想彈塑性材料。

圖2 壓痕模型圖

3 仿真結果分析

根據Hertz接觸理論[1]，球與平面彈性接觸的接觸半徑與接觸變形的關系為

(10)

式中：δy為接觸處于臨界屈服點時的接觸變形。

球與平面的接觸處于完全塑性變形階段時，接觸半徑與接觸變形之間的關系式為[10]

(11)

根據有限元仿真分析得到的接觸半徑與接觸變形之間的變化關系如圖3所示。從圖中可以看出，當接觸變形較小時，球與平面的接觸處于彈性變形階段，接觸半徑和接觸變形之間的關系與(10)式相符。隨著接觸載荷的增大，接觸變形增大，球與平面的接觸半徑也迅速增大。當接觸半徑a/ay=18.1時，接觸面積A/Ay=2δ/δy(Ay為臨界屈服時的接觸面積)，此時δ/δy=163。

對圖3所示的接觸半徑與接觸變形的曲線進行擬合可得

圖3 接觸半徑與接觸變形的關系圖

(12)

由此可知，當δ=δy,a/ay=0.961時，與(10)式的計算結果相比較，擬合誤差為3.9%；當δ/δy=162，a/ay=17.97時，與(11)式的計算結果相比較，擬合誤差為0.17%。可見，其擬合精度可以滿足工程需要。

有限元仿真分析得到的最大接觸應力與接觸變形之間的變化關系如圖4所示。從圖中可以看出，當球與平面的接觸處于彈性變形階段，即δ/δy<5.4時，最大接觸應力隨接觸變形的增大呈線性增大趨勢；當δ/δy>5.4時，球與平面的接觸進入到彈塑性變形階段，接觸應力增速變慢，其主要原因是接觸面積快速增大。當δ/δy=163時，球與平面的接觸進入到完全塑性變形階段，此時p0/Re=2.82。

圖4 最大接觸應力與接觸變形的關系圖

對圖4的曲線進行分析，并結合(3)式得到k與接觸變形間的擬合函數為

(13)

平均接觸應力和屈服強度之比F/(ARe)與接觸變形的變化關系如圖5所示。從圖中可以看出，當1<δ/δy<2.55時，球與平面接觸中彈性變形占主要部分，因此，可以用Hertz接觸模型進行分析。當δ/δy>2.55時，球與平面接觸中的塑性變形區域擴大，由于接觸面積比接觸載荷增大的快，因此其平均接觸應力小于Hertz接觸應力。

圖5 平均接觸應力和屈服強度之比與接觸變形的關系圖

根據(7)～(9)式及臨界參數值，在彈塑性變形階段有

(14)

聯立(12)～(14)式，可得到彈塑性變形階段接觸載荷與接觸變形間的計算關系。有限元仿真結果和Hertz接觸模型計算結果對比如圖6所示。從圖中可以看出，當δ/δy=1時，二者誤差不超過7%。

圖6 仿真結果與Hertz接觸模型計算結果對比圖

對于半徑為10 mm的GCr15鋼球，其彈性模量E=210 GPa，泊松比ν=0.3，屈服強度Re=520 MPa，當其接觸變形δ=0.002 7 mm時，根據(9)，(12)～(14)式，可以得到其與剛性平面發生彈塑性接觸的參數，計算結果見表1。

表1 彈塑性接觸參數計算結果

4 結束語

以彈性接觸理論和彈塑性力學為基礎，分析了球與平面發生彈塑性接觸時的應力分布。采用有限元分析方法獲得了彈塑性接觸時的接觸半徑、接觸應力與接觸變形之間的關系。基于“有限應力分布”假設，建立了球與平面彈塑性接觸的半解析模型，可獲得二者間的接觸半徑、最大接觸應力和接觸載荷等參數，為球軸承的設計與選型提供參考。