從高中數學的思想方法重視應用意識能力

劉海洋

數學思想和方法越來越為大眾所熟知，數學的應用能力越來越受到人們的重視.在高中數學教學中，數學教師已經不再僅限于教授學生枯燥的數學知識，而是越來越重視對學生的應用意識和能力的培養.數學課堂是高中數學知識的殿堂，就我國目前的數學教學而言，數學教師還是主要通過數學課堂傳授知識，增強學生的數學應用意識和能力.

一、總結經驗和方法

探索自然、解決問題、探知奧秘的過程中，經過總結歸納，逐步形成了具有顯著功效的經驗和方法，并加以提煉升華，形成了具有理論性的方法和實踐.學生作為經歷階段學習歷程的客觀存在體，在較長時間段的學習探知過程中，通過探知新知、解答問題的直接活動，獲取和掌握一定的學習方法和經驗，同時，在教師的指導和幫助下，也獲得了解決問題、學習新知的方法和策略.這些直接經驗和間接成果，經過歸納和提煉，逐步轉化成為學生進行知識學習的思想策略.在教學實踐中，學生良好數學思想的建立，能夠為教學活動的深入推進和學習活動的有效開展，提供方法指導和思想保障.

如,在講到三垂線定理時，教師可以制作一組幻燈片，以立方體為模型，使之從不同方位轉動，得到不同位置的垂線. 學生可以從中獲得感性認識，加深對定理中各種情況的理解，使學生對定理的應用更加靈活，從而提高學習效率.另外，不僅教師在課堂上針對不同的教學內容合理利用計算機技術是非常有必要的，而且教師還要積極引導學生合理利用計算機技術，再如,教師在講“循環語句”的理解時，在示范操作尋找滿足1×3×5×7…>1000條件的最小整數后讓學生思考:(1)1×3×5×7…≦1000成立的最大整數?(2)若交換記數與累乘的順序,則輸出語句有何改變?(3)輸出語句放在循環體內,則結果有何變化?通過這樣變式練習思考,然后進行操作加以驗證，讓每個學生圍繞探索的問題，明確探索的方向，思考出自己的方法，思維方式可以自由，開放的去摸索數學知識的產生過程，使學生成為知識的主人，感到自己就是一個發現者、研究者、探索者，從而充滿了學習信心和欲望，增強了創新能力.

二、問題是數學的“心臟”

數學學科知識內涵和架構體系的承載體，更是教學目標要求和學生能力培養的重要平臺.教育實踐學指出，高中生問題解答的過程，就是觀察比較、分析綜合、分類歸納、抽象概括的過程，有助于學生學習能力的培養和提升.高中數學新課標倡導讓每個學生在學習過程中，學習能力和素養得到充分而又顯著的鍛煉和發展.高中數學作為高中學科教學的重要組成部分，在培育學生良好學習能力方面，發揮重要作用.

高中數學的學習至關重要，這不僅是在為高考做準備，也是在為大學的學習打基礎.隨著傳統模式下的教育弊端日益突出，教育制度不斷在改善，新課改的新教學目標中，要求學生從過去應試模式下的解題型轉變為創新型、實踐型，這就要求學生具備創造性思維的能力.情景教學的引用，將是一個重大的突破，可以從不同層次對教學產生積極地影響，從而提高課堂教學質量.

例在△ABC中，已知AF=42，且三內角A、B、C滿足sinB-sinA=12sinC，建立直角坐標系，求頂點C的軌跡方程．

解析如圖1，以AB邊所在的直線為x軸，AB的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系，則點A(-22,0)、點B(22，0），由正弦定理得到sinA=BC2R，sinC=AB2R．

因為sinB-sinA=12sinC，則AC-BC=AB2，所以CA-CB=12AB=22

由雙曲線的定義知道，點C的軌跡是以A、B為焦點的雙曲線的右支，且a=2、c=22，所以b2=c2-a2=6．所以頂點點C的軌跡方程為x22-y26=1(x>2)，則點C的軌跡為雙曲線的右支且除去點(2,0)．

解題技巧解決本題的關鍵是尋找動點C的約束關系，同時要注意以下兩點：（1）將角的關系sinB-sinA=12sinC轉化為CA-CB=12AB=22為定值．（2）不可忽視“三角形”這一條件，由A、B、C三點不共線，則需要除去點(2,0)．

舉一反三：已知定點A(3,0)和定圓C：(x+3)2+y2=16，動圓與圓C外切，并且過點A，求動圓圓心P的軌跡方程．

解設動圓圓心為P(x,y)，又圓C的圓心為C(-3,0)，則由已知條件得到PC-PA=4

評析由題設條件能夠判斷出動點的軌跡是雙曲線，可以根據雙曲線的定義確定其方程，這樣就可以減少運算量，提高解題速度．探究雙曲線，把握關鍵點，尋求方法點，那對于求雙曲線的標準方程一定游刃有余．

三、建構解決問題策略

1．重視通性通法教學,發展學生概括思想

數學思想在高中數學教學中，比數學基礎知識更為重要.它蘊涵在數學知識發生、發展和應用的過程中，有更高的層次和地位．是數學意識的范疇，用以發展數學解決能力.數學方法是數學思想的具體體現，具有模式化與可操作性的特征.只有對數學思想與方法有概括和理解能力，才能解決問題得心應手；只有領悟數學思想與方法，才能將數學能力發展起來.

每一種數學思想與方法，都會在特定環境中有可以依據的基本理論，如分類思想可以分為：概念本身的分類，象等比數列的求和公式中對公比的分類和直線方程中對斜率的分類等；再如同解變形中需要分類的，含參數問題對參數的討論、解不等式組中解集的討論等；又如數學方法的選擇，二次函數問題常用配方法，含參問題常用待定系數法等.

在數學課堂教學中，教師要多重視通性通法，淡化特殊技巧，使學生認識“思想”或“方法”的實用性和特殊性，知道在何種情況下使用更為有效，從而培養和提高學生正確應用數學思想和方法，最終提高其解決問題的能力．

3．進行開放題和新型題訓練，拓寬知識面

在高中數學題型中，很多都是要著重考查學生分析和解決問題的能力.首要環節就是要讓學生先理解題意，而后進一步運用數學思想和方法解決問題.

隨著近年來新技術革命的飛速發展，新課標也提出要培養更多具有數學素質，超強創造能力的人才，這些很快就體現在高考的出題方面.尤其是一些新背景題，還有開放題的出現，更加注重了對高考學生能力的考查.由于開放題的特征是題目條件不充分，不能有確定的結論，而新背景題的背景設置模糊，目的是給學生在題意的理解和解題方法的選擇上制造困難，訓練學生的數學知識面.為此，導致很多高考生失分率較高.如很多學生由于對“壟”和“減薄率不超過 ”無法正確理解而不知所措，遇到一些背景改變的類型題就束手無策.又如在讀懂所給圖形的前提下，才能正確作出解答的一些題型，部分學生也往往因為見識較少，而導致失分很高.因此，教師一定在平時適當進行開放題和新型題的訓練，對學生的知識面有所拓寬，這樣才能從根本上有效提高分析和解決問題的能力，并作出必要的補充.積極培養起數學思想，同時還要加強對數學方法的綜合研判能力.

例如在數學解題過程中，要讓學生解決問題之后，養成回過頭對解題活動進行回顧探討的習慣，這是非常有益的一個環節，可以讓學生對自己的解題思路逐漸清晰準確，并建立自己的解題思路和風格.

數學思想和方法越來越為大眾所熟知，數學的應用能力越來越受到人們的重視.在高中數學教學中，數學教師已經不再僅限于教授學生枯燥的數學知識，而是越來越重視對學生的應用意識和能力的培養.數學課堂是高中數學知識的殿堂，就我國目前的數學教學而言，數學教師還是主要通過數學課堂傳授知識，增強學生的數學應用意識和能力.

一、總結經驗和方法

探索自然、解決問題、探知奧秘的過程中，經過總結歸納，逐步形成了具有顯著功效的經驗和方法，并加以提煉升華，形成了具有理論性的方法和實踐.學生作為經歷階段學習歷程的客觀存在體，在較長時間段的學習探知過程中，通過探知新知、解答問題的直接活動，獲取和掌握一定的學習方法和經驗，同時，在教師的指導和幫助下，也獲得了解決問題、學習新知的方法和策略.這些直接經驗和間接成果，經過歸納和提煉，逐步轉化成為學生進行知識學習的思想策略.在教學實踐中，學生良好數學思想的建立，能夠為教學活動的深入推進和學習活動的有效開展，提供方法指導和思想保障.

如,在講到三垂線定理時，教師可以制作一組幻燈片，以立方體為模型，使之從不同方位轉動，得到不同位置的垂線. 學生可以從中獲得感性認識，加深對定理中各種情況的理解，使學生對定理的應用更加靈活，從而提高學習效率.另外，不僅教師在課堂上針對不同的教學內容合理利用計算機技術是非常有必要的，而且教師還要積極引導學生合理利用計算機技術，再如,教師在講“循環語句”的理解時，在示范操作尋找滿足1×3×5×7…>1000條件的最小整數后讓學生思考:(1)1×3×5×7…≦1000成立的最大整數?(2)若交換記數與累乘的順序,則輸出語句有何改變?(3)輸出語句放在循環體內,則結果有何變化?通過這樣變式練習思考,然后進行操作加以驗證，讓每個學生圍繞探索的問題，明確探索的方向，思考出自己的方法，思維方式可以自由，開放的去摸索數學知識的產生過程，使學生成為知識的主人，感到自己就是一個發現者、研究者、探索者，從而充滿了學習信心和欲望，增強了創新能力.

二、問題是數學的“心臟”

數學學科知識內涵和架構體系的承載體，更是教學目標要求和學生能力培養的重要平臺.教育實踐學指出，高中生問題解答的過程，就是觀察比較、分析綜合、分類歸納、抽象概括的過程，有助于學生學習能力的培養和提升.高中數學新課標倡導讓每個學生在學習過程中，學習能力和素養得到充分而又顯著的鍛煉和發展.高中數學作為高中學科教學的重要組成部分，在培育學生良好學習能力方面，發揮重要作用.

高中數學的學習至關重要，這不僅是在為高考做準備，也是在為大學的學習打基礎.隨著傳統模式下的教育弊端日益突出，教育制度不斷在改善，新課改的新教學目標中，要求學生從過去應試模式下的解題型轉變為創新型、實踐型，這就要求學生具備創造性思維的能力.情景教學的引用，將是一個重大的突破，可以從不同層次對教學產生積極地影響，從而提高課堂教學質量.

例在△ABC中，已知AF=42，且三內角A、B、C滿足sinB-sinA=12sinC，建立直角坐標系，求頂點C的軌跡方程．

解析如圖1，以AB邊所在的直線為x軸，AB的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系，則點A(-22,0)、點B(22，0），由正弦定理得到sinA=BC2R，sinC=AB2R．

因為sinB-sinA=12sinC，則AC-BC=AB2，所以CA-CB=12AB=22

由雙曲線的定義知道，點C的軌跡是以A、B為焦點的雙曲線的右支，且a=2、c=22，所以b2=c2-a2=6．所以頂點點C的軌跡方程為x22-y26=1(x>2)，則點C的軌跡為雙曲線的右支且除去點(2,0)．

解題技巧解決本題的關鍵是尋找動點C的約束關系，同時要注意以下兩點：（1）將角的關系sinB-sinA=12sinC轉化為CA-CB=12AB=22為定值．（2）不可忽視“三角形”這一條件，由A、B、C三點不共線，則需要除去點(2,0)．

舉一反三：已知定點A(3,0)和定圓C：(x+3)2+y2=16，動圓與圓C外切，并且過點A，求動圓圓心P的軌跡方程．

解設動圓圓心為P(x,y)，又圓C的圓心為C(-3,0)，則由已知條件得到PC-PA=4

評析由題設條件能夠判斷出動點的軌跡是雙曲線，可以根據雙曲線的定義確定其方程，這樣就可以減少運算量，提高解題速度．探究雙曲線，把握關鍵點，尋求方法點，那對于求雙曲線的標準方程一定游刃有余．

三、建構解決問題策略

1．重視通性通法教學,發展學生概括思想

數學思想在高中數學教學中，比數學基礎知識更為重要.它蘊涵在數學知識發生、發展和應用的過程中，有更高的層次和地位．是數學意識的范疇，用以發展數學解決能力.數學方法是數學思想的具體體現，具有模式化與可操作性的特征.只有對數學思想與方法有概括和理解能力，才能解決問題得心應手；只有領悟數學思想與方法，才能將數學能力發展起來.

每一種數學思想與方法，都會在特定環境中有可以依據的基本理論，如分類思想可以分為：概念本身的分類，象等比數列的求和公式中對公比的分類和直線方程中對斜率的分類等；再如同解變形中需要分類的，含參數問題對參數的討論、解不等式組中解集的討論等；又如數學方法的選擇，二次函數問題常用配方法，含參問題常用待定系數法等.

在數學課堂教學中，教師要多重視通性通法，淡化特殊技巧，使學生認識“思想”或“方法”的實用性和特殊性，知道在何種情況下使用更為有效，從而培養和提高學生正確應用數學思想和方法，最終提高其解決問題的能力．

3．進行開放題和新型題訓練，拓寬知識面

在高中數學題型中，很多都是要著重考查學生分析和解決問題的能力.首要環節就是要讓學生先理解題意，而后進一步運用數學思想和方法解決問題.

隨著近年來新技術革命的飛速發展，新課標也提出要培養更多具有數學素質，超強創造能力的人才，這些很快就體現在高考的出題方面.尤其是一些新背景題，還有開放題的出現，更加注重了對高考學生能力的考查.由于開放題的特征是題目條件不充分，不能有確定的結論，而新背景題的背景設置模糊，目的是給學生在題意的理解和解題方法的選擇上制造困難，訓練學生的數學知識面.為此，導致很多高考生失分率較高.如很多學生由于對“壟”和“減薄率不超過 ”無法正確理解而不知所措，遇到一些背景改變的類型題就束手無策.又如在讀懂所給圖形的前提下，才能正確作出解答的一些題型，部分學生也往往因為見識較少，而導致失分很高.因此，教師一定在平時適當進行開放題和新型題的訓練，對學生的知識面有所拓寬，這樣才能從根本上有效提高分析和解決問題的能力，并作出必要的補充.積極培養起數學思想，同時還要加強對數學方法的綜合研判能力.

例如在數學解題過程中，要讓學生解決問題之后，養成回過頭對解題活動進行回顧探討的習慣，這是非常有益的一個環節，可以讓學生對自己的解題思路逐漸清晰準確，并建立自己的解題思路和風格.

數學思想和方法越來越為大眾所熟知，數學的應用能力越來越受到人們的重視.在高中數學教學中，數學教師已經不再僅限于教授學生枯燥的數學知識，而是越來越重視對學生的應用意識和能力的培養.數學課堂是高中數學知識的殿堂，就我國目前的數學教學而言，數學教師還是主要通過數學課堂傳授知識，增強學生的數學應用意識和能力.

一、總結經驗和方法

探索自然、解決問題、探知奧秘的過程中，經過總結歸納，逐步形成了具有顯著功效的經驗和方法，并加以提煉升華，形成了具有理論性的方法和實踐.學生作為經歷階段學習歷程的客觀存在體，在較長時間段的學習探知過程中，通過探知新知、解答問題的直接活動，獲取和掌握一定的學習方法和經驗，同時，在教師的指導和幫助下，也獲得了解決問題、學習新知的方法和策略.這些直接經驗和間接成果，經過歸納和提煉，逐步轉化成為學生進行知識學習的思想策略.在教學實踐中，學生良好數學思想的建立，能夠為教學活動的深入推進和學習活動的有效開展，提供方法指導和思想保障.

如,在講到三垂線定理時，教師可以制作一組幻燈片，以立方體為模型，使之從不同方位轉動，得到不同位置的垂線. 學生可以從中獲得感性認識，加深對定理中各種情況的理解，使學生對定理的應用更加靈活，從而提高學習效率.另外，不僅教師在課堂上針對不同的教學內容合理利用計算機技術是非常有必要的，而且教師還要積極引導學生合理利用計算機技術，再如,教師在講“循環語句”的理解時，在示范操作尋找滿足1×3×5×7…>1000條件的最小整數后讓學生思考:(1)1×3×5×7…≦1000成立的最大整數?(2)若交換記數與累乘的順序,則輸出語句有何改變?(3)輸出語句放在循環體內,則結果有何變化?通過這樣變式練習思考,然后進行操作加以驗證，讓每個學生圍繞探索的問題，明確探索的方向，思考出自己的方法，思維方式可以自由，開放的去摸索數學知識的產生過程，使學生成為知識的主人，感到自己就是一個發現者、研究者、探索者，從而充滿了學習信心和欲望，增強了創新能力.

二、問題是數學的“心臟”

數學學科知識內涵和架構體系的承載體，更是教學目標要求和學生能力培養的重要平臺.教育實踐學指出，高中生問題解答的過程，就是觀察比較、分析綜合、分類歸納、抽象概括的過程，有助于學生學習能力的培養和提升.高中數學新課標倡導讓每個學生在學習過程中，學習能力和素養得到充分而又顯著的鍛煉和發展.高中數學作為高中學科教學的重要組成部分，在培育學生良好學習能力方面，發揮重要作用.

高中數學的學習至關重要，這不僅是在為高考做準備，也是在為大學的學習打基礎.隨著傳統模式下的教育弊端日益突出，教育制度不斷在改善，新課改的新教學目標中，要求學生從過去應試模式下的解題型轉變為創新型、實踐型，這就要求學生具備創造性思維的能力.情景教學的引用，將是一個重大的突破，可以從不同層次對教學產生積極地影響，從而提高課堂教學質量.

例在△ABC中，已知AF=42，且三內角A、B、C滿足sinB-sinA=12sinC，建立直角坐標系，求頂點C的軌跡方程．

解析如圖1，以AB邊所在的直線為x軸，AB的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系，則點A(-22,0)、點B(22，0），由正弦定理得到sinA=BC2R，sinC=AB2R．

因為sinB-sinA=12sinC，則AC-BC=AB2，所以CA-CB=12AB=22

由雙曲線的定義知道，點C的軌跡是以A、B為焦點的雙曲線的右支，且a=2、c=22，所以b2=c2-a2=6．所以頂點點C的軌跡方程為x22-y26=1(x>2)，則點C的軌跡為雙曲線的右支且除去點(2,0)．

解題技巧解決本題的關鍵是尋找動點C的約束關系，同時要注意以下兩點：（1）將角的關系sinB-sinA=12sinC轉化為CA-CB=12AB=22為定值．（2）不可忽視“三角形”這一條件，由A、B、C三點不共線，則需要除去點(2,0)．

舉一反三：已知定點A(3,0)和定圓C：(x+3)2+y2=16，動圓與圓C外切，并且過點A，求動圓圓心P的軌跡方程．

解設動圓圓心為P(x,y)，又圓C的圓心為C(-3,0)，則由已知條件得到PC-PA=4

評析由題設條件能夠判斷出動點的軌跡是雙曲線，可以根據雙曲線的定義確定其方程，這樣就可以減少運算量，提高解題速度．探究雙曲線，把握關鍵點，尋求方法點，那對于求雙曲線的標準方程一定游刃有余．

三、建構解決問題策略

1．重視通性通法教學,發展學生概括思想

數學思想在高中數學教學中，比數學基礎知識更為重要.它蘊涵在數學知識發生、發展和應用的過程中，有更高的層次和地位．是數學意識的范疇，用以發展數學解決能力.數學方法是數學思想的具體體現，具有模式化與可操作性的特征.只有對數學思想與方法有概括和理解能力，才能解決問題得心應手；只有領悟數學思想與方法，才能將數學能力發展起來.

每一種數學思想與方法，都會在特定環境中有可以依據的基本理論，如分類思想可以分為：概念本身的分類，象等比數列的求和公式中對公比的分類和直線方程中對斜率的分類等；再如同解變形中需要分類的，含參數問題對參數的討論、解不等式組中解集的討論等；又如數學方法的選擇，二次函數問題常用配方法，含參問題常用待定系數法等.

在數學課堂教學中，教師要多重視通性通法，淡化特殊技巧，使學生認識“思想”或“方法”的實用性和特殊性，知道在何種情況下使用更為有效，從而培養和提高學生正確應用數學思想和方法，最終提高其解決問題的能力．

3．進行開放題和新型題訓練，拓寬知識面

在高中數學題型中，很多都是要著重考查學生分析和解決問題的能力.首要環節就是要讓學生先理解題意，而后進一步運用數學思想和方法解決問題.

隨著近年來新技術革命的飛速發展，新課標也提出要培養更多具有數學素質，超強創造能力的人才，這些很快就體現在高考的出題方面.尤其是一些新背景題，還有開放題的出現，更加注重了對高考學生能力的考查.由于開放題的特征是題目條件不充分，不能有確定的結論，而新背景題的背景設置模糊，目的是給學生在題意的理解和解題方法的選擇上制造困難，訓練學生的數學知識面.為此，導致很多高考生失分率較高.如很多學生由于對“壟”和“減薄率不超過 ”無法正確理解而不知所措，遇到一些背景改變的類型題就束手無策.又如在讀懂所給圖形的前提下，才能正確作出解答的一些題型，部分學生也往往因為見識較少，而導致失分很高.因此，教師一定在平時適當進行開放題和新型題的訓練，對學生的知識面有所拓寬，這樣才能從根本上有效提高分析和解決問題的能力，并作出必要的補充.積極培養起數學思想，同時還要加強對數學方法的綜合研判能力.

例如在數學解題過程中，要讓學生解決問題之后，養成回過頭對解題活動進行回顧探討的習慣，這是非常有益的一個環節，可以讓學生對自己的解題思路逐漸清晰準確，并建立自己的解題思路和風格.