牛頓第二定律的再認識

曹艷

一、傳統中應用牛頓第二定律解題的局限性

牛頓第二定律的內容是物體加速度的大小跟作用力成正比，跟物體的質量成反比，加速度的方向與作用力方向相同，寫成表達式為F=ma.通常情況下只針對一個物體或兩個相對靜止的物體整體應用牛頓第二定律，而在解決兩個具有相對運動的物體系統受力問題時，由于缺乏一定的理論支撐，

常采用隔離法分別應用牛頓第二定律，在具體解題過程中顯得比較麻煩，而且容易出錯.

二、牛頓第二定律內容的拓展

通過教學過程中不斷摸索、分析，總結.結合牛頓第二定律和整體法，我對牛頓第二定律有了新的認識：在解決具有相對運動的物體系統時，也可以整體用牛頓第二定律，并且應用起來比用隔離法更簡單實用，不容易出錯，也好理解.我將牛頓第二定律內容拓展：

對一個系統來說，系統所受的合外力等于系統內各物體的質量與其加速度的乘積之和.

表達式為F合=m1a1+m2a2+m3a3+……

（或者為：F合x=m1a1x+m2a2x+m3a3x+…

F合y=m1a1y+m2a2y+m3a3y+…)

三、實例驗證

例1如圖1所示，斜面體B放在粗糙水平地面上，傾角為θ，小物塊A放在斜面體B上，已知A、B的質量分別為m和M.當A以加速度a加速下滑時，B始終靜止不動，求此過程中地面對斜面體的支持力N和摩擦力Ff.

法一用隔離法分別對A和B受力分析，再用牛頓第二定律列式求解，解析過程如下.

A受重力GA，B對A的支持力NA，B對A的摩擦力fA ，受力圖如圖2所示.將重力分解為沿斜面向下的下滑力G1=mg sinθ和使物塊壓緊斜面的力G2=mgcosθ,則有

mgsinθ－fA=ma①；

NA=mgcosθ②；再對B受力分析如圖3所示，B受重力GB，地面對B的支持力N和靜摩擦力Ff，還有A對B的壓力FN和摩擦力fB .沿水平方向和豎直方向分別建立X、Y坐標軸，將FN和fB均分解到兩個坐標軸上，得到

FNX=FNsinθ ③，FNY=FNcosθ④；

fBX=fBcosθ⑤，

fBY=fBsinθ⑥；由牛頓第三定律知FN=NA⑦；fB=fA ⑧；

在X軸上有Ff+fBX=FNX ⑨;

在Y軸上有N=GB+FNY+fBY ⑩由上述10個等式聯立化簡求解得Ff=macosθ； N=Mg+mg－masinθ，所以最后答案為地面對B的靜摩擦力Ff=macosθ；地面對B的支持力N=Mg+mg－masinθ.

由上可見，用隔離法分別對A和B受力分析求解過程相當復雜，將花不少時間和精力，也容易出現受力分析失誤或計算錯誤，得不償失.

下面對系統應用牛頓第二定律，求解過程如下.

法二將A、B看成一個系統，對這個系統進行受力分析如圖4所示，系統受重力G=Mg+mg，地面對系統的支持力N和摩擦力Ff，再將小物塊的加速度分解如圖5，則ax=acosθ，ay=asinθ；斜面體B靜止，加速度為0，則由F合x=m1a1x+m2a2x+m3a3x+……得到Ff=max=macosθ，

由F合y=m1a1y+m2a2y+m3a3y+……得到Mg+mg－N=may即N= Mg+mg－masinθ.

通過兩種方法的對比，明顯地看出對系統應用牛頓第二定律比用隔離法分別分析簡單快捷得多.

上例中是兩個物體組成的系統，且斜面體B始終靜止，即加速度為零，系統所受到的合外力相當于只用來使A產生加速度；下面看一個由三個物體構成的系統.

例2圖6為馬戲團里猴子爬桿的裝置，現有質量分別為m1和m2的甲、乙兩只猴子在沿桿勻變速向上爬，底座始終不動.已知底座連同直桿總質量為M，甲以加速度a1向上加速，乙以a2向上減速.設猴子與桿之間的作用力均為恒力，則底座對水平面的壓力為多大？

法一隔離法.先分別對甲、乙兩只猴子受力分析，受力圖如圖7中甲、乙所示，兩只猴子均受豎直向下的重力和豎直向上的摩擦力，甲的加速度向上，乙的加速度向下，由牛頓第二定律得：

f1－m1g=m1a1①m2g－f2=m2a2②

對底座連同直桿受力分析如圖8所示, 底座連同直桿受重力Mg,地面對它的支持力N,兩只猴子對它的摩擦力f1＇和f2＇,由牛頓第三定律知: f1＇=f1③ f2＇=f2 ④.

底座連同直桿處于靜止狀態,所以受力平衡,得N=Mg+f1＇+f2＇ ⑤.

由①②③④⑤解得N=(M+m1+m2)g+m1a1－m2a2

法二系統法：將底座連同直桿和兩只猴子作為一個系統，這個系統受重力G=(M+m1+m2)g，地面對系統的支持力N，受力圖如圖9所示，

將牛頓第二定律應用于這個系統中則為F合=m1a1+m2a2+m3a3，由于底座連同直桿處于靜止狀態，加速度為0；a1向上，a2向下，以向上為正方向，上式變為：

N－(M+m1+m2)g=m1a1+（－m2a2）

同樣解得N=(M+m1+m2)g+m1a1－m2a2

通過兩種方法的對比可以看出，用隔離法需要對三個研究對象分別受力分析，列出三個方程，還要涉及到作用力與反作用力，再用牛頓第三定律列出兩個等式，分析計算過程比較煩瑣；而對系統直接用牛頓第二定律只需對系統受力分析一次，注意每個物體的加速度，直接列出一個方程即可求解，法二比法一還是方便快捷.

一、傳統中應用牛頓第二定律解題的局限性

牛頓第二定律的內容是物體加速度的大小跟作用力成正比，跟物體的質量成反比，加速度的方向與作用力方向相同，寫成表達式為F=ma.通常情況下只針對一個物體或兩個相對靜止的物體整體應用牛頓第二定律，而在解決兩個具有相對運動的物體系統受力問題時，由于缺乏一定的理論支撐，

常采用隔離法分別應用牛頓第二定律，在具體解題過程中顯得比較麻煩，而且容易出錯.

二、牛頓第二定律內容的拓展

通過教學過程中不斷摸索、分析，總結.結合牛頓第二定律和整體法，我對牛頓第二定律有了新的認識：在解決具有相對運動的物體系統時，也可以整體用牛頓第二定律，并且應用起來比用隔離法更簡單實用，不容易出錯，也好理解.我將牛頓第二定律內容拓展：

對一個系統來說，系統所受的合外力等于系統內各物體的質量與其加速度的乘積之和.

表達式為F合=m1a1+m2a2+m3a3+……

（或者為：F合x=m1a1x+m2a2x+m3a3x+…

F合y=m1a1y+m2a2y+m3a3y+…)

三、實例驗證

例1如圖1所示，斜面體B放在粗糙水平地面上，傾角為θ，小物塊A放在斜面體B上，已知A、B的質量分別為m和M.當A以加速度a加速下滑時，B始終靜止不動，求此過程中地面對斜面體的支持力N和摩擦力Ff.

法一用隔離法分別對A和B受力分析，再用牛頓第二定律列式求解，解析過程如下.

A受重力GA，B對A的支持力NA，B對A的摩擦力fA ，受力圖如圖2所示.將重力分解為沿斜面向下的下滑力G1=mg sinθ和使物塊壓緊斜面的力G2=mgcosθ,則有

mgsinθ－fA=ma①；

NA=mgcosθ②；再對B受力分析如圖3所示，B受重力GB，地面對B的支持力N和靜摩擦力Ff，還有A對B的壓力FN和摩擦力fB .沿水平方向和豎直方向分別建立X、Y坐標軸，將FN和fB均分解到兩個坐標軸上，得到

FNX=FNsinθ ③，FNY=FNcosθ④；

fBX=fBcosθ⑤，

fBY=fBsinθ⑥；由牛頓第三定律知FN=NA⑦；fB=fA ⑧；

在X軸上有Ff+fBX=FNX ⑨;

在Y軸上有N=GB+FNY+fBY ⑩由上述10個等式聯立化簡求解得Ff=macosθ； N=Mg+mg－masinθ，所以最后答案為地面對B的靜摩擦力Ff=macosθ；地面對B的支持力N=Mg+mg－masinθ.

由上可見，用隔離法分別對A和B受力分析求解過程相當復雜，將花不少時間和精力，也容易出現受力分析失誤或計算錯誤，得不償失.

下面對系統應用牛頓第二定律，求解過程如下.

法二將A、B看成一個系統，對這個系統進行受力分析如圖4所示，系統受重力G=Mg+mg，地面對系統的支持力N和摩擦力Ff，再將小物塊的加速度分解如圖5，則ax=acosθ，ay=asinθ；斜面體B靜止，加速度為0，則由F合x=m1a1x+m2a2x+m3a3x+……得到Ff=max=macosθ，

由F合y=m1a1y+m2a2y+m3a3y+……得到Mg+mg－N=may即N= Mg+mg－masinθ.

通過兩種方法的對比，明顯地看出對系統應用牛頓第二定律比用隔離法分別分析簡單快捷得多.

上例中是兩個物體組成的系統，且斜面體B始終靜止，即加速度為零，系統所受到的合外力相當于只用來使A產生加速度；下面看一個由三個物體構成的系統.

例2圖6為馬戲團里猴子爬桿的裝置，現有質量分別為m1和m2的甲、乙兩只猴子在沿桿勻變速向上爬，底座始終不動.已知底座連同直桿總質量為M，甲以加速度a1向上加速，乙以a2向上減速.設猴子與桿之間的作用力均為恒力，則底座對水平面的壓力為多大？

法一隔離法.先分別對甲、乙兩只猴子受力分析，受力圖如圖7中甲、乙所示，兩只猴子均受豎直向下的重力和豎直向上的摩擦力，甲的加速度向上，乙的加速度向下，由牛頓第二定律得：

f1－m1g=m1a1①m2g－f2=m2a2②

對底座連同直桿受力分析如圖8所示, 底座連同直桿受重力Mg,地面對它的支持力N,兩只猴子對它的摩擦力f1＇和f2＇,由牛頓第三定律知: f1＇=f1③ f2＇=f2 ④.

底座連同直桿處于靜止狀態,所以受力平衡,得N=Mg+f1＇+f2＇ ⑤.

由①②③④⑤解得N=(M+m1+m2)g+m1a1－m2a2

法二系統法：將底座連同直桿和兩只猴子作為一個系統，這個系統受重力G=(M+m1+m2)g，地面對系統的支持力N，受力圖如圖9所示，

將牛頓第二定律應用于這個系統中則為F合=m1a1+m2a2+m3a3，由于底座連同直桿處于靜止狀態，加速度為0；a1向上，a2向下，以向上為正方向，上式變為：

N－(M+m1+m2)g=m1a1+（－m2a2）

同樣解得N=(M+m1+m2)g+m1a1－m2a2

通過兩種方法的對比可以看出，用隔離法需要對三個研究對象分別受力分析，列出三個方程，還要涉及到作用力與反作用力，再用牛頓第三定律列出兩個等式，分析計算過程比較煩瑣；而對系統直接用牛頓第二定律只需對系統受力分析一次，注意每個物體的加速度，直接列出一個方程即可求解，法二比法一還是方便快捷.

一、傳統中應用牛頓第二定律解題的局限性

牛頓第二定律的內容是物體加速度的大小跟作用力成正比，跟物體的質量成反比，加速度的方向與作用力方向相同，寫成表達式為F=ma.通常情況下只針對一個物體或兩個相對靜止的物體整體應用牛頓第二定律，而在解決兩個具有相對運動的物體系統受力問題時，由于缺乏一定的理論支撐，

常采用隔離法分別應用牛頓第二定律，在具體解題過程中顯得比較麻煩，而且容易出錯.

二、牛頓第二定律內容的拓展

通過教學過程中不斷摸索、分析，總結.結合牛頓第二定律和整體法，我對牛頓第二定律有了新的認識：在解決具有相對運動的物體系統時，也可以整體用牛頓第二定律，并且應用起來比用隔離法更簡單實用，不容易出錯，也好理解.我將牛頓第二定律內容拓展：

對一個系統來說，系統所受的合外力等于系統內各物體的質量與其加速度的乘積之和.

表達式為F合=m1a1+m2a2+m3a3+……

（或者為：F合x=m1a1x+m2a2x+m3a3x+…

F合y=m1a1y+m2a2y+m3a3y+…)

三、實例驗證

例1如圖1所示，斜面體B放在粗糙水平地面上，傾角為θ，小物塊A放在斜面體B上，已知A、B的質量分別為m和M.當A以加速度a加速下滑時，B始終靜止不動，求此過程中地面對斜面體的支持力N和摩擦力Ff.

法一用隔離法分別對A和B受力分析，再用牛頓第二定律列式求解，解析過程如下.

A受重力GA，B對A的支持力NA，B對A的摩擦力fA ，受力圖如圖2所示.將重力分解為沿斜面向下的下滑力G1=mg sinθ和使物塊壓緊斜面的力G2=mgcosθ,則有

mgsinθ－fA=ma①；

NA=mgcosθ②；再對B受力分析如圖3所示，B受重力GB，地面對B的支持力N和靜摩擦力Ff，還有A對B的壓力FN和摩擦力fB .沿水平方向和豎直方向分別建立X、Y坐標軸，將FN和fB均分解到兩個坐標軸上，得到

FNX=FNsinθ ③，FNY=FNcosθ④；

fBX=fBcosθ⑤，

fBY=fBsinθ⑥；由牛頓第三定律知FN=NA⑦；fB=fA ⑧；

在X軸上有Ff+fBX=FNX ⑨;

在Y軸上有N=GB+FNY+fBY ⑩由上述10個等式聯立化簡求解得Ff=macosθ； N=Mg+mg－masinθ，所以最后答案為地面對B的靜摩擦力Ff=macosθ；地面對B的支持力N=Mg+mg－masinθ.

由上可見，用隔離法分別對A和B受力分析求解過程相當復雜，將花不少時間和精力，也容易出現受力分析失誤或計算錯誤，得不償失.

下面對系統應用牛頓第二定律，求解過程如下.

法二將A、B看成一個系統，對這個系統進行受力分析如圖4所示，系統受重力G=Mg+mg，地面對系統的支持力N和摩擦力Ff，再將小物塊的加速度分解如圖5，則ax=acosθ，ay=asinθ；斜面體B靜止，加速度為0，則由F合x=m1a1x+m2a2x+m3a3x+……得到Ff=max=macosθ，

由F合y=m1a1y+m2a2y+m3a3y+……得到Mg+mg－N=may即N= Mg+mg－masinθ.

通過兩種方法的對比，明顯地看出對系統應用牛頓第二定律比用隔離法分別分析簡單快捷得多.

上例中是兩個物體組成的系統，且斜面體B始終靜止，即加速度為零，系統所受到的合外力相當于只用來使A產生加速度；下面看一個由三個物體構成的系統.

例2圖6為馬戲團里猴子爬桿的裝置，現有質量分別為m1和m2的甲、乙兩只猴子在沿桿勻變速向上爬，底座始終不動.已知底座連同直桿總質量為M，甲以加速度a1向上加速，乙以a2向上減速.設猴子與桿之間的作用力均為恒力，則底座對水平面的壓力為多大？

法一隔離法.先分別對甲、乙兩只猴子受力分析，受力圖如圖7中甲、乙所示，兩只猴子均受豎直向下的重力和豎直向上的摩擦力，甲的加速度向上，乙的加速度向下，由牛頓第二定律得：

f1－m1g=m1a1①m2g－f2=m2a2②

對底座連同直桿受力分析如圖8所示, 底座連同直桿受重力Mg,地面對它的支持力N,兩只猴子對它的摩擦力f1＇和f2＇,由牛頓第三定律知: f1＇=f1③ f2＇=f2 ④.

底座連同直桿處于靜止狀態,所以受力平衡,得N=Mg+f1＇+f2＇ ⑤.

由①②③④⑤解得N=(M+m1+m2)g+m1a1－m2a2

法二系統法：將底座連同直桿和兩只猴子作為一個系統，這個系統受重力G=(M+m1+m2)g，地面對系統的支持力N，受力圖如圖9所示，

將牛頓第二定律應用于這個系統中則為F合=m1a1+m2a2+m3a3，由于底座連同直桿處于靜止狀態，加速度為0；a1向上，a2向下，以向上為正方向，上式變為：

N－(M+m1+m2)g=m1a1+（－m2a2）

同樣解得N=(M+m1+m2)g+m1a1－m2a2

通過兩種方法的對比可以看出，用隔離法需要對三個研究對象分別受力分析，列出三個方程，還要涉及到作用力與反作用力，再用牛頓第三定律列出兩個等式，分析計算過程比較煩瑣；而對系統直接用牛頓第二定律只需對系統受力分析一次，注意每個物體的加速度，直接列出一個方程即可求解，法二比法一還是方便快捷.