在作圖識圖與用圖的過程中加深認識促進理解

任何++錢軍先

y=Asin(ωx+φ)是一種重要的三角函數模型，它在物理學、工程技術與實際生活中有著十分廣泛的應用，掌握好函數y=Asin(ωx+φ)的有關知識，不僅可以深化對三角函數的認識和理解，而且可以為將來的繼續學習或從事科學研究與生產實踐奠定基礎．那么，怎樣才能學好函數y=Asin(ωx+φ)的內容呢？我們可以從函數y=Asin(ωx+φ)的圖象入手，在掌握作圖、學會識圖和體驗用圖的過程中加深對函數y=Asin(ωx+φ)的本質特征的認識和理解．

一、 掌握作圖

作函數y=Asin(ωx+φ)的圖象有兩種方法，一是“五點法”，二是“變換法”．

“五點法”是作函數y=Asin(ωx+φ)圖象的實用方法．用“五點法”作圖時，一定周期、二定起點、三按周期規律均勻分布其余四點．

“變換法”在實際作圖時并不太方便，但它能幫助我們認清函

數y=Asin(ωx+φ)與正弦函數y=sinx之間的內在聯系，應用很廣泛．常用的變換規律是：

y=sinx

沿x軸向左平移φ(φ>0)個單位或向右平移|φ|(φ<0)個單位（相位變換）y=sin(x+φ)

縱坐標不變，橫坐標變為原來的1ω（周期變換）

y=sin(ωx+φ)

橫坐標不變，縱坐標變為原來的A倍（振幅變換）

y=Asin(ωx+φ)

例1試用五點法作出函數f(x)=2sin(2x-π3)的圖象，并說出這個函數的圖象可以由函數y=cosx的圖象經過怎樣的變換得到．

解析列表描點得出f(x)=2sin(2x-π3)的圖象（如圖1所示）.

2x-π30π2π32π2π

xπ6512π

23π

1112π76π

y020-20

y=cosx，即y=sin(x+π2)．將y=sin(x+π2)圖象沿x軸向右平移56π個單位，得到y=sin(x+π2-5π6)即y=sin(x-π3)的圖象；將所得圖象上的各點橫坐標變為原來的12（縱坐標不變），得到y=sin(2x-π3)的圖象；再將所得圖象上各點的縱坐標變為原來的二倍（橫坐標不變），得到y=2sin(2x-π3)的圖象．

二、 學會識圖

這里的識圖是指由給出的圖象，能寫出與之對應的函數y=Asin(ωx+φ)的解析式，從而進一步地，能夠認識和研究這個函數的有關性質．

由所給圖象寫出與之對應的函數y=Asin(ωx+φ)的解析式，關鍵是確定A、ω和φ的值．方法較為靈活．A通常由最大值和最小值確定，ω由周期確定：ω=2πT，而φ=-ωx0（這里的x0是指用“五點法”作圖時的起點的橫坐標）．另一種常用的方法則是將圖象上的點的坐標代入，借助待定系數法求解．

例2已知函數y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的圖象如圖2所示，試求出它的解析式、初相、周期、振幅和單調區間．

解析由圖象知A=2，T=2［6-(-2)］=16，故ω=2πT=

2π16=π8．

又圖象起點的橫坐標x0=-2，

所以φ=-ωx0=-π8·(-2)=π4．所以f(x)=2sin(π8x+π4)．

其初相φ=π4，周期T=16，振幅A=2.由2kπ-π2≤π8x+π4≤2kπ+π2，得16k-6≤x≤16k+2，即增區間為［16k-6,16k+2］(k∈Z)；同理可得減區間為［16k+2,16k+10］(k∈Z)．

三、體驗用圖

“用圖”是數形結合思想的體現，學會運用函數y=Asin(ωx+φ)的圖象解決與三角函數有關的數學問題和實際問題，可以使我們的思維品質和解題能力得到有效的鍛煉與提高．

例3某港口的水深y(m)是時間t(0≤t≤24,單位：小時）的函數.下面是該港口的水深數據表.經長時間的觀察，描出的曲線如圖3所示，經擬合，該曲線可近似地看成正弦函數y=Asinωt+B的圖象．

(1)試根據數據表和曲線，求出函數

y=Asinωt+B的表達式；

(2)一般情況下，船舶行時船底同海底

的距離不少于4.5m時是安全的．如果某船

的吃水深度（船底與水面的距離）為7m，

那么該船在什么時間段能夠安全進港？若該

船欲當天安全離港，它在港內停留的時間最多不能超過多長時間（忽略離港所需的時間）？

解析應根據圖象上顯示出來的特點，我們可以通過求出A,ω,B的值，將實際問題抽象為數學問題來解決．

（1）由數據表和曲線知A=3,B=10，周期T=12，

y=Asin(ωx+φ)是一種重要的三角函數模型，它在物理學、工程技術與實際生活中有著十分廣泛的應用，掌握好函數y=Asin(ωx+φ)的有關知識，不僅可以深化對三角函數的認識和理解，而且可以為將來的繼續學習或從事科學研究與生產實踐奠定基礎．那么，怎樣才能學好函數y=Asin(ωx+φ)的內容呢？我們可以從函數y=Asin(ωx+φ)的圖象入手，在掌握作圖、學會識圖和體驗用圖的過程中加深對函數y=Asin(ωx+φ)的本質特征的認識和理解．

一、 掌握作圖

作函數y=Asin(ωx+φ)的圖象有兩種方法，一是“五點法”，二是“變換法”．

“五點法”是作函數y=Asin(ωx+φ)圖象的實用方法．用“五點法”作圖時，一定周期、二定起點、三按周期規律均勻分布其余四點．

“變換法”在實際作圖時并不太方便，但它能幫助我們認清函

數y=Asin(ωx+φ)與正弦函數y=sinx之間的內在聯系，應用很廣泛．常用的變換規律是：

y=sinx

沿x軸向左平移φ(φ>0)個單位或向右平移|φ|(φ<0)個單位（相位變換）y=sin(x+φ)

縱坐標不變，橫坐標變為原來的1ω（周期變換）

y=sin(ωx+φ)

橫坐標不變，縱坐標變為原來的A倍（振幅變換）

y=Asin(ωx+φ)

例1試用五點法作出函數f(x)=2sin(2x-π3)的圖象，并說出這個函數的圖象可以由函數y=cosx的圖象經過怎樣的變換得到．

解析列表描點得出f(x)=2sin(2x-π3)的圖象（如圖1所示）.

2x-π30π2π32π2π

xπ6512π

23π

1112π76π

y020-20

y=cosx，即y=sin(x+π2)．將y=sin(x+π2)圖象沿x軸向右平移56π個單位，得到y=sin(x+π2-5π6)即y=sin(x-π3)的圖象；將所得圖象上的各點橫坐標變為原來的12（縱坐標不變），得到y=sin(2x-π3)的圖象；再將所得圖象上各點的縱坐標變為原來的二倍（橫坐標不變），得到y=2sin(2x-π3)的圖象．

二、 學會識圖

這里的識圖是指由給出的圖象，能寫出與之對應的函數y=Asin(ωx+φ)的解析式，從而進一步地，能夠認識和研究這個函數的有關性質．

由所給圖象寫出與之對應的函數y=Asin(ωx+φ)的解析式，關鍵是確定A、ω和φ的值．方法較為靈活．A通常由最大值和最小值確定，ω由周期確定：ω=2πT，而φ=-ωx0（這里的x0是指用“五點法”作圖時的起點的橫坐標）．另一種常用的方法則是將圖象上的點的坐標代入，借助待定系數法求解．

例2已知函數y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的圖象如圖2所示，試求出它的解析式、初相、周期、振幅和單調區間．

解析由圖象知A=2，T=2［6-(-2)］=16，故ω=2πT=

2π16=π8．

又圖象起點的橫坐標x0=-2，

所以φ=-ωx0=-π8·(-2)=π4．所以f(x)=2sin(π8x+π4)．

其初相φ=π4，周期T=16，振幅A=2.由2kπ-π2≤π8x+π4≤2kπ+π2，得16k-6≤x≤16k+2，即增區間為［16k-6,16k+2］(k∈Z)；同理可得減區間為［16k+2,16k+10］(k∈Z)．

三、體驗用圖

“用圖”是數形結合思想的體現，學會運用函數y=Asin(ωx+φ)的圖象解決與三角函數有關的數學問題和實際問題，可以使我們的思維品質和解題能力得到有效的鍛煉與提高．

例3某港口的水深y(m)是時間t(0≤t≤24,單位：小時）的函數.下面是該港口的水深數據表.經長時間的觀察，描出的曲線如圖3所示，經擬合，該曲線可近似地看成正弦函數y=Asinωt+B的圖象．

(1)試根據數據表和曲線，求出函數

y=Asinωt+B的表達式；

(2)一般情況下，船舶行時船底同海底

的距離不少于4.5m時是安全的．如果某船

的吃水深度（船底與水面的距離）為7m，

那么該船在什么時間段能夠安全進港？若該

船欲當天安全離港，它在港內停留的時間最多不能超過多長時間（忽略離港所需的時間）？

解析應根據圖象上顯示出來的特點，我們可以通過求出A,ω,B的值，將實際問題抽象為數學問題來解決．

（1）由數據表和曲線知A=3,B=10，周期T=12，

y=Asin(ωx+φ)是一種重要的三角函數模型，它在物理學、工程技術與實際生活中有著十分廣泛的應用，掌握好函數y=Asin(ωx+φ)的有關知識，不僅可以深化對三角函數的認識和理解，而且可以為將來的繼續學習或從事科學研究與生產實踐奠定基礎．那么，怎樣才能學好函數y=Asin(ωx+φ)的內容呢？我們可以從函數y=Asin(ωx+φ)的圖象入手，在掌握作圖、學會識圖和體驗用圖的過程中加深對函數y=Asin(ωx+φ)的本質特征的認識和理解．

一、 掌握作圖

作函數y=Asin(ωx+φ)的圖象有兩種方法，一是“五點法”，二是“變換法”．

“五點法”是作函數y=Asin(ωx+φ)圖象的實用方法．用“五點法”作圖時，一定周期、二定起點、三按周期規律均勻分布其余四點．

“變換法”在實際作圖時并不太方便，但它能幫助我們認清函

數y=Asin(ωx+φ)與正弦函數y=sinx之間的內在聯系，應用很廣泛．常用的變換規律是：

y=sinx

沿x軸向左平移φ(φ>0)個單位或向右平移|φ|(φ<0)個單位（相位變換）y=sin(x+φ)

縱坐標不變，橫坐標變為原來的1ω（周期變換）

y=sin(ωx+φ)

橫坐標不變，縱坐標變為原來的A倍（振幅變換）

y=Asin(ωx+φ)

例1試用五點法作出函數f(x)=2sin(2x-π3)的圖象，并說出這個函數的圖象可以由函數y=cosx的圖象經過怎樣的變換得到．

解析列表描點得出f(x)=2sin(2x-π3)的圖象（如圖1所示）.

2x-π30π2π32π2π

xπ6512π

23π

1112π76π

y020-20

y=cosx，即y=sin(x+π2)．將y=sin(x+π2)圖象沿x軸向右平移56π個單位，得到y=sin(x+π2-5π6)即y=sin(x-π3)的圖象；將所得圖象上的各點橫坐標變為原來的12（縱坐標不變），得到y=sin(2x-π3)的圖象；再將所得圖象上各點的縱坐標變為原來的二倍（橫坐標不變），得到y=2sin(2x-π3)的圖象．

二、 學會識圖

這里的識圖是指由給出的圖象，能寫出與之對應的函數y=Asin(ωx+φ)的解析式，從而進一步地，能夠認識和研究這個函數的有關性質．

由所給圖象寫出與之對應的函數y=Asin(ωx+φ)的解析式，關鍵是確定A、ω和φ的值．方法較為靈活．A通常由最大值和最小值確定，ω由周期確定：ω=2πT，而φ=-ωx0（這里的x0是指用“五點法”作圖時的起點的橫坐標）．另一種常用的方法則是將圖象上的點的坐標代入，借助待定系數法求解．

例2已知函數y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的圖象如圖2所示，試求出它的解析式、初相、周期、振幅和單調區間．

解析由圖象知A=2，T=2［6-(-2)］=16，故ω=2πT=

2π16=π8．

又圖象起點的橫坐標x0=-2，

所以φ=-ωx0=-π8·(-2)=π4．所以f(x)=2sin(π8x+π4)．

其初相φ=π4，周期T=16，振幅A=2.由2kπ-π2≤π8x+π4≤2kπ+π2，得16k-6≤x≤16k+2，即增區間為［16k-6,16k+2］(k∈Z)；同理可得減區間為［16k+2,16k+10］(k∈Z)．

三、體驗用圖

“用圖”是數形結合思想的體現，學會運用函數y=Asin(ωx+φ)的圖象解決與三角函數有關的數學問題和實際問題，可以使我們的思維品質和解題能力得到有效的鍛煉與提高．

例3某港口的水深y(m)是時間t(0≤t≤24,單位：小時）的函數.下面是該港口的水深數據表.經長時間的觀察，描出的曲線如圖3所示，經擬合，該曲線可近似地看成正弦函數y=Asinωt+B的圖象．

(1)試根據數據表和曲線，求出函數

y=Asinωt+B的表達式；

(2)一般情況下，船舶行時船底同海底

的距離不少于4.5m時是安全的．如果某船

的吃水深度（船底與水面的距離）為7m，

那么該船在什么時間段能夠安全進港？若該

船欲當天安全離港，它在港內停留的時間最多不能超過多長時間（忽略離港所需的時間）？

解析應根據圖象上顯示出來的特點，我們可以通過求出A,ω,B的值，將實際問題抽象為數學問題來解決．

（1）由數據表和曲線知A=3,B=10，周期T=12，