在幾何光學中感受感性與理性的統一

馬國偉

筆者想通過這一課使學生認識到物理學習中也需要感性圖形的輔助

【新課引入】人類對事物的認知一般都是從感性到理性，從具體到抽象，今天我們體驗幾何光學中的感性與理性

【進入新課】

一、由感性到理性表述幾何光學概念規律

（1）感性圖形的表述

曾經有位同學問過這樣一個問題：光線發生全發射為什么一定要從光密介質射向光疏介質才會發生呢？

在光線由光疏介質進入光密介質時折射角小于入射角，在光線由光密介質進入光疏介質時折射角大于入射角.所以光線由光疏介質進入光密介質一定有折射光線，但光線由光密介質進入光疏介質時，如果入射角達到一定大小，折射角會達到或超過90°，此時發生全反射.

（2）理性抽象的表述:①反射角等于入射角i=β;

②折射率：n=sinisinr=cv介質折射率等于真空中的（或空氣中的）除以介質中的

;③全反射時 sinC=1n.

二、由感性到理性解決幾何光學問題

例1（2011年蘇錫常鎮一模）一組平行的細激光束，垂直于半圓柱玻璃的平面射到放于真空中的半圓柱玻璃上，如圖3所示．已知光線I沿直線穿過玻璃，它的入射點是O，光線Ⅱ的入射點為A，穿過玻璃后兩條光線交于一點．已知玻璃截面的圓半徑為R，OA=R2，玻璃的折射率n=3，真空光速為c．求：

①兩條光線射出玻璃后的交點與O點的距離；

②光線Ⅱ從A點入射到與光線I相交所用的時間．

解析①作出光路圖如圖4所示.

sinθ1=OAOB=12,由n=sinθ2sinθ1，所以θ2=60°.

由幾何關系可得OB=BP，所以OP=2Rcos30°=3R.

②t=tAB+tBP，v=cn，tAB=ABv， tBP=BPc,帶入可得 t=5R2c.

備注本題第一問的難點為規范作圖中的法線為半徑，如這一關突破則是第二關幾何關系中△OBP底腳為30°的等腰三角形.可能會有不少學生解決不了.第二問的難度則在于求時間時學生很可能會忘記光線在介質中的速度不是c.所以本題學生的正誤不容樂觀.

從例題中我們可以看到，要解決幾何光學問題需要3步:

（1）根據題意作出光路圖——感性的圖形;

（2）根據題意，利用光路圖尋找幾何關系——理性的抽象;

（3）根據對問題的分析寫表達式，并根據必要的推理寫表達式求解——問題的解決.

例2（2013年江蘇高考）圖5為單反照相機取景器的示意圖, ABCDE五棱鏡的一個截面AB⊥BC. 光線垂直AB 射入,分別在CD和EA上發生反射,且兩次反射的入射角相等,最后光線垂直BC射出.若兩次反射都為全反射,則該五棱鏡折射率的最小值是多少?(計算結果可用三角函數表示)

解析作出光路圖如右圖所示.設光線到達CD邊的入射角為i，因在CD邊和AE邊反射，且兩次反射角相等.由幾何關系可得4i=90°,所以i=22.5°，根據sinC=1n，所以折射率的最小值為nmin=1sin22.5°.

備注本題的重點在于光路的規范作圖①法線用虛線作圖.②光線實線箭頭標示.本題最大的難點在于學生作圖時需要將五棱鏡中的入射光線和出射光線先行畫好.

例3（2010年重慶高考）如圖7所示，空氣中有一折射率為2的玻璃柱體，其橫截面是圓心角為90°、半徑為R的扇形OAB.一束平行光平行于橫截面，以45°入射角照射到OA上，OB不透光．若只考慮首次入射到圓弧AB上的光，則圓弧AB上有光透出部分的弧長為().

A.16πRB.14πRC.13πR D.512πR

解析假設從E點入射的光線經折射到達D點為光線發生全反射的臨界點，此時有θ=30°， ODE=45°，所以∠DOA=15°.

又β=30°，所以出射區域圓心角α=45°.

所以圓弧長為B.

本題有一個難點一個易錯點，難點為學生能不能找到臨界條件，易錯點為從O點入射的光線為圓弧出射光線的最低點.

從感性到理性，從具體到抽象，這是人類認識世界的過程，也是研究物理問題的過程.幾何光學很好的詮釋了這一過程，其他的部分也在做著詮釋，比如動力學問題作出受力分析圖和運動過程圖，電路問題的電路圖，電磁學中的電場線和磁感線等.請同學們在以后的物理學習中要勤于作圖將抽象復雜的物理問題轉化為具體感性的圖形分析，以達到解決物理問題的目的.

筆者想通過這一課使學生認識到物理學習中也需要感性圖形的輔助

【新課引入】人類對事物的認知一般都是從感性到理性，從具體到抽象，今天我們體驗幾何光學中的感性與理性

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一、由感性到理性表述幾何光學概念規律

（1）感性圖形的表述

曾經有位同學問過這樣一個問題：光線發生全發射為什么一定要從光密介質射向光疏介質才會發生呢？

在光線由光疏介質進入光密介質時折射角小于入射角，在光線由光密介質進入光疏介質時折射角大于入射角.所以光線由光疏介質進入光密介質一定有折射光線，但光線由光密介質進入光疏介質時，如果入射角達到一定大小，折射角會達到或超過90°，此時發生全反射.

（2）理性抽象的表述:①反射角等于入射角i=β;

②折射率：n=sinisinr=cv介質折射率等于真空中的（或空氣中的）除以介質中的

;③全反射時 sinC=1n.

二、由感性到理性解決幾何光學問題

例1（2011年蘇錫常鎮一模）一組平行的細激光束，垂直于半圓柱玻璃的平面射到放于真空中的半圓柱玻璃上，如圖3所示．已知光線I沿直線穿過玻璃，它的入射點是O，光線Ⅱ的入射點為A，穿過玻璃后兩條光線交于一點．已知玻璃截面的圓半徑為R，OA=R2，玻璃的折射率n=3，真空光速為c．求：

①兩條光線射出玻璃后的交點與O點的距離；

②光線Ⅱ從A點入射到與光線I相交所用的時間．

解析①作出光路圖如圖4所示.

sinθ1=OAOB=12,由n=sinθ2sinθ1，所以θ2=60°.

由幾何關系可得OB=BP，所以OP=2Rcos30°=3R.

②t=tAB+tBP，v=cn，tAB=ABv， tBP=BPc,帶入可得 t=5R2c.

備注本題第一問的難點為規范作圖中的法線為半徑，如這一關突破則是第二關幾何關系中△OBP底腳為30°的等腰三角形.可能會有不少學生解決不了.第二問的難度則在于求時間時學生很可能會忘記光線在介質中的速度不是c.所以本題學生的正誤不容樂觀.

從例題中我們可以看到，要解決幾何光學問題需要3步:

（1）根據題意作出光路圖——感性的圖形;

（2）根據題意，利用光路圖尋找幾何關系——理性的抽象;

（3）根據對問題的分析寫表達式，并根據必要的推理寫表達式求解——問題的解決.

例2（2013年江蘇高考）圖5為單反照相機取景器的示意圖, ABCDE五棱鏡的一個截面AB⊥BC. 光線垂直AB 射入,分別在CD和EA上發生反射,且兩次反射的入射角相等,最后光線垂直BC射出.若兩次反射都為全反射,則該五棱鏡折射率的最小值是多少?(計算結果可用三角函數表示)

解析作出光路圖如右圖所示.設光線到達CD邊的入射角為i，因在CD邊和AE邊反射，且兩次反射角相等.由幾何關系可得4i=90°,所以i=22.5°，根據sinC=1n，所以折射率的最小值為nmin=1sin22.5°.

備注本題的重點在于光路的規范作圖①法線用虛線作圖.②光線實線箭頭標示.本題最大的難點在于學生作圖時需要將五棱鏡中的入射光線和出射光線先行畫好.

例3（2010年重慶高考）如圖7所示，空氣中有一折射率為2的玻璃柱體，其橫截面是圓心角為90°、半徑為R的扇形OAB.一束平行光平行于橫截面，以45°入射角照射到OA上，OB不透光．若只考慮首次入射到圓弧AB上的光，則圓弧AB上有光透出部分的弧長為().

A.16πRB.14πRC.13πR D.512πR

解析假設從E點入射的光線經折射到達D點為光線發生全反射的臨界點，此時有θ=30°， ODE=45°，所以∠DOA=15°.

又β=30°，所以出射區域圓心角α=45°.

所以圓弧長為B.

本題有一個難點一個易錯點，難點為學生能不能找到臨界條件，易錯點為從O點入射的光線為圓弧出射光線的最低點.

從感性到理性，從具體到抽象，這是人類認識世界的過程，也是研究物理問題的過程.幾何光學很好的詮釋了這一過程，其他的部分也在做著詮釋，比如動力學問題作出受力分析圖和運動過程圖，電路問題的電路圖，電磁學中的電場線和磁感線等.請同學們在以后的物理學習中要勤于作圖將抽象復雜的物理問題轉化為具體感性的圖形分析，以達到解決物理問題的目的.

筆者想通過這一課使學生認識到物理學習中也需要感性圖形的輔助

【新課引入】人類對事物的認知一般都是從感性到理性，從具體到抽象，今天我們體驗幾何光學中的感性與理性

【進入新課】

一、由感性到理性表述幾何光學概念規律

（1）感性圖形的表述

曾經有位同學問過這樣一個問題：光線發生全發射為什么一定要從光密介質射向光疏介質才會發生呢？

在光線由光疏介質進入光密介質時折射角小于入射角，在光線由光密介質進入光疏介質時折射角大于入射角.所以光線由光疏介質進入光密介質一定有折射光線，但光線由光密介質進入光疏介質時，如果入射角達到一定大小，折射角會達到或超過90°，此時發生全反射.

（2）理性抽象的表述:①反射角等于入射角i=β;

②折射率：n=sinisinr=cv介質折射率等于真空中的（或空氣中的）除以介質中的

;③全反射時 sinC=1n.

二、由感性到理性解決幾何光學問題

例1（2011年蘇錫常鎮一模）一組平行的細激光束，垂直于半圓柱玻璃的平面射到放于真空中的半圓柱玻璃上，如圖3所示．已知光線I沿直線穿過玻璃，它的入射點是O，光線Ⅱ的入射點為A，穿過玻璃后兩條光線交于一點．已知玻璃截面的圓半徑為R，OA=R2，玻璃的折射率n=3，真空光速為c．求：

①兩條光線射出玻璃后的交點與O點的距離；

②光線Ⅱ從A點入射到與光線I相交所用的時間．

解析①作出光路圖如圖4所示.

sinθ1=OAOB=12,由n=sinθ2sinθ1，所以θ2=60°.

由幾何關系可得OB=BP，所以OP=2Rcos30°=3R.

②t=tAB+tBP，v=cn，tAB=ABv， tBP=BPc,帶入可得 t=5R2c.

備注本題第一問的難點為規范作圖中的法線為半徑，如這一關突破則是第二關幾何關系中△OBP底腳為30°的等腰三角形.可能會有不少學生解決不了.第二問的難度則在于求時間時學生很可能會忘記光線在介質中的速度不是c.所以本題學生的正誤不容樂觀.

從例題中我們可以看到，要解決幾何光學問題需要3步:

（1）根據題意作出光路圖——感性的圖形;

（2）根據題意，利用光路圖尋找幾何關系——理性的抽象;

（3）根據對問題的分析寫表達式，并根據必要的推理寫表達式求解——問題的解決.

例2（2013年江蘇高考）圖5為單反照相機取景器的示意圖, ABCDE五棱鏡的一個截面AB⊥BC. 光線垂直AB 射入,分別在CD和EA上發生反射,且兩次反射的入射角相等,最后光線垂直BC射出.若兩次反射都為全反射,則該五棱鏡折射率的最小值是多少?(計算結果可用三角函數表示)

解析作出光路圖如右圖所示.設光線到達CD邊的入射角為i，因在CD邊和AE邊反射，且兩次反射角相等.由幾何關系可得4i=90°,所以i=22.5°，根據sinC=1n，所以折射率的最小值為nmin=1sin22.5°.

備注本題的重點在于光路的規范作圖①法線用虛線作圖.②光線實線箭頭標示.本題最大的難點在于學生作圖時需要將五棱鏡中的入射光線和出射光線先行畫好.

例3（2010年重慶高考）如圖7所示，空氣中有一折射率為2的玻璃柱體，其橫截面是圓心角為90°、半徑為R的扇形OAB.一束平行光平行于橫截面，以45°入射角照射到OA上，OB不透光．若只考慮首次入射到圓弧AB上的光，則圓弧AB上有光透出部分的弧長為().

A.16πRB.14πRC.13πR D.512πR

解析假設從E點入射的光線經折射到達D點為光線發生全反射的臨界點，此時有θ=30°， ODE=45°，所以∠DOA=15°.

又β=30°，所以出射區域圓心角α=45°.

所以圓弧長為B.

本題有一個難點一個易錯點，難點為學生能不能找到臨界條件，易錯點為從O點入射的光線為圓弧出射光線的最低點.

從感性到理性，從具體到抽象，這是人類認識世界的過程，也是研究物理問題的過程.幾何光學很好的詮釋了這一過程，其他的部分也在做著詮釋，比如動力學問題作出受力分析圖和運動過程圖，電路問題的電路圖，電磁學中的電場線和磁感線等.請同學們在以后的物理學習中要勤于作圖將抽象復雜的物理問題轉化為具體感性的圖形分析，以達到解決物理問題的目的.