一道高考題解法的再探究

王佩成+徐雪琴

2013年高考數學重慶卷（理科）第10題為：

在平面上，AB1⊥AB2，|OB1|=|OB2|=1，AP=AB1+AB2，若|OP|<12，則|OA|的取值范圍是（）.

A.(0,52］B.(52,72］C.(52,2］D.(72,2］

某刊對該題給出了如下解析和答案：

由題意B1，B2在以O為圓心的單位圓上，點P在以O為圓心半徑為12圓內.又

AB1⊥AB2,AP

=AB1+AB2

，所以點A在以B1B2為直徑的圓上.當P與O點重合時，|OA|最大，為2，當P在半徑為12的圓周上時，|OA|最小，為72，故選D.

這種答案簡潔.按其思路，筆者對這種方法進行了再探索，如下:

解法一（特殊值法）

圖（1）當O與P重合且B1、B2分別是單位圓與x軸、y軸的交點時，|OA|=2，排除A、B;圖（2）當P在O∶x2+y2=14上時，不妨取直線y=x與O∶x2+y2=14在第三象限內的交點為P，過

點P分別作x軸、y軸的垂線，交單位圓于B1、B2兩點，交x軸、y軸于C、D兩點，則△PDO為等腰直角三角形.由OP=12知OC=OD=24，故AE=B1C=OB21-OC2=144.同理OE=144.所以|OA|=72.由于點P在以O為圓心，以22為半徑的圓的內部（不包括圓周），排除C，故選D.

在考場上，高效靈活的解題方法值得贊賞. 在平時教學中， 筆者認為更應該關注通性通法，下面介紹兩種解決此類問題的一般方法.

解法二（向量法）

因為AB1⊥AB2,所以(OB1-OA)·(OB2-OA)=0,

整理可得OB1·OB2-OA·(OB1+OB2)=-OA2.①

因為AP=AB1+AB2,所以OP-OA=OB1-OA+OB2-OA,即OP=OB1+OB2-OA.

|OP|=(OB1+OB2-OA)2

=OB12+OB22+OA2-2OA·(OB1+OB2)+2OB1·OB2.

將①式代入上式化簡得：|OP|=2-OA2，因為0≤|OP|<12， 所以0≤2-|OA|2<14,故72<|OA|≤2.

解法三（坐標法)

建系如圖(3).

因為AB1⊥AB2，AP=AB1+AB2，所以四邊形AB1PB2為矩形， 所以PB1⊥PB2.

設B1(cosθ1,sinθ1)，B2(cosθ2,sinθ2),P(x,y)(P在圓O∶x2+y2=14內）.

PB1=(cosθ1-x,sinθ1-y),PB2=(cosθ2-x,sinθ2-y),

故PB1·PB2=(cosθ1-x)(cosθ2-x)+(sinθ1-y)(sinθ2-y)=0，

化簡得:cosθ1cosθ2-(cosθ1+cosθ2)x+sinθ1sinθ2-(sinθ1+sinθ2)y=-x2-y2.②

又PA=PB1+PB2=(cosθ1+cosθ2-x,sinθ1+sinθ2-2y),

OA=OP+PA=(cosθ1+cosθ2-x,sinθ1+sinθ2-y),

|OA|=(cosθ1+cosθ2-x)2+(sinθ1+sinθ2-y)2,

將②式代入上式化簡得：

|OA|=2-(x2+y2).因為

|OP|<12,

即0≤x2+y2<14,所以-14<-x2-y2≤0,

所以74<2-x2-y2≤2,所以72<|OA|≤2.

簡評解法一采用了特殊值法的思想，有風險但求解效率較高; 解法二是運用純向量的方法，求解思路清晰；解法三中的坐標法，由于A點在動，引起其他點動，不好確定，筆者采用了先確定P點，從而將運動的量固定，轉化為可以用點的坐標去運算的量，問題迎刃而解.

一堂課結束以后，還需要有深入的分析和歸納：哪些數學概念適合用舊有的知識引入，哪些概念更適合用實例引入，教學中有哪些成功之處，又有哪些需要改進的不足？尤其應該重視學優生與學困生之間的差距.

因為，任何理論的實踐都不可能是一帆風順的，理論服務于實踐，也完善于實踐，只有不斷的探索，才能夠讓概念課教學在高中數學的課堂上充分發揮出自己的優勢.

綜上所述，對于高中數學來說，概念課教學從理論走向實踐的探索過程，無疑具有劃時代的意義.它能夠從根本上改變“生搬硬套”的學習模式，從更為本質的角度出發，變“輕概念、重解題”為“重概念、巧解題”，真正做到以學生為本、以“漁”為重，減輕學生負擔、提高學習效率.

2013年高考數學重慶卷（理科）第10題為：

在平面上，AB1⊥AB2，|OB1|=|OB2|=1，AP=AB1+AB2，若|OP|<12，則|OA|的取值范圍是（）.

A.(0,52］B.(52,72］C.(52,2］D.(72,2］

某刊對該題給出了如下解析和答案：

由題意B1，B2在以O為圓心的單位圓上，點P在以O為圓心半徑為12圓內.又

AB1⊥AB2,AP

=AB1+AB2

，所以點A在以B1B2為直徑的圓上.當P與O點重合時，|OA|最大，為2，當P在半徑為12的圓周上時，|OA|最小，為72，故選D.

這種答案簡潔.按其思路，筆者對這種方法進行了再探索，如下:

解法一（特殊值法）

圖（1）當O與P重合且B1、B2分別是單位圓與x軸、y軸的交點時，|OA|=2，排除A、B;圖（2）當P在O∶x2+y2=14上時，不妨取直線y=x與O∶x2+y2=14在第三象限內的交點為P，過

點P分別作x軸、y軸的垂線，交單位圓于B1、B2兩點，交x軸、y軸于C、D兩點，則△PDO為等腰直角三角形.由OP=12知OC=OD=24，故AE=B1C=OB21-OC2=144.同理OE=144.所以|OA|=72.由于點P在以O為圓心，以22為半徑的圓的內部（不包括圓周），排除C，故選D.

在考場上，高效靈活的解題方法值得贊賞. 在平時教學中， 筆者認為更應該關注通性通法，下面介紹兩種解決此類問題的一般方法.

解法二（向量法）

因為AB1⊥AB2,所以(OB1-OA)·(OB2-OA)=0,

整理可得OB1·OB2-OA·(OB1+OB2)=-OA2.①

因為AP=AB1+AB2,所以OP-OA=OB1-OA+OB2-OA,即OP=OB1+OB2-OA.

|OP|=(OB1+OB2-OA)2

=OB12+OB22+OA2-2OA·(OB1+OB2)+2OB1·OB2.

將①式代入上式化簡得：|OP|=2-OA2，因為0≤|OP|<12， 所以0≤2-|OA|2<14,故72<|OA|≤2.

解法三（坐標法)

建系如圖(3).

因為AB1⊥AB2，AP=AB1+AB2，所以四邊形AB1PB2為矩形， 所以PB1⊥PB2.

設B1(cosθ1,sinθ1)，B2(cosθ2,sinθ2),P(x,y)(P在圓O∶x2+y2=14內）.

PB1=(cosθ1-x,sinθ1-y),PB2=(cosθ2-x,sinθ2-y),

故PB1·PB2=(cosθ1-x)(cosθ2-x)+(sinθ1-y)(sinθ2-y)=0，

化簡得:cosθ1cosθ2-(cosθ1+cosθ2)x+sinθ1sinθ2-(sinθ1+sinθ2)y=-x2-y2.②

又PA=PB1+PB2=(cosθ1+cosθ2-x,sinθ1+sinθ2-2y),

OA=OP+PA=(cosθ1+cosθ2-x,sinθ1+sinθ2-y),

|OA|=(cosθ1+cosθ2-x)2+(sinθ1+sinθ2-y)2,

將②式代入上式化簡得：

|OA|=2-(x2+y2).因為

|OP|<12,

即0≤x2+y2<14,所以-14<-x2-y2≤0,

所以74<2-x2-y2≤2,所以72<|OA|≤2.

簡評解法一采用了特殊值法的思想，有風險但求解效率較高; 解法二是運用純向量的方法，求解思路清晰；解法三中的坐標法，由于A點在動，引起其他點動，不好確定，筆者采用了先確定P點，從而將運動的量固定，轉化為可以用點的坐標去運算的量，問題迎刃而解.

一堂課結束以后，還需要有深入的分析和歸納：哪些數學概念適合用舊有的知識引入，哪些概念更適合用實例引入，教學中有哪些成功之處，又有哪些需要改進的不足？尤其應該重視學優生與學困生之間的差距.

因為，任何理論的實踐都不可能是一帆風順的，理論服務于實踐，也完善于實踐，只有不斷的探索，才能夠讓概念課教學在高中數學的課堂上充分發揮出自己的優勢.

綜上所述，對于高中數學來說，概念課教學從理論走向實踐的探索過程，無疑具有劃時代的意義.它能夠從根本上改變“生搬硬套”的學習模式，從更為本質的角度出發，變“輕概念、重解題”為“重概念、巧解題”，真正做到以學生為本、以“漁”為重，減輕學生負擔、提高學習效率.

2013年高考數學重慶卷（理科）第10題為：

在平面上，AB1⊥AB2，|OB1|=|OB2|=1，AP=AB1+AB2，若|OP|<12，則|OA|的取值范圍是（）.

A.(0,52］B.(52,72］C.(52,2］D.(72,2］

某刊對該題給出了如下解析和答案：

由題意B1，B2在以O為圓心的單位圓上，點P在以O為圓心半徑為12圓內.又

AB1⊥AB2,AP

=AB1+AB2

，所以點A在以B1B2為直徑的圓上.當P與O點重合時，|OA|最大，為2，當P在半徑為12的圓周上時，|OA|最小，為72，故選D.

這種答案簡潔.按其思路，筆者對這種方法進行了再探索，如下:

解法一（特殊值法）

圖（1）當O與P重合且B1、B2分別是單位圓與x軸、y軸的交點時，|OA|=2，排除A、B;圖（2）當P在O∶x2+y2=14上時，不妨取直線y=x與O∶x2+y2=14在第三象限內的交點為P，過

點P分別作x軸、y軸的垂線，交單位圓于B1、B2兩點，交x軸、y軸于C、D兩點，則△PDO為等腰直角三角形.由OP=12知OC=OD=24，故AE=B1C=OB21-OC2=144.同理OE=144.所以|OA|=72.由于點P在以O為圓心，以22為半徑的圓的內部（不包括圓周），排除C，故選D.

在考場上，高效靈活的解題方法值得贊賞. 在平時教學中， 筆者認為更應該關注通性通法，下面介紹兩種解決此類問題的一般方法.

解法二（向量法）

因為AB1⊥AB2,所以(OB1-OA)·(OB2-OA)=0,

整理可得OB1·OB2-OA·(OB1+OB2)=-OA2.①

因為AP=AB1+AB2,所以OP-OA=OB1-OA+OB2-OA,即OP=OB1+OB2-OA.

|OP|=(OB1+OB2-OA)2

=OB12+OB22+OA2-2OA·(OB1+OB2)+2OB1·OB2.

將①式代入上式化簡得：|OP|=2-OA2，因為0≤|OP|<12， 所以0≤2-|OA|2<14,故72<|OA|≤2.

解法三（坐標法)

建系如圖(3).

因為AB1⊥AB2，AP=AB1+AB2，所以四邊形AB1PB2為矩形， 所以PB1⊥PB2.

設B1(cosθ1,sinθ1)，B2(cosθ2,sinθ2),P(x,y)(P在圓O∶x2+y2=14內）.

PB1=(cosθ1-x,sinθ1-y),PB2=(cosθ2-x,sinθ2-y),

故PB1·PB2=(cosθ1-x)(cosθ2-x)+(sinθ1-y)(sinθ2-y)=0，

化簡得:cosθ1cosθ2-(cosθ1+cosθ2)x+sinθ1sinθ2-(sinθ1+sinθ2)y=-x2-y2.②

又PA=PB1+PB2=(cosθ1+cosθ2-x,sinθ1+sinθ2-2y),

OA=OP+PA=(cosθ1+cosθ2-x,sinθ1+sinθ2-y),

|OA|=(cosθ1+cosθ2-x)2+(sinθ1+sinθ2-y)2,

將②式代入上式化簡得：

|OA|=2-(x2+y2).因為

|OP|<12,

即0≤x2+y2<14,所以-14<-x2-y2≤0,

所以74<2-x2-y2≤2,所以72<|OA|≤2.

簡評解法一采用了特殊值法的思想，有風險但求解效率較高; 解法二是運用純向量的方法，求解思路清晰；解法三中的坐標法，由于A點在動，引起其他點動，不好確定，筆者采用了先確定P點，從而將運動的量固定，轉化為可以用點的坐標去運算的量，問題迎刃而解.

一堂課結束以后，還需要有深入的分析和歸納：哪些數學概念適合用舊有的知識引入，哪些概念更適合用實例引入，教學中有哪些成功之處，又有哪些需要改進的不足？尤其應該重視學優生與學困生之間的差距.

因為，任何理論的實踐都不可能是一帆風順的，理論服務于實踐，也完善于實踐，只有不斷的探索，才能夠讓概念課教學在高中數學的課堂上充分發揮出自己的優勢.

綜上所述，對于高中數學來說，概念課教學從理論走向實踐的探索過程，無疑具有劃時代的意義.它能夠從根本上改變“生搬硬套”的學習模式，從更為本質的角度出發，變“輕概念、重解題”為“重概念、巧解題”，真正做到以學生為本、以“漁”為重，減輕學生負擔、提高學習效率.