談橢圓焦半徑的幾何轉化

馮剛

我們平時對解析幾何的認識是幾何問題代數化，即用代數方法解決幾何問題.因此，往往將思路固定在了代數方法而忽略了其本質還是幾何問題.事實上，解析幾何問題合理的方式是要優先運用幾何性質，然后運用代數技巧.就如老師輔導學生一樣，因為學生才是主體，若學生自身不努力，那老師的輔導是很艱難的.

對于江蘇高考，解析幾何有其特殊的重要地位，一般是18題，若此題做不好，那分數不但得不高，還會產生焦慮，影響后兩道難題.而通過筆者的研究，解析幾何問題也是有規可循的.原因是2002年初中課改，已經將韋達定理排除在課程之外，命題就較為單一.08年、09年高考命題是直線和圓的問題，需要緊扣圓的幾何性質解決，而10年、11年、12年又回到了直線和橢圓問題，因此，直線和橢圓問題仍會是高考解析幾何的命題重點.那是不是因為橢圓的性質少了，就純用代數方法去解決了呢？

下面筆者就“直線過橢圓焦點”問題來談一談.（附注：直線和橢圓的三類相交問題是指“直線過橢圓焦點”問題、 “直線過橢圓上已知點” 問題、 “直線過橢圓中心” 問題.）

例1（2012年江蘇）如圖,在平面直角坐標系xOy中,橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1(-c,0),F2(c,0).已知(1,e)和(e,32)都在橢圓上,其中e為橢圓的離心率.

（1）求橢圓的方程；

（2）設A,B是橢圓上位于x軸上方的兩點,且直線AF1與直線BF2平行,AF2與BF1交于點P.

(ⅰ)若AF1-BF2=62,求直線AF1的斜率；

(ⅱ)求證:PF1+PF2是定值.

分析1第一小題求橢圓的方程就要求兩個參數，而已知條件為兩個點，利用方程思想即可解決.

解(1)由題設知,a2=b2+c2,e=ca,由點(1,e)在橢圓上,得

12a2+e2b2=11a2+c2a2b2=1b2+c2=a2b2a2=a2b2b2=1,所以c2=a2-1.

由點(e,32)在橢圓上,得e2a2+(32)2b2=1c2a4+(32)21=1a2-1a4+34=1a4-4a2+4=0a2=2.

所以橢圓的方程為x22+y2=1.

分析2第二小題很多人的想法就是代數運算，設出直線AF1的方程，根據平行關系得出直線BF2的方程，從而聯立方程解出A,B兩點的坐標，從而求出AF1,BF2的長，進而解決第二小題，過程計算非常復雜，見下方答案：

(2)由(1)得F1(-1,0),F2(1,0),又因為AF1∥BF2,

所以設AF1、BF2的方程分別為my=x+1,my=x-1,A(x1,y1),B(x2,y2),y1>0,y2>0.

所以x212+y21=1，

my1=x1+1

(m2+2)y21-2my1-1=0y1=m+2m2+2m2+2.

所以 AF1=(x1+1)2+(y1-0)2=(my1)2+y21

=m2+1·m+2m2+2m2+2=2(m2+1)+mm2+1m2+2.①

同理,BF2=2(m2+1)-mm2+1m2+2.②

(ⅰ)由①②得,AF1-BF2=2mm2+1m2+2.

解2mm2+1m2+2=62得m2=2.

注意到m>0,所以m=2.

所以直線AF1的斜率為1m=62.

(ⅱ)證明:因為AF1∥BF2,所以PBPF1=BF2AF1,

即PBPF1+1=BF2AF1+1PB+PF1PF1=BF2+AF1AF1.

所以PF1=AF1AF1+BF2BF1 .

由點B在橢圓上知,

BF1+BF2=22,

所以PF1=AF1AF1+BF2(22-BF2).

同理PF2=BF2AF1+BF2(22-AF1).

所以PF1+PF2=AF1AF1+BF2 (22-BF2)+BF2AF1+BF2(22

函數式為y=3sinπ6t+10．

（2）由題意，水深y≥4.5+7,即y=3sinπ6t+10≥11.5, t∈［0,24］．化簡得sinπ6t≥12，于是t∈［1,5］或t∈［13,17］．

所以，該船在1時至5時或13時至17時能安全進港．

若該船當天安全離港，在港內停留的時間最多不能超過16 h．

函數y=Asin(ωx+φ)作為描述現實世界中周期現象的一種數學模型，可以用來研究的實際問題十分廣泛.由于周期現象有明顯的圖象特征，在解決這些實際問題的過程中，體驗圖象的應用，既可以加深對函數y=Asin(ωx+φ)的圖象和性質的認識和理解，又能培養數學應用的意識和數學應用的能力.在學習函數y=Asin(ωx+φ)時，是一個值得我們引起關注的重要環節．

-AF1)=22-2AF1·BF2AF1+BF2.

由①②得,AF1+BF2=22(m2+1)m2+2,AF1·BF2=m2+1m2+2,

所以PF1+PF2=22-22=322.

所以PF1+PF2是定值.

分析3如果能重視解析幾何問題的本質還是幾何問題，優先思考幾何性質的運用，那就簡單很多了.那過焦點的直線AF1如何求呢？關鍵是對點A的處理，除了上述代數上的“設點法”，還可以根據幾何圖形用“設角法”.如右圖，設∠AF1O=θ，點A到相應準線的距離為d，根據統一定義：而將d平移到對稱軸F1F2上即為OC，因此AF1=ed=e·OC=e·(CF1+F1O).而CF1是焦點到相應準線的距離即為p，且在直角△AF1O中，OF1=AF1·cosθ，哪怕θ為鈍角，還是成立的.所以，AF1=e(p+AF1·cosθ).

從而解出AF1=ep1-ecosθ.

同理：BF2=ep1+ecosθ.

所以AF1-BF2=ep1-ecosθ-ep1+ecosθ=62 （其中離心率e=22，焦準距p=1），則cosθ=63，所以kAF1=tanθ=22.運用了幾何性質來解題后，代數運算過程大量減少.

第二小題同樣可以運用幾何性質來解決，

因為AF1∥BF2，則△PAF1∽△PF2B，

所以PF1PB=AF1BF2.①

又因為BF1+BF2=2a,即PF1+PB+ep1+ecosθ=2a.②

由①②兩式可得PF1=324+cosθ.同理可得PF2=324-cosθ.

所以 PF1+PF2=322,即PF1+PF2是定值.

根據以上研究，筆者將兩種方法的結構整合，考慮直線過橢圓的焦點時，只需考慮焦點弦AB，因而只需焦半徑AF（或BF），那如何確定焦半徑，可以設角（設θ=∠AFO）或設點坐標（設A(x,y)），即“設角法”（就是有人認為所謂的極坐標法）與“設點法”.“設點法”表面上好像有兩個變量x,y，實際上由于點在橢圓上即滿足橢圓方程，即由一個變量決定點A的位置.但每次計算成為這種純代數法的弊端.而如果注重了解析幾何問題的幾何性質，利用“設角法”， 學生很容易在幾何圖形上根據橢圓的定義推導出焦半徑公式，更不需要去死記硬背多種情況下的焦半徑公式.因此，解析幾何問題合理的方式是要優先運用幾何性質，然后運用代數技巧.

我們平時對解析幾何的認識是幾何問題代數化，即用代數方法解決幾何問題.因此，往往將思路固定在了代數方法而忽略了其本質還是幾何問題.事實上，解析幾何問題合理的方式是要優先運用幾何性質，然后運用代數技巧.就如老師輔導學生一樣，因為學生才是主體，若學生自身不努力，那老師的輔導是很艱難的.

對于江蘇高考，解析幾何有其特殊的重要地位，一般是18題，若此題做不好，那分數不但得不高，還會產生焦慮，影響后兩道難題.而通過筆者的研究，解析幾何問題也是有規可循的.原因是2002年初中課改，已經將韋達定理排除在課程之外，命題就較為單一.08年、09年高考命題是直線和圓的問題，需要緊扣圓的幾何性質解決，而10年、11年、12年又回到了直線和橢圓問題，因此，直線和橢圓問題仍會是高考解析幾何的命題重點.那是不是因為橢圓的性質少了，就純用代數方法去解決了呢？

下面筆者就“直線過橢圓焦點”問題來談一談.（附注：直線和橢圓的三類相交問題是指“直線過橢圓焦點”問題、 “直線過橢圓上已知點” 問題、 “直線過橢圓中心” 問題.）

例1（2012年江蘇）如圖,在平面直角坐標系xOy中,橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1(-c,0),F2(c,0).已知(1,e)和(e,32)都在橢圓上,其中e為橢圓的離心率.

（1）求橢圓的方程；

（2）設A,B是橢圓上位于x軸上方的兩點,且直線AF1與直線BF2平行,AF2與BF1交于點P.

(ⅰ)若AF1-BF2=62,求直線AF1的斜率；

(ⅱ)求證:PF1+PF2是定值.

分析1第一小題求橢圓的方程就要求兩個參數，而已知條件為兩個點，利用方程思想即可解決.

解(1)由題設知,a2=b2+c2,e=ca,由點(1,e)在橢圓上,得

12a2+e2b2=11a2+c2a2b2=1b2+c2=a2b2a2=a2b2b2=1,所以c2=a2-1.

由點(e,32)在橢圓上,得e2a2+(32)2b2=1c2a4+(32)21=1a2-1a4+34=1a4-4a2+4=0a2=2.

所以橢圓的方程為x22+y2=1.

分析2第二小題很多人的想法就是代數運算，設出直線AF1的方程，根據平行關系得出直線BF2的方程，從而聯立方程解出A,B兩點的坐標，從而求出AF1,BF2的長，進而解決第二小題，過程計算非常復雜，見下方答案：

(2)由(1)得F1(-1,0),F2(1,0),又因為AF1∥BF2,

所以設AF1、BF2的方程分別為my=x+1,my=x-1,A(x1,y1),B(x2,y2),y1>0,y2>0.

所以x212+y21=1，

my1=x1+1

(m2+2)y21-2my1-1=0y1=m+2m2+2m2+2.

所以 AF1=(x1+1)2+(y1-0)2=(my1)2+y21

=m2+1·m+2m2+2m2+2=2(m2+1)+mm2+1m2+2.①

同理,BF2=2(m2+1)-mm2+1m2+2.②

(ⅰ)由①②得,AF1-BF2=2mm2+1m2+2.

解2mm2+1m2+2=62得m2=2.

注意到m>0,所以m=2.

所以直線AF1的斜率為1m=62.

(ⅱ)證明:因為AF1∥BF2,所以PBPF1=BF2AF1,

即PBPF1+1=BF2AF1+1PB+PF1PF1=BF2+AF1AF1.

所以PF1=AF1AF1+BF2BF1 .

由點B在橢圓上知,

BF1+BF2=22,

所以PF1=AF1AF1+BF2(22-BF2).

同理PF2=BF2AF1+BF2(22-AF1).

所以PF1+PF2=AF1AF1+BF2 (22-BF2)+BF2AF1+BF2(22

函數式為y=3sinπ6t+10．

（2）由題意，水深y≥4.5+7,即y=3sinπ6t+10≥11.5, t∈［0,24］．化簡得sinπ6t≥12，于是t∈［1,5］或t∈［13,17］．

所以，該船在1時至5時或13時至17時能安全進港．

若該船當天安全離港，在港內停留的時間最多不能超過16 h．

函數y=Asin(ωx+φ)作為描述現實世界中周期現象的一種數學模型，可以用來研究的實際問題十分廣泛.由于周期現象有明顯的圖象特征，在解決這些實際問題的過程中，體驗圖象的應用，既可以加深對函數y=Asin(ωx+φ)的圖象和性質的認識和理解，又能培養數學應用的意識和數學應用的能力.在學習函數y=Asin(ωx+φ)時，是一個值得我們引起關注的重要環節．

-AF1)=22-2AF1·BF2AF1+BF2.

由①②得,AF1+BF2=22(m2+1)m2+2,AF1·BF2=m2+1m2+2,

所以PF1+PF2=22-22=322.

所以PF1+PF2是定值.

分析3如果能重視解析幾何問題的本質還是幾何問題，優先思考幾何性質的運用，那就簡單很多了.那過焦點的直線AF1如何求呢？關鍵是對點A的處理，除了上述代數上的“設點法”，還可以根據幾何圖形用“設角法”.如右圖，設∠AF1O=θ，點A到相應準線的距離為d，根據統一定義：而將d平移到對稱軸F1F2上即為OC，因此AF1=ed=e·OC=e·(CF1+F1O).而CF1是焦點到相應準線的距離即為p，且在直角△AF1O中，OF1=AF1·cosθ，哪怕θ為鈍角，還是成立的.所以，AF1=e(p+AF1·cosθ).

從而解出AF1=ep1-ecosθ.

同理：BF2=ep1+ecosθ.

所以AF1-BF2=ep1-ecosθ-ep1+ecosθ=62 （其中離心率e=22，焦準距p=1），則cosθ=63，所以kAF1=tanθ=22.運用了幾何性質來解題后，代數運算過程大量減少.

第二小題同樣可以運用幾何性質來解決，

因為AF1∥BF2，則△PAF1∽△PF2B，

所以PF1PB=AF1BF2.①

又因為BF1+BF2=2a,即PF1+PB+ep1+ecosθ=2a.②

由①②兩式可得PF1=324+cosθ.同理可得PF2=324-cosθ.

所以 PF1+PF2=322,即PF1+PF2是定值.

根據以上研究，筆者將兩種方法的結構整合，考慮直線過橢圓的焦點時，只需考慮焦點弦AB，因而只需焦半徑AF（或BF），那如何確定焦半徑，可以設角（設θ=∠AFO）或設點坐標（設A(x,y)），即“設角法”（就是有人認為所謂的極坐標法）與“設點法”.“設點法”表面上好像有兩個變量x,y，實際上由于點在橢圓上即滿足橢圓方程，即由一個變量決定點A的位置.但每次計算成為這種純代數法的弊端.而如果注重了解析幾何問題的幾何性質，利用“設角法”， 學生很容易在幾何圖形上根據橢圓的定義推導出焦半徑公式，更不需要去死記硬背多種情況下的焦半徑公式.因此，解析幾何問題合理的方式是要優先運用幾何性質，然后運用代數技巧.

我們平時對解析幾何的認識是幾何問題代數化，即用代數方法解決幾何問題.因此，往往將思路固定在了代數方法而忽略了其本質還是幾何問題.事實上，解析幾何問題合理的方式是要優先運用幾何性質，然后運用代數技巧.就如老師輔導學生一樣，因為學生才是主體，若學生自身不努力，那老師的輔導是很艱難的.

對于江蘇高考，解析幾何有其特殊的重要地位，一般是18題，若此題做不好，那分數不但得不高，還會產生焦慮，影響后兩道難題.而通過筆者的研究，解析幾何問題也是有規可循的.原因是2002年初中課改，已經將韋達定理排除在課程之外，命題就較為單一.08年、09年高考命題是直線和圓的問題，需要緊扣圓的幾何性質解決，而10年、11年、12年又回到了直線和橢圓問題，因此，直線和橢圓問題仍會是高考解析幾何的命題重點.那是不是因為橢圓的性質少了，就純用代數方法去解決了呢？

下面筆者就“直線過橢圓焦點”問題來談一談.（附注：直線和橢圓的三類相交問題是指“直線過橢圓焦點”問題、 “直線過橢圓上已知點” 問題、 “直線過橢圓中心” 問題.）

例1（2012年江蘇）如圖,在平面直角坐標系xOy中,橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1(-c,0),F2(c,0).已知(1,e)和(e,32)都在橢圓上,其中e為橢圓的離心率.

（1）求橢圓的方程；

（2）設A,B是橢圓上位于x軸上方的兩點,且直線AF1與直線BF2平行,AF2與BF1交于點P.

(ⅰ)若AF1-BF2=62,求直線AF1的斜率；

(ⅱ)求證:PF1+PF2是定值.

分析1第一小題求橢圓的方程就要求兩個參數，而已知條件為兩個點，利用方程思想即可解決.

解(1)由題設知,a2=b2+c2,e=ca,由點(1,e)在橢圓上,得

12a2+e2b2=11a2+c2a2b2=1b2+c2=a2b2a2=a2b2b2=1,所以c2=a2-1.

由點(e,32)在橢圓上,得e2a2+(32)2b2=1c2a4+(32)21=1a2-1a4+34=1a4-4a2+4=0a2=2.

所以橢圓的方程為x22+y2=1.

分析2第二小題很多人的想法就是代數運算，設出直線AF1的方程，根據平行關系得出直線BF2的方程，從而聯立方程解出A,B兩點的坐標，從而求出AF1,BF2的長，進而解決第二小題，過程計算非常復雜，見下方答案：

(2)由(1)得F1(-1,0),F2(1,0),又因為AF1∥BF2,

所以設AF1、BF2的方程分別為my=x+1,my=x-1,A(x1,y1),B(x2,y2),y1>0,y2>0.

所以x212+y21=1，

my1=x1+1

(m2+2)y21-2my1-1=0y1=m+2m2+2m2+2.

所以 AF1=(x1+1)2+(y1-0)2=(my1)2+y21

=m2+1·m+2m2+2m2+2=2(m2+1)+mm2+1m2+2.①

同理,BF2=2(m2+1)-mm2+1m2+2.②

(ⅰ)由①②得,AF1-BF2=2mm2+1m2+2.

解2mm2+1m2+2=62得m2=2.

注意到m>0,所以m=2.

所以直線AF1的斜率為1m=62.

(ⅱ)證明:因為AF1∥BF2,所以PBPF1=BF2AF1,

即PBPF1+1=BF2AF1+1PB+PF1PF1=BF2+AF1AF1.

所以PF1=AF1AF1+BF2BF1 .

由點B在橢圓上知,

BF1+BF2=22,

所以PF1=AF1AF1+BF2(22-BF2).

同理PF2=BF2AF1+BF2(22-AF1).

所以PF1+PF2=AF1AF1+BF2 (22-BF2)+BF2AF1+BF2(22

函數式為y=3sinπ6t+10．

（2）由題意，水深y≥4.5+7,即y=3sinπ6t+10≥11.5, t∈［0,24］．化簡得sinπ6t≥12，于是t∈［1,5］或t∈［13,17］．

所以，該船在1時至5時或13時至17時能安全進港．

若該船當天安全離港，在港內停留的時間最多不能超過16 h．

函數y=Asin(ωx+φ)作為描述現實世界中周期現象的一種數學模型，可以用來研究的實際問題十分廣泛.由于周期現象有明顯的圖象特征，在解決這些實際問題的過程中，體驗圖象的應用，既可以加深對函數y=Asin(ωx+φ)的圖象和性質的認識和理解，又能培養數學應用的意識和數學應用的能力.在學習函數y=Asin(ωx+φ)時，是一個值得我們引起關注的重要環節．

-AF1)=22-2AF1·BF2AF1+BF2.

由①②得,AF1+BF2=22(m2+1)m2+2,AF1·BF2=m2+1m2+2,

所以PF1+PF2=22-22=322.

所以PF1+PF2是定值.

分析3如果能重視解析幾何問題的本質還是幾何問題，優先思考幾何性質的運用，那就簡單很多了.那過焦點的直線AF1如何求呢？關鍵是對點A的處理，除了上述代數上的“設點法”，還可以根據幾何圖形用“設角法”.如右圖，設∠AF1O=θ，點A到相應準線的距離為d，根據統一定義：而將d平移到對稱軸F1F2上即為OC，因此AF1=ed=e·OC=e·(CF1+F1O).而CF1是焦點到相應準線的距離即為p，且在直角△AF1O中，OF1=AF1·cosθ，哪怕θ為鈍角，還是成立的.所以，AF1=e(p+AF1·cosθ).

從而解出AF1=ep1-ecosθ.

同理：BF2=ep1+ecosθ.

所以AF1-BF2=ep1-ecosθ-ep1+ecosθ=62 （其中離心率e=22，焦準距p=1），則cosθ=63，所以kAF1=tanθ=22.運用了幾何性質來解題后，代數運算過程大量減少.

第二小題同樣可以運用幾何性質來解決，

因為AF1∥BF2，則△PAF1∽△PF2B，

所以PF1PB=AF1BF2.①

又因為BF1+BF2=2a,即PF1+PB+ep1+ecosθ=2a.②

由①②兩式可得PF1=324+cosθ.同理可得PF2=324-cosθ.

所以 PF1+PF2=322,即PF1+PF2是定值.

根據以上研究，筆者將兩種方法的結構整合，考慮直線過橢圓的焦點時，只需考慮焦點弦AB，因而只需焦半徑AF（或BF），那如何確定焦半徑，可以設角（設θ=∠AFO）或設點坐標（設A(x,y)），即“設角法”（就是有人認為所謂的極坐標法）與“設點法”.“設點法”表面上好像有兩個變量x,y，實際上由于點在橢圓上即滿足橢圓方程，即由一個變量決定點A的位置.但每次計算成為這種純代數法的弊端.而如果注重了解析幾何問題的幾何性質，利用“設角法”， 學生很容易在幾何圖形上根據橢圓的定義推導出焦半徑公式，更不需要去死記硬背多種情況下的焦半徑公式.因此，解析幾何問題合理的方式是要優先運用幾何性質，然后運用代數技巧.