二自由度無阻尼振動系統主振型概念辨析

李天勻，李威，朱翔

摘要：主振型是結構動力學課程中的重要概念之一，一般在講授二自由度無阻尼系統自由振動特性時引入。教科書中假設的振動位移幅值為正，但推導出的主振型中存在幅值比為負的問題。針對這一矛盾，作者從矩陣特征值與特征向量的關系入手，提出了解決這一矛盾的思路，使教學內容更加嚴謹，且有利于培養學生的科學思維。

關鍵詞：自由度；無阻尼振動；圓頻率；振型；特征值；特征向量

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）29-0090-02

結構動力學是力學、機械、土木、航空航天、船舶等專業的一門重要專業課程，其中主振型是重要的概念之一，常常是在講授二自由度無阻尼系統自由振動特性時引入，但學生在學習中常常遇到困惑。為此，作者從矩陣特征值與特征向量的關系入手，提出了解決這一矛盾的思路，有利于教學內容的順利進行，也說明力學類課程對數學知識有很大的依賴性，應加強數學知識的學習，以深入理解豐富的力學內涵。

一、振型概念的一般分析過程

為簡化推導，以二自由度振動系統為例。其他多自由度無阻尼系統的自由振動機理類似于二自由度系統。在圖1所示的二自由度系統中，考慮無阻尼自由振動，則剛體動力學方程為：m1 00 m2■1■2k1+k2 -k2-k2 k2x1x2=00（1）

為下文推導方便，引入變量：a=■，b=■，c=■（2），從上式可知，三個變量都為實數。將式（2）代入式（1）中，有：■1+ax1-bx2=0■2-cx1+cx2=0（3），一般將常微分方程（2）的齊次解設為簡諧形式[1-3]：x1=A1sin（ωt+θ）x2=A2sin（ωt+θ）（4）.將式（4）代入到式（3）中，由于sin（ωt+θ）不恒為零，則有方程：a-ω2 -b-c c-ω2A1A2=00（5）.這是關于A1，A2的齊次線性方程組。A1=A2=0顯然是方程（5）的一組解，它表示系統無振動，處于靜止狀態，這不是振動系統需要的解。希望得到非零解，而存在非零解的充要條件是方程的系數行列式為零，即：a-ω2 -b-c c-ω2=0（6）.將上式展開得多項式代數方程：ω4-（a+c）ω2+c（a-b）=0（7）.該方程稱為頻率特征方程。它是關于ω2的一元二次代數方程，兩個根為：ω■■=■±■（8）.按照多項式代數理論[4]，方程（7）的根要么為實數，要么為成對出現的復數根。可以證明，式（8）必為正實根。從式（8）可知，兩個根是由系統的本身參數決定的值，與其他條件無關，稱為二自由度無阻尼系統的固有圓頻率。較小的根記為ω1，稱首階固有圓頻率。較大的根ω2稱二階固有圓頻率。將式（8）代入式（5），可以得到A1、A2的比值。例如，代入ω1的表達式時，有：■=■=■=α（9），代入ω2的表達式時，有：■=■=■=β（10）可以證明：α=■■+■>0β=■■-■<0（11）.比值α、β不變且只與系統本身參數有關，分別稱之為第一主振型（模態）、第二主振型（模態）。可以形象地把兩個主振型表示成圖2的形狀。α、β只決定A1、A2的比值，而不能決定它們的實際大小。把圖2的實線所表示的振型放大或縮小若干倍成為虛線的形狀，其比值并未改變，它仍是系統的主振型[1-3]。

二、存在的問題

兩個質點的振動位移一般假設為式（4）所示的簡諧形式，在該式中，系數A1、A2為振幅，是大于零的代數值，其比值必須為正數。而在主振型的推導中，則出現了如式（10）所示的負數。在結構動力學教學中，這是一個令學生困惑的問題，而相關的教材中也未有解釋。問題出在哪？如何解決這個問題？只有給出令人信服的答案，才能在教學中更好地培養學生的嚴謹思維。

三、主振型概念辨析思路

筆者經過分析，認為問題出在對代數方程（5）的求解、分析過程中，其本質是一個數學問題。二個振幅形成特征向量{A1，A2}T，它們的比值大小與式（5）中系數矩陣的特征值即固有頻率相關，主振型實質上是特征向量的基礎解系（基向量）。按照矩陣理論[5]，一個矩陣可當作一個線性變換在某一組基下的矩陣，求特征值的目的就是看看一個線性變換對一些非零向量的作用是否能夠相當于一個數乘變換，特征向量是在線性變換下同相或者反相的向量。因此，式（4）所示的簡諧形式實際上只表示了同相振動，與首階固有圓頻率對應的第一主振型是與同相振動對應的特征向量。如假設為反相振動形式：x1=A1sin（ωt+θ）x2=（-A2）sin（ωt+θ）（12）.將式（12）代入式（3）中，得到矩陣方程為：a-ω2 -b-c c-ω2A1-A2=00（13）.上式中的系數矩陣與式（5）中完全一致，求解得到的兩個固有圓頻率不變，如式（8）所示。此時得到的與二階固有圓頻率對應的主振型為：■=■=■=β<0（14）.它表示反相的振動。這樣就合理解釋了負值的客觀存在。

通過上面的分析可知，在教學中一方面要通過具有物理意義的驗根過程檢驗結果的合理性，另一方面也要通過矩陣特征值與特征向量的數學意義闡述結果的完整性。這樣才能準確地解釋振型的同相振動（正值）與反相振動（負值）的客觀存在及其邏輯上的一致性，避免在教學中存在不嚴謹的內容，以培養學生科學的思維。

本文的分析針對目前教材中關于主振型存在同相與反相振動的事實與假設振動位移同相振動相矛盾的問題而展開，從矩陣特征值和特征向量的關系上辨析了存在問題的根源，提出了合理的解釋思路。在教學中應有機結合學生前期學習過的工程數學課程展開分析。特征值和特征向量不僅在數學理論上，而且在物理、材料、力學等方面都有重要的應用。特別是在結構振動領域，固有頻率與主振型就反映了二者的內在聯系，或者說“有振動的地方就有特征值和特征向量”。這一思想即反映了知識的傳承性，又進一步強化了數學工具的重要性。

參考文獻：

[1]鄒經湘.結構動力學[M].哈爾濱工業大學出版社，1996.

[2][美]R.克拉夫，J.彭津.結構動力學[M].第二版.王光遠，等，譯.北京：高等教育出版社，2006.

[3]金咸定，夏利娟.船體振動學[M].上海交通大學出版社，2011.

[4]謝彥麟.代數方程的根式解及伽羅瓦理論[M].哈爾濱工業大學出版社，2011.

[5]史榮昌，魏豐.矩陣分析[M].北京理工大學出版社，2010.

基金項目：本文受湖北省教育廳項目資助。

作者簡介：李天勻，男，教授，從事結構振動與噪聲控制研究。endprint

摘要：主振型是結構動力學課程中的重要概念之一，一般在講授二自由度無阻尼系統自由振動特性時引入。教科書中假設的振動位移幅值為正，但推導出的主振型中存在幅值比為負的問題。針對這一矛盾，作者從矩陣特征值與特征向量的關系入手，提出了解決這一矛盾的思路，使教學內容更加嚴謹，且有利于培養學生的科學思維。

關鍵詞：自由度；無阻尼振動；圓頻率；振型；特征值；特征向量

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）29-0090-02

結構動力學是力學、機械、土木、航空航天、船舶等專業的一門重要專業課程，其中主振型是重要的概念之一，常常是在講授二自由度無阻尼系統自由振動特性時引入，但學生在學習中常常遇到困惑。為此，作者從矩陣特征值與特征向量的關系入手，提出了解決這一矛盾的思路，有利于教學內容的順利進行，也說明力學類課程對數學知識有很大的依賴性，應加強數學知識的學習，以深入理解豐富的力學內涵。

一、振型概念的一般分析過程

為簡化推導，以二自由度振動系統為例。其他多自由度無阻尼系統的自由振動機理類似于二自由度系統。在圖1所示的二自由度系統中，考慮無阻尼自由振動，則剛體動力學方程為：m1 00 m2■1■2k1+k2 -k2-k2 k2x1x2=00（1）

為下文推導方便，引入變量：a=■，b=■，c=■（2），從上式可知，三個變量都為實數。將式（2）代入式（1）中，有：■1+ax1-bx2=0■2-cx1+cx2=0（3），一般將常微分方程（2）的齊次解設為簡諧形式[1-3]：x1=A1sin（ωt+θ）x2=A2sin（ωt+θ）（4）.將式（4）代入到式（3）中，由于sin（ωt+θ）不恒為零，則有方程：a-ω2 -b-c c-ω2A1A2=00（5）.這是關于A1，A2的齊次線性方程組。A1=A2=0顯然是方程（5）的一組解，它表示系統無振動，處于靜止狀態，這不是振動系統需要的解。希望得到非零解，而存在非零解的充要條件是方程的系數行列式為零，即：a-ω2 -b-c c-ω2=0（6）.將上式展開得多項式代數方程：ω4-（a+c）ω2+c（a-b）=0（7）.該方程稱為頻率特征方程。它是關于ω2的一元二次代數方程，兩個根為：ω■■=■±■（8）.按照多項式代數理論[4]，方程（7）的根要么為實數，要么為成對出現的復數根。可以證明，式（8）必為正實根。從式（8）可知，兩個根是由系統的本身參數決定的值，與其他條件無關，稱為二自由度無阻尼系統的固有圓頻率。較小的根記為ω1，稱首階固有圓頻率。較大的根ω2稱二階固有圓頻率。將式（8）代入式（5），可以得到A1、A2的比值。例如，代入ω1的表達式時，有：■=■=■=α（9），代入ω2的表達式時，有：■=■=■=β（10）可以證明：α=■■+■>0β=■■-■<0（11）.比值α、β不變且只與系統本身參數有關，分別稱之為第一主振型（模態）、第二主振型（模態）。可以形象地把兩個主振型表示成圖2的形狀。α、β只決定A1、A2的比值，而不能決定它們的實際大小。把圖2的實線所表示的振型放大或縮小若干倍成為虛線的形狀，其比值并未改變，它仍是系統的主振型[1-3]。

二、存在的問題

兩個質點的振動位移一般假設為式（4）所示的簡諧形式，在該式中，系數A1、A2為振幅，是大于零的代數值，其比值必須為正數。而在主振型的推導中，則出現了如式（10）所示的負數。在結構動力學教學中，這是一個令學生困惑的問題，而相關的教材中也未有解釋。問題出在哪？如何解決這個問題？只有給出令人信服的答案，才能在教學中更好地培養學生的嚴謹思維。

三、主振型概念辨析思路

筆者經過分析，認為問題出在對代數方程（5）的求解、分析過程中，其本質是一個數學問題。二個振幅形成特征向量{A1，A2}T，它們的比值大小與式（5）中系數矩陣的特征值即固有頻率相關，主振型實質上是特征向量的基礎解系（基向量）。按照矩陣理論[5]，一個矩陣可當作一個線性變換在某一組基下的矩陣，求特征值的目的就是看看一個線性變換對一些非零向量的作用是否能夠相當于一個數乘變換，特征向量是在線性變換下同相或者反相的向量。因此，式（4）所示的簡諧形式實際上只表示了同相振動，與首階固有圓頻率對應的第一主振型是與同相振動對應的特征向量。如假設為反相振動形式：x1=A1sin（ωt+θ）x2=（-A2）sin（ωt+θ）（12）.將式（12）代入式（3）中，得到矩陣方程為：a-ω2 -b-c c-ω2A1-A2=00（13）.上式中的系數矩陣與式（5）中完全一致，求解得到的兩個固有圓頻率不變，如式（8）所示。此時得到的與二階固有圓頻率對應的主振型為：■=■=■=β<0（14）.它表示反相的振動。這樣就合理解釋了負值的客觀存在。

通過上面的分析可知，在教學中一方面要通過具有物理意義的驗根過程檢驗結果的合理性，另一方面也要通過矩陣特征值與特征向量的數學意義闡述結果的完整性。這樣才能準確地解釋振型的同相振動（正值）與反相振動（負值）的客觀存在及其邏輯上的一致性，避免在教學中存在不嚴謹的內容，以培養學生科學的思維。

本文的分析針對目前教材中關于主振型存在同相與反相振動的事實與假設振動位移同相振動相矛盾的問題而展開，從矩陣特征值和特征向量的關系上辨析了存在問題的根源，提出了合理的解釋思路。在教學中應有機結合學生前期學習過的工程數學課程展開分析。特征值和特征向量不僅在數學理論上，而且在物理、材料、力學等方面都有重要的應用。特別是在結構振動領域，固有頻率與主振型就反映了二者的內在聯系，或者說“有振動的地方就有特征值和特征向量”。這一思想即反映了知識的傳承性，又進一步強化了數學工具的重要性。

參考文獻：

[1]鄒經湘.結構動力學[M].哈爾濱工業大學出版社，1996.

[2][美]R.克拉夫，J.彭津.結構動力學[M].第二版.王光遠，等，譯.北京：高等教育出版社，2006.

[3]金咸定，夏利娟.船體振動學[M].上海交通大學出版社，2011.

[4]謝彥麟.代數方程的根式解及伽羅瓦理論[M].哈爾濱工業大學出版社，2011.

[5]史榮昌，魏豐.矩陣分析[M].北京理工大學出版社，2010.

基金項目：本文受湖北省教育廳項目資助。

作者簡介：李天勻，男，教授，從事結構振動與噪聲控制研究。endprint

摘要：主振型是結構動力學課程中的重要概念之一，一般在講授二自由度無阻尼系統自由振動特性時引入。教科書中假設的振動位移幅值為正，但推導出的主振型中存在幅值比為負的問題。針對這一矛盾，作者從矩陣特征值與特征向量的關系入手，提出了解決這一矛盾的思路，使教學內容更加嚴謹，且有利于培養學生的科學思維。

關鍵詞：自由度；無阻尼振動；圓頻率；振型；特征值；特征向量

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）29-0090-02

結構動力學是力學、機械、土木、航空航天、船舶等專業的一門重要專業課程，其中主振型是重要的概念之一，常常是在講授二自由度無阻尼系統自由振動特性時引入，但學生在學習中常常遇到困惑。為此，作者從矩陣特征值與特征向量的關系入手，提出了解決這一矛盾的思路，有利于教學內容的順利進行，也說明力學類課程對數學知識有很大的依賴性，應加強數學知識的學習，以深入理解豐富的力學內涵。

一、振型概念的一般分析過程

為簡化推導，以二自由度振動系統為例。其他多自由度無阻尼系統的自由振動機理類似于二自由度系統。在圖1所示的二自由度系統中，考慮無阻尼自由振動，則剛體動力學方程為：m1 00 m2■1■2k1+k2 -k2-k2 k2x1x2=00（1）

為下文推導方便，引入變量：a=■，b=■，c=■（2），從上式可知，三個變量都為實數。將式（2）代入式（1）中，有：■1+ax1-bx2=0■2-cx1+cx2=0（3），一般將常微分方程（2）的齊次解設為簡諧形式[1-3]：x1=A1sin（ωt+θ）x2=A2sin（ωt+θ）（4）.將式（4）代入到式（3）中，由于sin（ωt+θ）不恒為零，則有方程：a-ω2 -b-c c-ω2A1A2=00（5）.這是關于A1，A2的齊次線性方程組。A1=A2=0顯然是方程（5）的一組解，它表示系統無振動，處于靜止狀態，這不是振動系統需要的解。希望得到非零解，而存在非零解的充要條件是方程的系數行列式為零，即：a-ω2 -b-c c-ω2=0（6）.將上式展開得多項式代數方程：ω4-（a+c）ω2+c（a-b）=0（7）.該方程稱為頻率特征方程。它是關于ω2的一元二次代數方程，兩個根為：ω■■=■±■（8）.按照多項式代數理論[4]，方程（7）的根要么為實數，要么為成對出現的復數根。可以證明，式（8）必為正實根。從式（8）可知，兩個根是由系統的本身參數決定的值，與其他條件無關，稱為二自由度無阻尼系統的固有圓頻率。較小的根記為ω1，稱首階固有圓頻率。較大的根ω2稱二階固有圓頻率。將式（8）代入式（5），可以得到A1、A2的比值。例如，代入ω1的表達式時，有：■=■=■=α（9），代入ω2的表達式時，有：■=■=■=β（10）可以證明：α=■■+■>0β=■■-■<0（11）.比值α、β不變且只與系統本身參數有關，分別稱之為第一主振型（模態）、第二主振型（模態）。可以形象地把兩個主振型表示成圖2的形狀。α、β只決定A1、A2的比值，而不能決定它們的實際大小。把圖2的實線所表示的振型放大或縮小若干倍成為虛線的形狀，其比值并未改變，它仍是系統的主振型[1-3]。

二、存在的問題

兩個質點的振動位移一般假設為式（4）所示的簡諧形式，在該式中，系數A1、A2為振幅，是大于零的代數值，其比值必須為正數。而在主振型的推導中，則出現了如式（10）所示的負數。在結構動力學教學中，這是一個令學生困惑的問題，而相關的教材中也未有解釋。問題出在哪？如何解決這個問題？只有給出令人信服的答案，才能在教學中更好地培養學生的嚴謹思維。

三、主振型概念辨析思路

筆者經過分析，認為問題出在對代數方程（5）的求解、分析過程中，其本質是一個數學問題。二個振幅形成特征向量{A1，A2}T，它們的比值大小與式（5）中系數矩陣的特征值即固有頻率相關，主振型實質上是特征向量的基礎解系（基向量）。按照矩陣理論[5]，一個矩陣可當作一個線性變換在某一組基下的矩陣，求特征值的目的就是看看一個線性變換對一些非零向量的作用是否能夠相當于一個數乘變換，特征向量是在線性變換下同相或者反相的向量。因此，式（4）所示的簡諧形式實際上只表示了同相振動，與首階固有圓頻率對應的第一主振型是與同相振動對應的特征向量。如假設為反相振動形式：x1=A1sin（ωt+θ）x2=（-A2）sin（ωt+θ）（12）.將式（12）代入式（3）中，得到矩陣方程為：a-ω2 -b-c c-ω2A1-A2=00（13）.上式中的系數矩陣與式（5）中完全一致，求解得到的兩個固有圓頻率不變，如式（8）所示。此時得到的與二階固有圓頻率對應的主振型為：■=■=■=β<0（14）.它表示反相的振動。這樣就合理解釋了負值的客觀存在。

通過上面的分析可知，在教學中一方面要通過具有物理意義的驗根過程檢驗結果的合理性，另一方面也要通過矩陣特征值與特征向量的數學意義闡述結果的完整性。這樣才能準確地解釋振型的同相振動（正值）與反相振動（負值）的客觀存在及其邏輯上的一致性，避免在教學中存在不嚴謹的內容，以培養學生科學的思維。

本文的分析針對目前教材中關于主振型存在同相與反相振動的事實與假設振動位移同相振動相矛盾的問題而展開，從矩陣特征值和特征向量的關系上辨析了存在問題的根源，提出了合理的解釋思路。在教學中應有機結合學生前期學習過的工程數學課程展開分析。特征值和特征向量不僅在數學理論上，而且在物理、材料、力學等方面都有重要的應用。特別是在結構振動領域，固有頻率與主振型就反映了二者的內在聯系，或者說“有振動的地方就有特征值和特征向量”。這一思想即反映了知識的傳承性，又進一步強化了數學工具的重要性。

參考文獻：

[1]鄒經湘.結構動力學[M].哈爾濱工業大學出版社，1996.

[2][美]R.克拉夫，J.彭津.結構動力學[M].第二版.王光遠，等，譯.北京：高等教育出版社，2006.

[3]金咸定，夏利娟.船體振動學[M].上海交通大學出版社，2011.

[4]謝彥麟.代數方程的根式解及伽羅瓦理論[M].哈爾濱工業大學出版社，2011.

[5]史榮昌，魏豐.矩陣分析[M].北京理工大學出版社，2010.

基金項目：本文受湖北省教育廳項目資助。

作者簡介：李天勻，男，教授，從事結構振動與噪聲控制研究。endprint