負游隙薄壁四點接觸球軸承空載下的摩擦力矩計算

岳紀東，鄧四二，倪受俊，李亮，楊虎

(1.河南科技大學 機電工程學院，河南 洛陽 471003；2.洛陽軸研科技股份有限公司，河南 洛陽 471039；3.河南能源化工集團 裝備制造事業(yè)部，鄭州 450046)

負游隙四點接觸球軸承具有等效成對預緊角接觸球軸承的功能，可以消除徑向和軸向游隙，減小載荷變形，獲得較大的剛度，使軸承更加緊湊、重量更小，能夠承受徑向、軸向和力矩的聯(lián)合載荷，因此這類軸承應(yīng)用于一些航天部件中，能夠?qū)崿F(xiàn)主機的小型化、輕型化。為了滿足航天環(huán)境要求，該類軸承要求使用固體潤滑，因此就需要對該類軸承的摩擦力矩進行計算。

1 游隙的計算

四點接觸球軸承的負游隙是指徑向游隙，即軸承在裝配大直徑鋼球后在直徑方向上的預緊量。負游隙值無法通過儀器測得，只能先通過裝配小規(guī)值鋼球測量非預緊狀態(tài)下的徑向游隙，然后利用實際裝配鋼球與測試用工藝鋼球的直徑差值通過計算獲得。因此計算的準確性將影響合套后軸承的摩擦力矩和剛度。

假定軸承裝配測試用工藝鋼球時徑向游隙為Gr，內(nèi)、外圈墊片角均為β，實際裝配鋼球與測試用工藝鋼球的直徑變化量為ΔDw，則裝配此兩種鋼球引起的徑向游隙變化量ΔGr的估算關(guān)系為(圖1)

ΔGr=2ΔDwcosβ；

(1)

那么，實際鋼球替換測試用工藝鋼球合套后，軸承徑向游隙的理論計算值為

Grt=Gr-ΔGr。

(2)

圖1 負游隙四點接觸球軸承截面簡圖

2 應(yīng)力與變形

負游隙四點接觸球軸承在空載情況下鋼球與溝道為四點接觸，如果在承受一定的軸向、徑向載荷及不同的轉(zhuǎn)速下，接觸點的個數(shù)可能會減少為2或3個，因此鋼球的運動學特性十分復雜。

以負游隙薄壁四點接觸球軸承QJ1830為例，對其空載狀態(tài)下的接觸應(yīng)力和變形進行分析。QJ1830軸承的結(jié)構(gòu)參數(shù)見表1。因軸承套圈壁薄，在內(nèi)應(yīng)力的作用下變形較大，所以必須考慮軸承內(nèi)、外徑的變化對內(nèi)應(yīng)力的影響。

表1 QJ1830軸承的結(jié)構(gòu)參數(shù)

2.1 軸承內(nèi)、外徑的變形量

軸承內(nèi)、外圈均為薄壁圓環(huán)，負游隙狀態(tài)下鋼球與溝道間4個接觸點處均存在接觸應(yīng)力和變形，同時外圈脹大，內(nèi)圈縮小。則游隙、接觸變形、軸承內(nèi)徑壓縮量及外徑脹大量之間的關(guān)系為

Δd+ΔD+2δicosβi+2δecosβe-Grt=0，

(1)

式中：Δd為軸承內(nèi)徑減小量；ΔD為軸承外徑增加量；δi，δe分別為鋼球與內(nèi)、外圈之間的接觸變形量。

負游隙時內(nèi)、外圈在圓周方向分別受到大小相等的均布載荷，由于內(nèi)、外圈為薄壁柔性零件，因此可以運用彎曲薄壁環(huán)經(jīng)典能量法求出內(nèi)、外圈的整體變形。負游隙下軸承外徑脹大量ΔD為[3]

(2)

負游隙下軸承內(nèi)徑壓縮量Δd為[3]

(3)

式中：Qri，Qre分別為鋼球與內(nèi)、外溝道間法向載荷的徑向分量，Qri=2Qicosβ，Qre=2Qecosβ；Ri，Re分別為軸承內(nèi)、外圈中性層的曲率半徑；E為套圈材料彈性模量；Ii，Ie分別為內(nèi)、外圈慣性矩(Ri，Re，Ii，Ie的計算方法見文獻[5])；Δψ=180°/Z。

2.2 鋼球與溝道間的法向接觸載荷

根據(jù)Hertz接觸理論，鋼球與溝道間法向接觸載荷與變形之間的關(guān)系為[4]

(4)

(5)

式中：Qi，Qe分別為鋼球與內(nèi)、外溝道間的法向接觸載荷；Ki，Ke分別為接觸變形常數(shù)。負游隙四點接觸球軸承空載狀態(tài)時，鋼球與內(nèi)、外圈間的接觸角(αi，αe)等于其墊片角(βi，βe)，即內(nèi)、外圈的接觸角相等。同時，套圈重力與接觸點處的法向載荷相比非常小，可忽略不計。所以，內(nèi)、外溝道左、右接觸點處法向載荷和摩擦力均相等，鋼球自轉(zhuǎn)軸與軸承軸線平行。鋼球在接觸點處法向載荷的作用下處于平衡狀態(tài)。即

Qicosβi=Qecosβe，

(6)

由(1)～(6)式可以求出Δd，ΔD，δi，δe，Qi，Qe。

3 空載狀態(tài)下摩擦力矩的計算

QJ1830軸承采用固體潤滑，轉(zhuǎn)速低，其摩擦的主要來源是鋼球與溝道間的滾動摩擦與滑動摩擦，主要由彈性滯后、差動滑動、自旋滑動、鋼球打滑和陀螺旋轉(zhuǎn)等引起。由于軸承工作轉(zhuǎn)速低，鋼球與溝道間的預載荷使兩者形成四點接觸，鋼球與每個溝道間都存在較大的自旋滑動(圖2)。鋼球相對溝道的轉(zhuǎn)動可分解為以角速度ωr=ωcosβ繞接觸點切線方向(MM軸)的旋轉(zhuǎn)和以角速度ωs=ωsinβ繞接觸點法線方向(NN軸)的旋轉(zhuǎn)，其中ω為鋼球相對套圈的角速度，可根據(jù)角速度矢量合成法則確定[4]。ωr為鋼球相對溝道的滾動分量，該分量產(chǎn)生的摩擦力矩主要由差動滑動引起，在總摩擦力矩中所占比例較小；而鋼球相對溝道的自旋分量ωs所引起的摩擦力矩是軸承運動狀態(tài)時摩擦力矩的主要來源。

圖2 鋼球與溝道接觸處的滾動和自旋滑動解析圖

設(shè)接觸區(qū)各點的滑動摩擦因數(shù)為μ(常數(shù))，則接觸橢圓上總的自旋滑動摩擦力矩為[3]

(7)

(8)

式中：Q為接觸點法向載荷；L(K)為與接觸面形狀有關(guān)的第二類完全橢圓積分；K為橢圓偏心率，K=b/a；a，b分別為接觸橢圓長、短半軸。

忽略軸承內(nèi)部影響較小的其余摩擦，根據(jù)能量守恒定律，所有鋼球接觸點處的自旋滑動引起的摩擦功耗之和即為軸承的總摩擦功耗。即

Z(Mselωsel+Mserωser+Msilωsil+Msirωsir)=Mni，

(9)

式中：Msil，Msir，Msel，Mser分別為每粒鋼球與各溝道間的自旋摩擦力矩；ωsil，ωsir，ωsel，ωser分別為每粒鋼球與各溝道間的自旋角速度分量，其計算方法見文獻[4]；M為軸承的總摩擦力矩；ni為內(nèi)圈轉(zhuǎn)速。

聯(lián)立(1)～(9)式即可計算出軸承的總摩擦力矩M，其計算值與實測值的對比見表2。由表2可知，總摩擦力矩的實測值比計算值偏大，這是因為文中只考慮了自旋滑動引起的摩擦，隨著游隙值的減小，自旋滑動產(chǎn)生的摩擦力矩在總摩擦力矩中所占比例逐漸增大，因此，其理論計算值相對實測值的誤差也隨之減小。由于影響摩擦力矩的因素較多，單套固體潤滑軸承摩擦力矩測試值的波動性一般在30%左右，因此本模型的計算誤差是可以接受的。

表2 不同游隙下摩擦力矩對比

4 結(jié)束語

在對QJ1830等薄壁軸承負游隙狀態(tài)時的內(nèi)部接觸載荷進行計算時，通常不能假定套圈為剛體，否則負游隙量將全部轉(zhuǎn)化為接觸變形，會使計算的接觸載荷比實際偏大，因此應(yīng)考慮內(nèi)、外圈的變形對內(nèi)部接觸應(yīng)力的影響。在該類軸承安裝時應(yīng)特別注意負游隙狀態(tài)下軸承內(nèi)、外徑的變化對軸承與軸、軸承座配合的影響，特別是軸和軸承座剛性較大時，過盈量將轉(zhuǎn)化為軸承內(nèi)部的接觸變形，顯著影響軸承內(nèi)部接觸應(yīng)力狀態(tài)。

分析鋼球的運動可知，負游隙下四點接觸球軸承的摩擦力矩主要由鋼球的自旋滑動引起；總摩擦力矩的理論計算值與實測值在游隙值較小時兩者誤差較小。