等效法在物理解題中的應用

許曉衛

物理狀態的確定、物理過程的發展，往往是由多個因素共同決定的。若其中某些因素的作用和另外一些因素的作用相同，則前一些因素與后一些因素是等效的，它們便可以相互代替，而對物理狀態的確定、過程的發展并不影響，這種以等效為前提使某些因素相互替代的方法就是等效法。在面對一個復雜的問題，或者不熟悉的情景時，提出一個簡單的方案或設想，使它們的效果完全相同，從而將問題化難為易，化生為熟，順利解決。

1.運動等效

直線運動的規律不能直接應用于曲線運動，使學生往往感到曲線運動難以把握。運用等效的觀點，將曲線運動分解為兩個簡單的直線運動，化曲為直，降低解題難度。

例題：跳臺滑雪是勇敢者的運動，它是利用山勢特別建造的跳臺所進行的。運動員著專用滑雪板，不帶雪扙在助滑路上獲得高速后水平起跳，在空中飛行一段距離后著陸，這項運動極為壯觀。如圖所示，設一位運動員由a點水平躍起，到b點著陸時，測得a、b間距離L=40m，山坡傾角θ=30°。試計算運動員起跳的速度和他在空中飛行的時間。（不計空氣阻力，g取10m/s）

解析：運動員起跳后不計阻力做平拋運動，將其沿水平、豎直方向分解，設運動時間為t，初速度為v■，水平位移X=Lcosθ=v■t，豎直位移Y=Lsinθ=■gt■，且滿足關系tgθ=■，聯立得t=■=■s=2s v■=■=■m/s=10■m/s

2.過程等效

中學物理中有些問題所涉及的過程非常復雜，以致我們無法搞清楚整個過程中的各個細節，有時又沒必要嚴格地搞清楚細節的情況，特別是運用動量或能量解答的某些題目中，我們往往只要把握住起始和終點時刻的狀態，定性地分析過程，運用等效的觀點，將整個過程等效為一個相對簡單的過程，從而方便求解。

例題：如圖所示，A、B是位于水平桌面上的兩個質量相等的小木塊，離墻壁的距離分別為L和，與桌面之間的動摩擦系數分別為μ■、μ■。今給A以某一初速度，使之從桌面的右端開始向左運動，假定A、B之間，B與墻壁之間的碰撞時間都很短，且碰撞中總動能無損失，若要使木塊A最后不從桌面上掉下來，則A的初速度最大不超過多大？

解析：L滑動摩擦力作用下木塊A向左運動，通過距離L﹣l與發生無動能損失的碰撞，因質量相等，碰撞后交換速度，即A靜止在B原來的位置，B以碰撞前A的速度克服摩擦力作用向左運動。B運動距離l到墻壁處發生無動能損失碰撞，碰后以碰前的速率向右運動，再次與A碰撞，再次交換速度，B靜止，A向右運動。當A到達桌面右端時停下，A的初速度為最大值。以上過程可等效為木塊A一直沿水平桌面克服摩擦力減速運動，而它與距桌面右側的2（L-l）范圍內、距桌面左側2t范圍內的動摩擦系數分別為μ■、μ■。設A的最大初速度為v■，質量為m，對其運動的全過程運用動能定理：

-2μ■mg（L-l）-2μ■mgl=-■mv■■，可得v■=2■

3.對象等效

同一物理現象中涉及多個物體，物體之間的相互作用復雜，采取隔離法逐一處理常常計算量大、過程繁瑣。若靈活地取其中幾個物體構成的整體為研究對象，因不考慮這些物體間的相互作用情況，則往往使問題簡單化。

例題：如圖所示，水平轉盤繞豎直軸轉動，兩木塊質量分別為M與m，到軸線的距離分別是L■和L■，它們與轉盤間的最大靜摩擦力是其重力的μ倍，當將兩木塊用水平細線連接在一起隨圓盤一起轉動不發生相對滑動，轉盤的最大角速度可能是多少？

解析：如果將兩物體分別隔離，運用向心力公式建立方程，并進行討論求最大角速度，則過程復雜。由于兩物體與轉盤間最大靜摩擦力均是重力的μ倍，因此可將它們作為一個整體分析，當角速度最大時，整體所受靜摩擦力最大。

由向心力公式得μ（m+M）g=Mω■L■+mω■L■，故ω=■

4.情景等效

物理往往與我們的生活實際緊密相關，實際生活為背景的創新題學生常不易把握，關鍵是學生缺乏抽象出實際問題中的物理模型的能力。在弄清實際問題中起關鍵作用的因素基礎上，將實際情景用熟悉的物理情景代替，可變生題為熟題，問題自然迎刃而解。

例題：一天下著傾盆大雨，一乘客發現車廂的雙層車窗玻璃內有積水，火車進站時乘客發現積水成圖示形狀，水面傾角為α，那么進站時火車的加速度為多少？

解析：車窗玻璃內積水可以看做是由大量的水珠組成，重力作用下水珠之間相互擠壓，但相對靜止，若將水面等效于一光滑的斜面，設想在水面上取一滴水珠，實際情景等效為光滑斜面上一小物體與斜面一起做變速運動。由牛頓第二定律可得a=gsinα。

5.作用等效

在效果相同的前提下，合力與分力可以相互替換作用。

例題：假設地球是一半徑為R、質量均勻分布的球體。一礦井深度為d，已知質量均勻分布的球殼對殼內物體的引力為零，礦井底部和地面處重力加速度之比是（ ）

A.1-■ B.1+■ C.（■）■ D.（■）■

解析：本題關鍵是地球對礦井底部物體引力的計算，無法根據萬有引力定律直接計算，可等效為厚度R-d的球殼、半徑d的質量均勻球體對物體引力的合力。依題意知球殼對物體的引力為0，則地球引力等于半徑d的質量均勻球對物體引力，所以礦井底部重力加速度相當于半徑R-d的地球產生的。設地球密度為ρ，地面處■=mg，M=■πρR■，聯立得g=■πρGR，故■=■，正確選項為A。

6.場等效

空間存在多個場組成的復合場，可將復合場等效為一個重力場，求得等效重力加速度，根據重力場特性分析解決有關問題。

例題：豎直平面內固定一光滑絕緣的圓環軌道，半徑為R，平行于圓環平面的水平勻強電場水平向右。一帶電小球在圓環上靜止在A點，它與圓心O的連線與豎直方向的夾角α=60°，現在給小球一沿圓環切線方向初速度，欲使小球沿圓環做完整的圓周運動，v■需要滿足什么條件？

解析：空間存在著重力場和電場組成的復合場，為簡化處理，將復合場等效為重力場，確定等效重力場的重力加速、等效最高點和最低點，根據重力場中的圓周知識處理即可。

小球原來靜止，等效重力加速g′=■。等效最點為A、最高點B。小球要做完整的圓周運動，在B點速度需滿足v■≥■=■，在等效場中小球由A點運動到B點過程，運用動能定理得-2mg′R=■m（v■■-v■■），聯立得v■≥■.

7.電路結構等效

電路問題就是研究電源提供的電壓、電流、電功率在外電路的分配，知識內容單一，難在于對電路結構分析。常將復雜的實際電路用一個連接關系簡單的等效電路替代，使問題簡化。

例題：一直流電路如圖所示，直流電源的電動勢為E、內電阻為r，R為一定值電阻，R■為滑動變阻器，其全電阻R■>R+r，滑動變阻器的滑片，問為多大時變阻器消耗的電功與率最大？

解析：若運動閉合電路歐姆定律先求電流，再運用電功率公式求解R■消耗電功率，計算繁瑣。若將電源與R看做整體作為一等效電源，那么電源的輸出功率即為R■消耗的電功率。等效電源E′=E、r′=R+r，可知當R■=r′=R+r時，R■消耗電功率最大。

等效法強調的是在效果相同的前提下，將復雜的、陌生的物理狀態或過程，用簡單的、熟悉的物理狀態或過程代替。在具體問題中需要認真分析物理狀態、物理過程，確定具體問題中，起決定性作用的因素有哪些，然后用我們熟悉的物理情景代替實際情景，使復雜的、不熟悉的問題順利求解。