驀然回首“那人”卻在燈火闌珊處

許月珠

在日常的教學過程中，發現有很多的教輔都抄錄了2009年普通高等學校招生全國統一考試理22這道題，這是一道以三次函數為背景，集二次函數根的分布、線性規劃可行域、導數、不等式于一體的綜合性試題，直至今日依然是一道評價很高的試題.而我在欣賞之余卻心存許多疑問，現將試題與解答呈現如下.

設函數f（x）=x■+3bx■+3cx在兩個極值點x■、x■，且x■∈[-1，0]，x■∈[1，2].

（Ⅰ）求b、c滿足的約束條件，并在下面的坐標平面內畫出滿足這些條件的點（b，c）的區域；

（Ⅱ）證明：-10≤f（x■）≤-■.

解：（Ⅰ）f′（x）=3x■+6bx+3c

依題意知，方程f′（x）=0有兩個根x■、x■，且x■∈[-1，0]，x■∈[1，2].等價于f′（-1）≥0，f′（0）≤0，f′（1）≤0，f′（2）≥0.

由此得b、c滿足的約束條件為c≥2b-1c≤0c≤-2b-1c≥-4b-4

滿足這些條件的點（b，c）的區域為圖中陰影部分.

（Ⅱ）這一問考生不易得分，有一定的區分度.主要原因是含字母較多，不易找到突破口.此題主要利用消元的手段，消去目標f（x■）=x■■+3bx■■+3cx■中的b，（如果消c則會較繁瑣），再利用x■的范圍，并借助（Ⅰ）中的約束條件得c∈[-2，0]，進而求解，有較強的技巧性.

解：由題設知f′（x■）=3x■■+6bx■+3c=0，故bx■=-■x■■-■c

于是f（x■）=x■■+3bx■■+3cx■=-■x■■+■x■

∵x■∈[1，2]，而由（Ⅰ）知c≤0，∴-4+3c≤f（x■）≤-■+■c

又由（Ⅰ）知c∈[-2，0]，

所以-10≤f（x■）≤-■.

疑點之一：“∵x■∈[1，2]，而由（Ⅰ）知c≤0，∴-4+3c≤f（x■）≤-■+■c”，其推理依據是什么？

思索之后得到結論：答案中省略了對函數f（x■）=x■■+3bx■■+3cx■=-■x■■+■x■單調性的判定.驗證如下：

令g（x）=-■x■+■x，x∈[1，2]，g′（x）=-■x■+■，因為c∈[-2，0]，所以g（x）≤0，即函數g（x）在[1，2]上單調遞減.故g（2）≤g（x）≤g（1），也即-4+3c≤f（x■）≤-■+■c，又因為c∈[-2，0]，所以-10≤-4+3c≤-4，-■≤-■+■c≤-■，故-10≤f（x■）≤-■得證.

疑點之二：消c真的很繁瑣嗎？結論是“不覺得”.其解法如下：

由題設知f′（x■）=3x■■+6bx■+3c=0，得3c=-3x■■-6bx■，于是f（x■）=x■■+3bx■■+（-3x■■-6bx■）x■=-2x■■-3bx■■.

令g（x）=-2x■-3bx■，x∈[1，2]，g′（x）=-6x■-6bx≤0，故g（x）在[1，2]上單調遞減.

故g（2）≤g（x）≤g（1），即g（2）≤g（x）≤g（1），也即-16-12b≤f（x■）≤-2-3b.

又因為b∈[-1，0]，所以-16≤-16-12b≤-4，-2≤-2-3b≤1，

可得-10≤f（x■）≤1，但無法證得-10≤f（x■）≤-■這個結論.

疑點之三：為什么消c得不到答案？

以上推理過程完全類同于參考答案，我想若消c得不到正確的答案，那消得到的答案就會有許多的疑點.縱觀整個解題過程，f（x■）的取值范圍的求得經過了兩次放縮.第一次放縮是不等式組c≥2b-1c≤0c≤-2b-1c≥-4b-4，求得b，c的取值范圍；第二次放縮是由b，c的取值范圍求f（x■）的取值范圍.在解題中二次放縮極易將范圍放縮得過大或過小，其一般只在不等式證明過程中應用，極少用于求代數式的取值范圍的.那如何避開二次放縮而又能求得f（x■）的取值范圍呢？我認為可用x■，x■表示b，c，以x■，x■的取值范圍求f（x■）的取值范圍，這一過程只有放縮一次.解法如下：

f′（x■）=3x■■+6bx■+3c=0……① f′（x■）=3x■■+6bx■■+3c=0……②

①-②得3（x■+x■）（x■-x■）+6b（x■-x■）=0，b=-■……③

將③代入①得c=x■x■，

故f（x■）=x■■+3（-■）x■■+3x■x■■=-■x■■+■x■x■■

令g（x）=-■x■+■x■x■，x∈[1，2]，g′（x）=-■x■+■x■x，

又因為x■∈[-1，0]，所以g′（x）≤0，故g（x）在[1，2]上單調遞減.有g（2）≤g（x）≤g（1）

g（2）=-4+6x■，g（1）=-■+■x■，所以-10≤g（2）≤-4，-■≤g（1）≤-■，

也即-10≤f（x■）≤-■成立.

近代著名學者王國維先生曾將治學的三重境界“懸思—苦索—頓悟”巧妙地運用了三句詩句比喻：“昨夜西風凋碧樹，獨上高樓，望盡天涯路”，此第一境也；“衣帶漸寬終不悔，為伊消得人憔悴”，此第二境也；“眾里尋她千百度，驀然回首，那人卻在燈火闌珊處”，此第三境也.我抄錄在此，與同為使學生脫離題海而把自己置身于題海的各位同仁共勉.

參考文獻：

[1]2009年普通高等學校招生全國統一考試試卷.