數列求和的方法與技巧

畢成

數列在歷年高考中占有較大比重，分值約占總分的六分之一.數列題的解答對考生的分數有著至關重要的影響.而數列試題的考查又以數列求和為主.因此，掌握數列求和的方法與技巧顯得尤為重要.初學這部分內容時，學生大都有畏難情緒，以至沒有學好此內容.其實數列求和是有規律的，可以從它們的本質特點出發，尋找最一般的解法，從而得出結論.下面將根據數列的不同特點，給出數列求和的一般形式，對數列求和的方法與技巧進行探究與總結.

數列求和的指導思想：看通項，定方法.先求出數列的通項公式，然后根據數列通項的具體形式決定用哪種方法.

一、公式法

等差數列求和公式：s■=■=na■+■d

等比數列求和公式：s■=na■，q=1■=■，q≠1

補充公式：1■+2■+…+n■=■n（n+1）（2n+1）

1■+2■+…+n■=■n■（n+1）■

典型例題：例1.數列{a■}滿足a■=n■+3n-1（n∈N■），求數列{a■}的前n項和S■.

分析：數列{a■}的通項由“n■”和“3n-1”兩部分組成，“n■”可以用1■+2■+…+n■=■n（n+1）（2n+1）這個公式求和，“3n-1”可以用等差數列求和公式求和，因此本題用公式法求和較簡單.

解：S■=（1■+2■+…+n■）+（2+5+…+3n-1）

=■n（n+1）（2n+1）+■

=■（n■+6n■+2n）

二、錯位相減法

形如{a■·b■}，其中一個是等差數列，另一個是等比數列，此類題型用錯位相減法求和.

典型例題：例2.數列{a■}滿足a■=（2n-1）·3■（n∈N■），求數列{a■}的前n項和S■.

解：因為S■=1·3+3·3■+5·3■+…+（2n-1）·3■

所以3S■=1·3■+3·3■+5·3■+…+（2n-1）·3■

所以S■-3S■=1·3+2（3■+3■+…+3■）-（2n-1）·3■

所以S■=（n-1）3■+3

三、裂項相消法

形如：b■=■（k≠0），此類題型用裂項相消法求和.

常見形式：a■=■=■-■

a■=■=■（■-■）

a■=■=■（■-■）

a■=■=■（■-■）

a■=■=■-■

a■=■=■-■

典型例題：例3.數列{a■}是各項都不相等的正項等比數列且a■≠1（n∈N■），求證：

■+■+…+■=■.

證明：因為■=■（■-■），

所以

左邊=■（■-■+■-■+…+■-■）

=■（■-■）=■（■）=■=右邊，

所以■+■+…+■=■.

四、倒序相加法

數列{a■}的第一項與倒數第一項的和是個定值，第二項與倒數第二項的和是個定值，以此類推，此類題型用倒序相加法求和.

典型例題：例4.函數f（x）對任意x∈R都有f（x）+f（1-x）=■，且S■=f（0）+f（■）+f（■）+…+f（1），求S■.

解：因為S■=f（0）+f（■）+f（■）+…+f（1）

所以S■=f（1）+f（■）+f（■）+…+f（0）

所以2S■=（f（0）+f（1））+（f（■）+f（■））+…+（f（1）+f（0））

又因為f（x）+f（1-x）=■

所以2S■=（■+■+…+■）=■（n+1），所以S■=■（n+1）.

五、分組求和法

若一個數列的通項由幾個不同的數列組合而成，并且可以把這個數列分解成幾個能求和的式子，此類型用分組求和.

典型例題：例5.數列{a■}滿足a■=2■+2n+1（n∈N■），求數列{a■}的前n項和S■.

分析：數列{a■}可以分解成兩部分“2n”和“2n+1”，“2n”是等比數列，“2n+1”是等差數列，所以可以分別用等比數列和等差數列求和公式求和.

解：S■=（2+2■+…+2■）+（3+5+…+2n+1）

=2■-2+n（n+2）

六、并項求和法

一個數列本身并沒有太明顯的規律，但是把數列的某些項重新組合后有規律（如：相鄰項組合，奇數項與偶數項分別組合等），并且組合后可以求和，此類型題用并項求和.

典型例題：例6.求和：S■=1-3+5-7+9-11+…+（-1）■（2n-1）.

解：當n為偶數時

S■=（1-3）+（5-7）+（9-11）+…+（2n-3-（2n-1））=-2·■=-n

當n為奇數時

S■=（1-3）+（5-7）+（9-11）+…+（2n-5-（2n-3））+（2n-1）=-2·■+（2n-1）=n

由以上六個例題，不難發現求數列前n項和的一般步驟：（1）求出數列的通項公式；（2）觀察數列通項公式的形式，決定用哪種方法；（3）化簡、整理，求出數列{a■}的前n項和.

以上給出的六種求和方法是比較常規的，但這些方法不是萬能的.通過研究不難發現：這些方法的前提是能求出數列的通項，然后根據數列通項的特征進一步求和.但是有些題很難求出通項，以上這些方法不再適用.這就要求考生要多掌握一些“非常規”的技巧與方法.比如以下方法.

七、逐差求和法

某些數列的構成規律不十分明顯，很難求出它的通項公式，我們可以逐次求出它的各階差數列，如果某一階差數列正好是等差數列或者為等比數列，那么就可以利用這些數列的有限和得出原數列的一個通項公式，然后求出其前n項和S■.

典型例題：例7.求數列5，6，9，16，31，62…的前n項和S■.

分析：這個數列構成規律不十分明顯，通項不容易求出，我們不妨看看相鄰兩項的差，然后再找規律，可以求出它的一階差數列：1，3，7，15，31…，又可以求出它的二階差數列：2，4，8，16，32…，發現它的二階差數列是一個等比數列，因此可以用逐差求和法先求出a■再求出S■.

解：設原數列為a■，一階差數列：1，3，7，15，31…為b■，二階差數列：2，4，8，16，31…為c■，所以有b■-b■=c■，把以下式子相加：

b■-b■=c■

b■-b■=c■

b■-b■=c■

？噎 ？噎 ？噎

b■-b■=c■

得到：b■-b■=c■+c■+…+c■=2+4+8+16+…+2■=2■-2

所以：b■=2■-1

又因為a■-a■=b■，所以把以下式子相加：

a■-a■=b■

a■-a■=b■

a■-a■=b■

？噎 ？噎 ？噎

a■-a■=b■

得到：a■-a■=b■+b■+…+b■=2■-n-1

所以：a■=2■-n+4

然后利用分組求和求出S■.

所以S■=（2+2■+…+2■）+（3+2+…+（4-n））=2■-2+■.

八、組合數求和法

若原數列各項可寫成組合數的形式，然后再利用公式C■■+C■■求出數列前項和S■.

典型例題：例8.求數列1，1+2，1+2+3，…，1+2+3+…+n的前n項和S■.

分析：這個數列的每一項可以變形為以下形式：

1=C■■，1+2=3=C■■，1+2+3=6=C■■，1+2+3+4=10=C■■，1+2+3+…+n=■=C■■，因此原數列各項的和可寫成組合數的和的形式，就可以轉化為利用公式C■■+C■■=C■■求出數列前n項和S■.

解：S■=1+（1+2）+（1+2+3）+…+（1+2+…+n）

=C■■+C■■+C■■+…+C■■=C■■=■n（n+1）（n+2）

“學無常法，教無常法”.本文總結的求和方法只是一些常規的思路與技巧，并不是“萬能公式”.這就要求考生練就一雙“火眼金睛”，深入發掘題目的特點，明確出題者的目的與意圖，選擇合適的方法和技巧.只有這樣才能做到處變不驚，正確答題.