莫萊定理與拿破侖定理中的正三角形組的統一推廣研究

陳盛斌

摘 要： 莫萊定理和拿破侖定理均聯系了普通三角形和正三角形，在近年的研究中，對莫萊定理推廣，在文[1]，[2]中找到了一系列，共54個正三角形.本文重新對這些正三角形組進行分類歸納.同時，由新的引理，對拿破侖定理也做出探索，找出在拿破侖定理之下的35個不同的正三角形.

關鍵詞： 莫萊定理 拿破侖定理 三線旋轉組

一、拿破侖定理與莫萊定理的推廣及分類

拿破侖定理是法蘭西第一帝國皇帝拿破侖·波拿巴提出的問題，現在的研究包括：

外拿破侖三角：△ABC邊為底，向外做30°為底角的等腰三角形，頂點構成正三角形，如（圖一（a））△GHI.

內拿破侖三角：△ABC邊為底，向內做30°為底角的等腰三角形，頂點構成正三角形，如（圖一（a））△JKL.

莫萊定理是在20世紀初，由著名數學家富蘭克林·莫萊發現的，經過不斷研究和擴展，現包括四種形態，在文[1]中有研究，現重新對其歸類有：

圖一（a） 圖一（b）

1.內莫萊三角：△ABC各角內角三等分線交點構成正三角形，如（圖一（b））△DEF.

2.外莫萊三角：△ABC各角外角三等分線交點構成正三角形，如（圖一（b））△GHI.

3.優莫萊三角：△ABC各角優角三等分線（反向延長）交點構成正三角形，如（圖一b）△JKL.

以上三種形式是我們較熟悉的形態.

4.旁莫萊三角：△ABC各角的內角、外角、優角三等分線混合構成交點，包含四種形態：

（I型）△ABC中，∠C內角三等分線與∠A，∠B的外角三等分線交點構成正三角形，如圖二（I）△DEF；A、B、C角輪換后，可形成三個不同的正三角形.

（II型）△ABC中，∠C外角三等分線與∠A，∠B的優角三等分線（或延長線）交點構成正三角形，如圖二（II）△DEF；A、B、C角輪換后，可形成三個不同的正三角形.

（III型）△ABC中，∠C優角三等分線延長線與∠A，∠B的內角三等分線交點構成正三角形，如圖二（III）△DEF；A、B、C角輪換后，可形成三個不同的正三角形.

（IV型）△ABC中，∠C內角三等分線延長線，∠B的外角三等分線，∠A的優角三等分線（或延長線）交點構成正三角形，如圖二（IV）△DEF；A、B、C角輪換及內角、外角、優角輪換后，可形成六個不同的正三角形.

圖二

對于旁莫萊三角的四種形態，在文[1]中已經給予總結、證明和分類，在此形成了一個具有18個莫萊正三角形組。同時在文[1][2]中還一共形成了共有54個三角形構成的莫萊魔方，但其分類和形成的標準比較混亂.在此做出新的總結，同時對拿破侖三角的形態可以做出類似的推廣.

二、三線旋轉組定義與證明

觀察在莫萊定理的四種形式中，每個角的內角三等分線，外角三等分線，優角三等分線，構成了兩個兩兩夾角為60°的直線組.如圖一（b）中角A處直線AD，AG，AJ構成夾角為60°的直線組；直線AF，AI，AL構成另一個夾角為60°的直線組.

在拿破侖定理的兩種形態中，向內外各做底角為30°的等腰三角形.如圖一（a）中角A處直線AL，AG夾角為60°，再將AG向外轉60°，得直線AM，此時就構成了夾角為60°的直線組.同理，角B處也有直線BL，BG，BN構成另一個夾角為60°的直線組；由于此時AM⊥AB，BN⊥AB，若認為AM，BN交于無窮遠處，則有類似的在無窮遠處構成的三角形，是拿破侖定理的第三種形態.

定義：若三條直線，兩兩之間夾角為60°，則稱這三條直線構成一個三線旋轉組.

我們給出這樣的引理：

圖三

引理：（圖三）以A，B兩點分別做直線a■，a■，a■和b■，b■，b■使其分別構成三線旋轉組，按逆時針順序對應相交，則構成三個等邊三角形.

（a■，a■，a■）？圮（b■，b■，b■）構成正△CDE；

（a■，a■，a■）？圮（b■，b■，b■）構成正△FGH；

（a■，a■，a■）？圮（b■，b■，b■）構成正△IJK.

以正△CDE為例，我們給出證明：

證明：∵a■，a■和b■，b■分別夾角為60°，a■和b■交于點C，a■和b■交于點D，

∴A、B、C、D四點共圓.

同理，a■，a■和b■，b■分別夾角為60°，a■和b■交于點D，a■和b■交于點E，

∴A、B、D、E四點共圓.

∴ABCDE五點共圓.

設外接圓半徑為R，

∴由正弦定理CD=2Rsin∠CBD=■R，ED=2Rsin∠EBD=■R，CE=2Rsin∠CBE=■R，

即△CDE為正三角形.正△FGH和正△IJK同理可證.

三、莫萊正三角形組與拿破侖正三角形組的統一推廣

1.莫萊正三角形組

由∠A，∠B，∠C的各有兩組三線旋轉組，以A、B兩點為例，加以說明.

（I型）如圖四，以∠A，∠B靠近AB邊的內角三等分線及其三線旋轉組，由引理相交構成三個等邊三角形.類似在BC邊、AC邊輪換也同樣相交構成三個等邊三角形，共計9個等邊三角形.

（II型）如圖四，以∠A，∠B遠離AB邊的內角三等分線及其三線旋轉組，由引理相交構成三個等邊三角形.類似在BC邊、AC邊輪換也同樣相交構成三個等邊三角形，共計9個等邊三角形.

圖四

（III型）如圖四，以∠A遠離AB邊的內角三等分線及其三線旋轉組，∠B靠近AB邊的內角三等分線及其三線旋轉組，由引理相交構成三個等邊三角形.類似交換三等分線旋轉組，以∠A靠近AB邊的內角三等分線及其三線旋轉組，∠B遠離AB邊的內角三等分線及其三線旋轉組，則在AB邊可再構成三個等邊三角形.類似BC邊、AC邊輪換也同樣相交構成三個等邊三角形，共計18個等邊三角形.

在此，我們共計在莫萊定理的推廣中，共找出了54個等邊三角形，形成了一個比較復雜的正三角形組群.

2.拿破侖正三角形組

由A，B，C三點處各有兩組三線旋轉組，以A、B兩點為例，加以說明.

（I型）如圖五，以A、B邊向外各旋轉30°的直線及三線旋轉組，由引理相交構成兩個等邊三角形.類似在BC邊、AC邊輪換也同樣相交構成兩個等邊三角形，共計6個等邊三角形.

（II型）如圖五，以A為圓心，AC邊向外旋轉30°的直線及其三線旋轉組；以B為圓心，BC邊向外做旋轉30°的直線及其三線旋轉組，由引理相交構成三個等邊三角形.類似在BC邊、AC邊輪換也同樣相交構成三個等邊三角形，共計9個等邊三角形.

圖五

（III型）如圖五，以A為圓心，AC邊向外旋轉30°的直線及其三線旋轉組；以B為圓心，BA邊向外各做旋轉30°的直線及其三線旋轉組，由引理相交構成三個等邊三角形.類似交換旋轉組，以A為圓心，AB邊向外旋轉30°的直線及其三線旋轉組；以B為圓心，BC邊向外各做旋轉30°的直線及其三線旋轉組，由引理相交構成三個等邊三角形，此時共在A、B點構成了六個等邊三角形；在BC邊、AC邊輪換也同樣相交構成六個等邊三角形，共計18個等邊三角形.

由此，我們在拿破侖定理的推廣中，共找出了含35個正三角形的組群.

針對拿破侖定理和莫萊定理，還有其他可以統一研究的對象嗎？能否找到統一的證明方法？若把三線旋轉組，改為相鄰直線成45°的四線旋轉組，則有其他結論嗎？這些問題有待大家共同思考解決.

參考文獻：

[1]梁卷明.三等分角線構成的三角形的性質.中學數學，1997.7.

[2]梁卷明.莫萊（morley）三角形新探.中學數學教學參考，2001.3.

[3]阮世慶.Napoleon定理的一個初等證法的改進.數學學習與研究，2010.17.