從“峰回路轉”到“殊途同歸”
2014-07-19 11:46:34徐軍
新校園·中旬刊 2014年5期
徐軍
歸納與猜想類考題是極具特色的一類題型，它主要考查學生對數學規律的發現、認知、歸納和應用能力，對學生的觀察能力和概括能力要求也很高，因此備受中考青睞。近年來，各省數學中考試題中頻頻出現此類探索規律型問題，而且形式多樣。那么如何來解這類問題呢？一般來說，可以從以下幾個角度思考:
一、數字中找規律
（2013年湖北省孝感）2008年北京成功舉辦了一屆舉世矚目的奧運會，今年的奧運會將在英國倫敦舉行，奧運會的年份與屆數如下表所示：
■
表中n等于．
解析：由表格可知，每四年舉辦一次奧運會，由此可得(2012-1896)÷4+1=30
答案:30
點評:此題考查了規律型數字的變化，解答此題的關鍵是引導學生觀察題目中的數字，也就是題目中的已知條件，從而得出規律，再按照規律進行計算即可水到渠成。
二、圖形中找規律
（2013年貴州省畢節市）在下圖中，每個圖案均由邊長為1的小正方形按一定的規律堆疊而成，照此規律，第10個圖案中共有個小正方形。
■
解析：觀察圖案不難發現，圖案中的正方形按照從上到下成奇數列排布，寫出第n個圖案的正方形的個數，然后利用求和公式寫出表達式，再把n=10代入進行計算即可得解。
答案：第1個圖案中共有1個小正方形，第2個圖案中共有1+3=4個小正方形，第3個圖案中共有1+3+5=9個小正方形，…，第n個圖案中共有1+3+5+…+（2n-1）=■=n2個小正方形，所以，第10個圖案中共有102=100個小正方形。
答案：100
點評：本題是對圖形變化規律的考查。學生很容易看出正方形的個數，但教師要提醒學生注意圖案從上到下的排布——正方形的個數成奇數列排布，這樣得到第n個圖案的正方形的個數的表達式才是解題的關鍵。
三、等式（方程）中找規律
（2013年廣東汕頭）觀察下列等式：
第1個等式：a1=■=■×（1-■）；
第2個等式：a2=■=■×（■-■）；
第3個等式：a3=■=■×（■-■）；
第4個等式：a4=■=■×（■-■）；
…
請解答下列問題：
（1）按以上規律列出第5個等式：a5=；
（2）用含有n的代數式表示第n個等式：an==
（n為正整數）；
（3）求a1+a2+a3+a4+…+a100的值。
解析：（1）（2）可由觀察知，找第一個等號后面的式子規律是關鍵：分子不變，為1；分母是兩個連續奇數的乘積，它們與式子序號之間的關系為序號的2倍減1和序號的2倍加1。
（3）運用變化規律計算。
答案：（1）■＝■×（■-■）
（2）■；■×（■-■）
（3）■
四、動態中找不變的規律
（2013年浙江省紹興）如圖，直角三角形紙片ABC中，AB=3，AC=4D為斜邊BC中點，第1次將紙片折疊，使點A與點D重合，折痕與AD交于點P1；設P1D的中點為D1，第2次將紙片折疊，使點A與點D1重合，折痕與AD交于P2；設P2D1的中點為D2，第3次將紙片折疊，使點A與點D2重合，折痕與AD交于點P3；…；設Pn-1Dn-2的中點為Dn-1，第n次將紙片折疊，使點A與點Dn-1重合，折痕與AD交于點Pn（n＞2），則AP6的長為（）
■
第10題圖
A.■B.■C.■D.■
解析：在Rt△ABC中，AC=4，AB=3，所以BC=5，
又D是BC的中點，所以AD=■，
因為點A、D是一組對稱點，所以AP1=■×■，
因為是D1是DP1的中點，所以AD1=■×■×■，即AP2=■×■×■×■，
同理AP3=■×■×（■×■）2，…APn=■×■×（■×■）n-1，所以AP6=■×■×（■×■）5=■，故應選A。
答案：A
點評：針對這類題目，首先要從最基本的幾個圖形中先求出數值，再進一步觀察具體的變化情況，從中找出一般規律。
總之，解答探索規律型問題，必須在認真審題的基礎上，通過歸納、計算、想象和猜想探索規律。在探索和遞推時，往往是從少到多，從簡單到復雜，或從特殊、簡單的情況入手，通過比較和分析，找出每次變化過程中具有的規律性的東西，找到解題方法。因此，雖然此類問題“峰回路轉”，形式變化莫測，但只要教師引導學生從不同的角度觀察，尋求規律，最終結果“殊途同歸”。
歸納與猜想類考題是極具特色的一類題型，它主要考查學生對數學規律的發現、認知、歸納和應用能力，對學生的觀察能力和概括能力要求也很高，因此備受中考青睞。近年來，各省數學中考試題中頻頻出現此類探索規律型問題，而且形式多樣。那么如何來解這類問題呢？一般來說，可以從以下幾個角度思考:
一、數字中找規律
（2013年湖北省孝感）2008年北京成功舉辦了一屆舉世矚目的奧運會，今年的奧運會將在英國倫敦舉行，奧運會的年份與屆數如下表所示：
■
表中n等于．
解析：由表格可知，每四年舉辦一次奧運會，由此可得(2012-1896)÷4+1=30
答案:30
點評:此題考查了規律型數字的變化，解答此題的關鍵是引導學生觀察題目中的數字，也就是題目中的已知條件，從而得出規律，再按照規律進行計算即可水到渠成。
二、圖形中找規律
（2013年貴州省畢節市）在下圖中，每個圖案均由邊長為1的小正方形按一定的規律堆疊而成，照此規律，第10個圖案中共有個小正方形。
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解析：觀察圖案不難發現，圖案中的正方形按照從上到下成奇數列排布，寫出第n個圖案的正方形的個數，然后利用求和公式寫出表達式，再把n=10代入進行計算即可得解。
答案：第1個圖案中共有1個小正方形，第2個圖案中共有1+3=4個小正方形，第3個圖案中共有1+3+5=9個小正方形，…，第n個圖案中共有1+3+5+…+（2n-1）=■=n2個小正方形，所以，第10個圖案中共有102=100個小正方形。
答案：100
點評：本題是對圖形變化規律的考查。學生很容易看出正方形的個數，但教師要提醒學生注意圖案從上到下的排布——正方形的個數成奇數列排布，這樣得到第n個圖案的正方形的個數的表達式才是解題的關鍵。
三、等式（方程）中找規律
（2013年廣東汕頭）觀察下列等式：
第1個等式：a1=■=■×（1-■）；
第2個等式：a2=■=■×（■-■）；
第3個等式：a3=■=■×（■-■）；
第4個等式：a4=■=■×（■-■）；
…
請解答下列問題：
（1）按以上規律列出第5個等式：a5=；
（2）用含有n的代數式表示第n個等式：an==
（n為正整數）；
（3）求a1+a2+a3+a4+…+a100的值。
解析：（1）（2）可由觀察知，找第一個等號后面的式子規律是關鍵：分子不變，為1；分母是兩個連續奇數的乘積，它們與式子序號之間的關系為序號的2倍減1和序號的2倍加1。
（3）運用變化規律計算。
答案：（1）■＝■×（■-■）
（2）■；■×（■-■）
（3）■
四、動態中找不變的規律
（2013年浙江省紹興）如圖，直角三角形紙片ABC中，AB=3，AC=4D為斜邊BC中點，第1次將紙片折疊，使點A與點D重合，折痕與AD交于點P1；設P1D的中點為D1，第2次將紙片折疊，使點A與點D1重合，折痕與AD交于P2；設P2D1的中點為D2，第3次將紙片折疊，使點A與點D2重合，折痕與AD交于點P3；…；設Pn-1Dn-2的中點為Dn-1，第n次將紙片折疊，使點A與點Dn-1重合，折痕與AD交于點Pn（n＞2），則AP6的長為（）
■
第10題圖
A.■B.■C.■D.■
解析：在Rt△ABC中，AC=4，AB=3，所以BC=5，
又D是BC的中點，所以AD=■，
因為點A、D是一組對稱點，所以AP1=■×■，
因為是D1是DP1的中點，所以AD1=■×■×■，即AP2=■×■×■×■，
同理AP3=■×■×（■×■）2，…APn=■×■×（■×■）n-1，所以AP6=■×■×（■×■）5=■，故應選A。
答案：A
點評：針對這類題目，首先要從最基本的幾個圖形中先求出數值，再進一步觀察具體的變化情況，從中找出一般規律。
總之，解答探索規律型問題，必須在認真審題的基礎上，通過歸納、計算、想象和猜想探索規律。在探索和遞推時，往往是從少到多，從簡單到復雜，或從特殊、簡單的情況入手，通過比較和分析，找出每次變化過程中具有的規律性的東西，找到解題方法。因此，雖然此類問題“峰回路轉”，形式變化莫測，但只要教師引導學生從不同的角度觀察，尋求規律，最終結果“殊途同歸”。
歸納與猜想類考題是極具特色的一類題型，它主要考查學生對數學規律的發現、認知、歸納和應用能力，對學生的觀察能力和概括能力要求也很高，因此備受中考青睞。近年來，各省數學中考試題中頻頻出現此類探索規律型問題，而且形式多樣。那么如何來解這類問題呢？一般來說，可以從以下幾個角度思考:
一、數字中找規律
（2013年湖北省孝感）2008年北京成功舉辦了一屆舉世矚目的奧運會，今年的奧運會將在英國倫敦舉行，奧運會的年份與屆數如下表所示：
■
表中n等于．
解析：由表格可知，每四年舉辦一次奧運會，由此可得(2012-1896)÷4+1=30
答案:30
點評:此題考查了規律型數字的變化，解答此題的關鍵是引導學生觀察題目中的數字，也就是題目中的已知條件，從而得出規律，再按照規律進行計算即可水到渠成。
二、圖形中找規律
（2013年貴州省畢節市）在下圖中，每個圖案均由邊長為1的小正方形按一定的規律堆疊而成，照此規律，第10個圖案中共有個小正方形。
■
解析：觀察圖案不難發現，圖案中的正方形按照從上到下成奇數列排布，寫出第n個圖案的正方形的個數，然后利用求和公式寫出表達式，再把n=10代入進行計算即可得解。
答案：第1個圖案中共有1個小正方形，第2個圖案中共有1+3=4個小正方形，第3個圖案中共有1+3+5=9個小正方形，…，第n個圖案中共有1+3+5+…+（2n-1）=■=n2個小正方形，所以，第10個圖案中共有102=100個小正方形。
答案：100
點評：本題是對圖形變化規律的考查。學生很容易看出正方形的個數，但教師要提醒學生注意圖案從上到下的排布——正方形的個數成奇數列排布，這樣得到第n個圖案的正方形的個數的表達式才是解題的關鍵。
三、等式（方程）中找規律
（2013年廣東汕頭）觀察下列等式：
第1個等式：a1=■=■×（1-■）；
第2個等式：a2=■=■×（■-■）；
第3個等式：a3=■=■×（■-■）；
第4個等式：a4=■=■×（■-■）；
…
請解答下列問題：
（1）按以上規律列出第5個等式：a5=；
（2）用含有n的代數式表示第n個等式：an==
（n為正整數）；
（3）求a1+a2+a3+a4+…+a100的值。
解析：（1）（2）可由觀察知，找第一個等號后面的式子規律是關鍵：分子不變，為1；分母是兩個連續奇數的乘積，它們與式子序號之間的關系為序號的2倍減1和序號的2倍加1。
（3）運用變化規律計算。
答案：（1）■＝■×（■-■）
（2）■；■×（■-■）
（3）■
四、動態中找不變的規律
（2013年浙江省紹興）如圖，直角三角形紙片ABC中，AB=3，AC=4D為斜邊BC中點，第1次將紙片折疊，使點A與點D重合，折痕與AD交于點P1；設P1D的中點為D1，第2次將紙片折疊，使點A與點D1重合，折痕與AD交于P2；設P2D1的中點為D2，第3次將紙片折疊，使點A與點D2重合，折痕與AD交于點P3；…；設Pn-1Dn-2的中點為Dn-1，第n次將紙片折疊，使點A與點Dn-1重合，折痕與AD交于點Pn（n＞2），則AP6的長為（）
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第10題圖
A.■B.■C.■D.■
解析：在Rt△ABC中，AC=4，AB=3，所以BC=5，
又D是BC的中點，所以AD=■，
因為點A、D是一組對稱點，所以AP1=■×■，
因為是D1是DP1的中點，所以AD1=■×■×■，即AP2=■×■×■×■，
同理AP3=■×■×（■×■）2，…APn=■×■×（■×■）n-1，所以AP6=■×■×（■×■）5=■，故應選A。
答案：A
點評：針對這類題目，首先要從最基本的幾個圖形中先求出數值，再進一步觀察具體的變化情況，從中找出一般規律。
總之，解答探索規律型問題，必須在認真審題的基礎上，通過歸納、計算、想象和猜想探索規律。在探索和遞推時，往往是從少到多，從簡單到復雜，或從特殊、簡單的情況入手，通過比較和分析，找出每次變化過程中具有的規律性的東西，找到解題方法。因此，雖然此類問題“峰回路轉”，形式變化莫測，但只要教師引導學生從不同的角度觀察，尋求規律，最終結果“殊途同歸”。
