巧解一元二次方程

徐想霞

方程是初中數學的重要組成部分，而一元二次方程又是其重點之一，它的解法靈活多樣。在九年級數學上冊（新人教版）第22章“一元二次方程”教學中，筆者歸納出了兩個方面，和大家共同探討。

一、(ax+b)2=(cx+d)2（a≠0,b≠0)型方程的四種解法

例：解方程（3x-2)2=(x+6)2

解法一：

分析：先將完全平方展開，再通過移項、合并同類項等，將原方程化為ax2+bx+c=0(a≠0）的形式。

解：（3x-2)2=(x+6)2,合并后9x2-12x+4=x2+12x+36，

x2-3x-4=0，所以x1=4，x2=-1。

歸納：次方法運用了完全平方和（差）公式，步驟多，計算量較大。

解法二：

分析：（3x-2)2=(x+6)2,通過移項可化為（3x-2)2-(x+6)2=0，若把（3x-2)2與(x+6)2看作一個整體，則滿足平方差公式的逆運算，即a2-b2=(a+b)(a-b)。因此，可用平方差公式解決。

解：（3x-2)2=(x+6)2，移項后（3x-2)2-(x+6)2=0，

去括號（3x-2+x+6)（3x-2-x-6)=0，

合并同類項（4x+4)(2x-8）=0，所以x1=-1，x2=4。

歸納：次方法運用了平方差公式的逆運算、添括號與去括號，涉及的知識點較多，計算量大，解題過程繁瑣，思路很難理順，是學生很容易出錯的一種解法。

解法三：

分析：無論x取任意實數，（3x-2)2≥0，(x+6)2≥0，進而得■與■均有意義，所以，可用直接開平方法解決，且兩邊均可開方。

解：略。

歸納：此方法運用直接開平方法，直觀易懂，思路清晰，較為簡便。

解法四：

分析：由（3x-2)2=(x+6)2，可得（3x-2)與(x+6)相等或相反，即3x-2=x+6或3x-2+x+6=0。

解：略。

（注：考慮到方程有意義，所以3x-2≠0，x+6≠0，否則上述解法不成立。）

歸納：此方法涉及的知識點是簡單的有理數運算，直觀具體，可算是較為簡便的解法之一。

二、一元二次方程的解法

先將形式多樣的一元二次方程化為一般式ax2+bx+c=0(a≠0)的形式，然后數一數等號左邊有幾項，可分為以下兩類：

1.兩項

（1）只有二次項與一次項時，可用提公因式法。

（2）只有二次項與常數項時，可用直接開平方法。

2.三項

（1）先考慮較為簡便的十字相乘法。（注：此方法二次項系數必須化為1。）

（2）配方法。若十字相乘法不能求解，但一次項系數的一半為整數時（因為整數計算較為簡便），可用配方法。

例：解方程3x2+6x-12=0

解：3x2+6x-12=0，二次項系數化為1，x2+2x-4=0，x=-1±■，所以：x1=-1+■，x2=-1-■。

（注：配方法二次項系數必須化為1。）

（3）公式法

若十字相乘法不能求解，且一次項系數的一半不是整數時（若是分數，會出現分母通分，計算比較麻煩），可用公式法。

例：解方程2x2-7x+3=0

解：略。

（注：配方法與公式法也可按各系數的大小而定。）

總之，數學是一門神奇而又趣的學科，就像走迷宮一樣，若掌握其方法與技巧，則豁然開朗。反之，便會覺得抽象之極。以上是筆者在多年數學教學中的一點體會與見解，還望各位同仁多加指導。