巧用等時(shí)圓模型 速解運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題

王輝

一、模型

運(yùn)動(dòng)模型：如圖所示，豎直放置的半徑為R的圓環(huán)，PQ為該圓環(huán)豎直直徑。

試證明：物體從P點(diǎn)沿任意光滑直桿自由滑到圓環(huán)上各點(diǎn)的時(shí)間相等，且等于沿豎直直徑自由下滑的時(shí)間為2·■.

證明：如圖所示，PA、PB、PC、PD為豎直圓環(huán)上過(guò)P點(diǎn)的任意弦，設(shè)任意弦PA與直徑PQ夾角為θ，則物體沿光滑直桿PA下滑的加速度a=gcosθ，PA長(zhǎng)為2Rcosθ，物體沿PA做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，到達(dá)A點(diǎn)的時(shí)間為t，則有：

2R·cosθ=■g·cosθ·t2

故有：t=2·■（與θ角無(wú)關(guān)）

由上述分析可知，前面的結(jié)論成立。

二、應(yīng)用距離

1.巧做選擇題

例1.如圖1-1所示，AC、BC為位于豎直平面內(nèi)的兩根光滑細(xì)桿，A、B、C三點(diǎn)恰位于同一個(gè)圓周上,C為該圓周的最低點(diǎn),a、b為套在細(xì)桿上的兩個(gè)小環(huán)上，當(dāng)兩環(huán)同時(shí)從A、B點(diǎn)自靜止開(kāi)始下滑，則:

A.環(huán)a將先到達(dá)點(diǎn)C

B.環(huán)b將先到達(dá)點(diǎn)C

C.環(huán)a，b將同時(shí)到達(dá)點(diǎn)C

D.由于兩桿的傾角不知道，無(wú)法判斷

分析與解：如圖1-2所示，過(guò)豎直直徑的上端點(diǎn)C′分別作AC，BC的平行線C′A′，C′B′。

■

由上述模型可知：tC′A′=tC′B′

由對(duì)稱性可知，tC′A′=tAC，tC′B′=tBC

故有：tAC=tBC，答案為C.

例2.如圖2-1所示，通過(guò)空間任意一點(diǎn)A，可作無(wú)限多個(gè)斜面，如果將若干個(gè)小球在A點(diǎn)分別從靜止沿這些傾角各不相同的光滑斜面同時(shí)滑下，那么在同一時(shí)刻，這些小物體所在位置所構(gòu)成的面是（）

A.球面 B.拋物面 C.水平面 D.無(wú)法確定

分析與解：如圖2-2所示，從A點(diǎn)沿斜面下滑的物體均做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，依據(jù)上述模型，過(guò)A點(diǎn)作豎直線，取該直線上某點(diǎn)為球心，作過(guò)A點(diǎn)的球面，它與各斜面上物體運(yùn)動(dòng)軌跡有交點(diǎn)。由上述模型可知，物體從A點(diǎn)出發(fā)沿各斜面自由滑到各交點(diǎn)的時(shí)間相等，反之可說(shuō)明各物體分別從靜止沿這些傾角各不相同的光滑斜面同時(shí)滑下，在同一時(shí)刻，這些小物體所在位置所構(gòu)成的面應(yīng)是球面，答案應(yīng)為A.

■

2.巧解實(shí)際問(wèn)題

例3.一間新房即將建成要封頂時(shí)，考慮到下雨時(shí)落至房頂?shù)挠甑文鼙M快淌離房頂，要設(shè)計(jì)好房頂?shù)钠露取ＴO(shè)雨滴沿房頂下淌時(shí)做無(wú)初速度無(wú)摩擦的運(yùn)動(dòng)，那么，下圖中所示的四種情況中符合要求的是（ ）

■

分析與解：由題意知，房頂跨度一定，設(shè)為d，房頂坡度不同。設(shè)房檐邊界點(diǎn)為P點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)作豎直線，取P點(diǎn)上方相距為d/2的點(diǎn)O，以O(shè)點(diǎn)圓心，以d/2為半徑，作過(guò)P點(diǎn)的圓周，過(guò)房頂作豎直線EQ，與圓相切于C點(diǎn)，如圖3示，A、B、C、D分別為坡度不同的房頂，根據(jù)上述模型可知，雨滴從坡度為45°的房頂滑下的時(shí)間最短。故應(yīng)選答案C.

■

3.巧算運(yùn)動(dòng)時(shí)間

例4.在離坡底P15m的山坡上豎直地固定一根長(zhǎng)15m的直桿QO，Q端與坡底P之間連有一鋼繩，一穿心于鋼繩上的小球從Q點(diǎn)由靜止開(kāi)始沿鋼繩無(wú)摩擦地滑下，如圖4-1所示，求其在鋼繩上滑行的時(shí)間t。

分析與解：由題意知，OP=OQ=l=15m，且OQ豎直，以O(shè)為圓心，以為半徑作圓周，則QP為該圓的一條弦，如圖4-2所示，由上述模型有：小環(huán)從靜止開(kāi)始沿QP下滑的時(shí)間，等于小環(huán)從Q點(diǎn)沿豎直直徑自由下落到E點(diǎn)的時(shí)間。

則有：2l=■g·t2 故：t=2·■=2·■=2.45（s）

■

4.巧求最快路徑

例5.如圖5-1為某制藥廠自動(dòng)生產(chǎn)流水線的一部分裝置示意圖。傳送帶與水平面的夾角為α，O為漏斗，要使藥片從漏斗中出來(lái)經(jīng)光滑滑槽送到傳送帶上，設(shè)滑槽的擺放方向與豎直方向的夾角為φ，則φ為多大時(shí)可使藥片滑到傳送帶上的時(shí)間最短？

A.φ=α B.φ=2αC.φ=α/2 D.■α

■

分析與解：如圖5-2所示，OF為豎直線，過(guò)O點(diǎn)作傳送帶的垂線OQ，則∠QOF=α，再作∠QOF的角平線OP交傳送帶于P點(diǎn)，OP位置即為藥片沿滑槽滑行時(shí)間最短的位置，故=α/2。答案應(yīng)選C。

理由：再過(guò)P點(diǎn)作傳送帶的垂線PE交OF于E點(diǎn)，則PE=EO，以E點(diǎn)為圓心，以EO為半徑作圓周，圓E與傳送帶恰好相切于P點(diǎn)。由圖可知，圓E是所有圓心在豎直線OF上的與傳送帶相切或相交的圓中半徑最小的圓，根據(jù)上述運(yùn)動(dòng)模型可知，滑槽沿OP方位放置，藥片沿滑槽滑到傳送帶上的時(shí)間最短。

一、模型

運(yùn)動(dòng)模型：如圖所示，豎直放置的半徑為R的圓環(huán)，PQ為該圓環(huán)豎直直徑。

試證明：物體從P點(diǎn)沿任意光滑直桿自由滑到圓環(huán)上各點(diǎn)的時(shí)間相等，且等于沿豎直直徑自由下滑的時(shí)間為2·■.

證明：如圖所示，PA、PB、PC、PD為豎直圓環(huán)上過(guò)P點(diǎn)的任意弦，設(shè)任意弦PA與直徑PQ夾角為θ，則物體沿光滑直桿PA下滑的加速度a=gcosθ，PA長(zhǎng)為2Rcosθ，物體沿PA做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，到達(dá)A點(diǎn)的時(shí)間為t，則有：

2R·cosθ=■g·cosθ·t2

故有：t=2·■（與θ角無(wú)關(guān)）

由上述分析可知，前面的結(jié)論成立。

二、應(yīng)用距離

1.巧做選擇題

例1.如圖1-1所示，AC、BC為位于豎直平面內(nèi)的兩根光滑細(xì)桿，A、B、C三點(diǎn)恰位于同一個(gè)圓周上,C為該圓周的最低點(diǎn),a、b為套在細(xì)桿上的兩個(gè)小環(huán)上，當(dāng)兩環(huán)同時(shí)從A、B點(diǎn)自靜止開(kāi)始下滑，則:

A.環(huán)a將先到達(dá)點(diǎn)C

B.環(huán)b將先到達(dá)點(diǎn)C

C.環(huán)a，b將同時(shí)到達(dá)點(diǎn)C

D.由于兩桿的傾角不知道，無(wú)法判斷

分析與解：如圖1-2所示，過(guò)豎直直徑的上端點(diǎn)C′分別作AC，BC的平行線C′A′，C′B′。

■

由上述模型可知：tC′A′=tC′B′

由對(duì)稱性可知，tC′A′=tAC，tC′B′=tBC

故有：tAC=tBC，答案為C.

例2.如圖2-1所示，通過(guò)空間任意一點(diǎn)A，可作無(wú)限多個(gè)斜面，如果將若干個(gè)小球在A點(diǎn)分別從靜止沿這些傾角各不相同的光滑斜面同時(shí)滑下，那么在同一時(shí)刻，這些小物體所在位置所構(gòu)成的面是（）

A.球面 B.拋物面 C.水平面 D.無(wú)法確定

分析與解：如圖2-2所示，從A點(diǎn)沿斜面下滑的物體均做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，依據(jù)上述模型，過(guò)A點(diǎn)作豎直線，取該直線上某點(diǎn)為球心，作過(guò)A點(diǎn)的球面，它與各斜面上物體運(yùn)動(dòng)軌跡有交點(diǎn)。由上述模型可知，物體從A點(diǎn)出發(fā)沿各斜面自由滑到各交點(diǎn)的時(shí)間相等，反之可說(shuō)明各物體分別從靜止沿這些傾角各不相同的光滑斜面同時(shí)滑下，在同一時(shí)刻，這些小物體所在位置所構(gòu)成的面應(yīng)是球面，答案應(yīng)為A.

■

2.巧解實(shí)際問(wèn)題

例3.一間新房即將建成要封頂時(shí)，考慮到下雨時(shí)落至房頂?shù)挠甑文鼙M快淌離房頂，要設(shè)計(jì)好房頂?shù)钠露取ＴO(shè)雨滴沿房頂下淌時(shí)做無(wú)初速度無(wú)摩擦的運(yùn)動(dòng)，那么，下圖中所示的四種情況中符合要求的是（ ）

■

分析與解：由題意知，房頂跨度一定，設(shè)為d，房頂坡度不同。設(shè)房檐邊界點(diǎn)為P點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)作豎直線，取P點(diǎn)上方相距為d/2的點(diǎn)O，以O(shè)點(diǎn)圓心，以d/2為半徑，作過(guò)P點(diǎn)的圓周，過(guò)房頂作豎直線EQ，與圓相切于C點(diǎn)，如圖3示，A、B、C、D分別為坡度不同的房頂，根據(jù)上述模型可知，雨滴從坡度為45°的房頂滑下的時(shí)間最短。故應(yīng)選答案C.

■

3.巧算運(yùn)動(dòng)時(shí)間

例4.在離坡底P15m的山坡上豎直地固定一根長(zhǎng)15m的直桿QO，Q端與坡底P之間連有一鋼繩，一穿心于鋼繩上的小球從Q點(diǎn)由靜止開(kāi)始沿鋼繩無(wú)摩擦地滑下，如圖4-1所示，求其在鋼繩上滑行的時(shí)間t。

分析與解：由題意知，OP=OQ=l=15m，且OQ豎直，以O(shè)為圓心，以為半徑作圓周，則QP為該圓的一條弦，如圖4-2所示，由上述模型有：小環(huán)從靜止開(kāi)始沿QP下滑的時(shí)間，等于小環(huán)從Q點(diǎn)沿豎直直徑自由下落到E點(diǎn)的時(shí)間。

則有：2l=■g·t2 故：t=2·■=2·■=2.45（s）

■

4.巧求最快路徑

例5.如圖5-1為某制藥廠自動(dòng)生產(chǎn)流水線的一部分裝置示意圖。傳送帶與水平面的夾角為α，O為漏斗，要使藥片從漏斗中出來(lái)經(jīng)光滑滑槽送到傳送帶上，設(shè)滑槽的擺放方向與豎直方向的夾角為φ，則φ為多大時(shí)可使藥片滑到傳送帶上的時(shí)間最短？

A.φ=α B.φ=2αC.φ=α/2 D.■α

■

分析與解：如圖5-2所示，OF為豎直線，過(guò)O點(diǎn)作傳送帶的垂線OQ，則∠QOF=α，再作∠QOF的角平線OP交傳送帶于P點(diǎn)，OP位置即為藥片沿滑槽滑行時(shí)間最短的位置，故=α/2。答案應(yīng)選C。

理由：再過(guò)P點(diǎn)作傳送帶的垂線PE交OF于E點(diǎn)，則PE=EO，以E點(diǎn)為圓心，以EO為半徑作圓周，圓E與傳送帶恰好相切于P點(diǎn)。由圖可知，圓E是所有圓心在豎直線OF上的與傳送帶相切或相交的圓中半徑最小的圓，根據(jù)上述運(yùn)動(dòng)模型可知，滑槽沿OP方位放置，藥片沿滑槽滑到傳送帶上的時(shí)間最短。

一、模型

運(yùn)動(dòng)模型：如圖所示，豎直放置的半徑為R的圓環(huán)，PQ為該圓環(huán)豎直直徑。

試證明：物體從P點(diǎn)沿任意光滑直桿自由滑到圓環(huán)上各點(diǎn)的時(shí)間相等，且等于沿豎直直徑自由下滑的時(shí)間為2·■.

證明：如圖所示，PA、PB、PC、PD為豎直圓環(huán)上過(guò)P點(diǎn)的任意弦，設(shè)任意弦PA與直徑PQ夾角為θ，則物體沿光滑直桿PA下滑的加速度a=gcosθ，PA長(zhǎng)為2Rcosθ，物體沿PA做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，到達(dá)A點(diǎn)的時(shí)間為t，則有：

2R·cosθ=■g·cosθ·t2

故有：t=2·■（與θ角無(wú)關(guān)）

由上述分析可知，前面的結(jié)論成立。

二、應(yīng)用距離

1.巧做選擇題

例1.如圖1-1所示，AC、BC為位于豎直平面內(nèi)的兩根光滑細(xì)桿，A、B、C三點(diǎn)恰位于同一個(gè)圓周上,C為該圓周的最低點(diǎn),a、b為套在細(xì)桿上的兩個(gè)小環(huán)上，當(dāng)兩環(huán)同時(shí)從A、B點(diǎn)自靜止開(kāi)始下滑，則:

A.環(huán)a將先到達(dá)點(diǎn)C

B.環(huán)b將先到達(dá)點(diǎn)C

C.環(huán)a，b將同時(shí)到達(dá)點(diǎn)C

D.由于兩桿的傾角不知道，無(wú)法判斷

分析與解：如圖1-2所示，過(guò)豎直直徑的上端點(diǎn)C′分別作AC，BC的平行線C′A′，C′B′。

■

由上述模型可知：tC′A′=tC′B′

由對(duì)稱性可知，tC′A′=tAC，tC′B′=tBC

故有：tAC=tBC，答案為C.

例2.如圖2-1所示，通過(guò)空間任意一點(diǎn)A，可作無(wú)限多個(gè)斜面，如果將若干個(gè)小球在A點(diǎn)分別從靜止沿這些傾角各不相同的光滑斜面同時(shí)滑下，那么在同一時(shí)刻，這些小物體所在位置所構(gòu)成的面是（）

A.球面 B.拋物面 C.水平面 D.無(wú)法確定

分析與解：如圖2-2所示，從A點(diǎn)沿斜面下滑的物體均做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，依據(jù)上述模型，過(guò)A點(diǎn)作豎直線，取該直線上某點(diǎn)為球心，作過(guò)A點(diǎn)的球面，它與各斜面上物體運(yùn)動(dòng)軌跡有交點(diǎn)。由上述模型可知，物體從A點(diǎn)出發(fā)沿各斜面自由滑到各交點(diǎn)的時(shí)間相等，反之可說(shuō)明各物體分別從靜止沿這些傾角各不相同的光滑斜面同時(shí)滑下，在同一時(shí)刻，這些小物體所在位置所構(gòu)成的面應(yīng)是球面，答案應(yīng)為A.

■

2.巧解實(shí)際問(wèn)題

例3.一間新房即將建成要封頂時(shí)，考慮到下雨時(shí)落至房頂?shù)挠甑文鼙M快淌離房頂，要設(shè)計(jì)好房頂?shù)钠露取ＴO(shè)雨滴沿房頂下淌時(shí)做無(wú)初速度無(wú)摩擦的運(yùn)動(dòng)，那么，下圖中所示的四種情況中符合要求的是（ ）

■

分析與解：由題意知，房頂跨度一定，設(shè)為d，房頂坡度不同。設(shè)房檐邊界點(diǎn)為P點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)作豎直線，取P點(diǎn)上方相距為d/2的點(diǎn)O，以O(shè)點(diǎn)圓心，以d/2為半徑，作過(guò)P點(diǎn)的圓周，過(guò)房頂作豎直線EQ，與圓相切于C點(diǎn)，如圖3示，A、B、C、D分別為坡度不同的房頂，根據(jù)上述模型可知，雨滴從坡度為45°的房頂滑下的時(shí)間最短。故應(yīng)選答案C.

■

3.巧算運(yùn)動(dòng)時(shí)間

例4.在離坡底P15m的山坡上豎直地固定一根長(zhǎng)15m的直桿QO，Q端與坡底P之間連有一鋼繩，一穿心于鋼繩上的小球從Q點(diǎn)由靜止開(kāi)始沿鋼繩無(wú)摩擦地滑下，如圖4-1所示，求其在鋼繩上滑行的時(shí)間t。

分析與解：由題意知，OP=OQ=l=15m，且OQ豎直，以O(shè)為圓心，以為半徑作圓周，則QP為該圓的一條弦，如圖4-2所示，由上述模型有：小環(huán)從靜止開(kāi)始沿QP下滑的時(shí)間，等于小環(huán)從Q點(diǎn)沿豎直直徑自由下落到E點(diǎn)的時(shí)間。

則有：2l=■g·t2 故：t=2·■=2·■=2.45（s）

■

4.巧求最快路徑

例5.如圖5-1為某制藥廠自動(dòng)生產(chǎn)流水線的一部分裝置示意圖。傳送帶與水平面的夾角為α，O為漏斗，要使藥片從漏斗中出來(lái)經(jīng)光滑滑槽送到傳送帶上，設(shè)滑槽的擺放方向與豎直方向的夾角為φ，則φ為多大時(shí)可使藥片滑到傳送帶上的時(shí)間最短？

A.φ=α B.φ=2αC.φ=α/2 D.■α

■

分析與解：如圖5-2所示，OF為豎直線，過(guò)O點(diǎn)作傳送帶的垂線OQ，則∠QOF=α，再作∠QOF的角平線OP交傳送帶于P點(diǎn)，OP位置即為藥片沿滑槽滑行時(shí)間最短的位置，故=α/2。答案應(yīng)選C。

理由：再過(guò)P點(diǎn)作傳送帶的垂線PE交OF于E點(diǎn)，則PE=EO，以E點(diǎn)為圓心，以EO為半徑作圓周，圓E與傳送帶恰好相切于P點(diǎn)。由圖可知，圓E是所有圓心在豎直線OF上的與傳送帶相切或相交的圓中半徑最小的圓，根據(jù)上述運(yùn)動(dòng)模型可知，滑槽沿OP方位放置，藥片沿滑槽滑到傳送帶上的時(shí)間最短。