概率學習中值得注意的幾個問題

劉靜宇

概率是高中數學的一個重要內容，涉及到的知識點主要包括：古典概型與幾何概型、頻率與概率、互斥事件與對立事件及相互獨立事件、離散型隨機變量分布列及期望方差。教學中發現，學生對一些概率知識容易混淆。下面結合實例，談一談在概率的學習中應該注意的幾個問題。

一、正確理解“頻率”與“概率”的區別

例：“拋一枚質地均勻的硬幣，正面向上的可能性是■”，這個■是不以人們的意志為轉移的，它就是概率。“拋一枚質地均勻的硬幣，連續拋1000次，發現有500次正面向上，正面向上的比例為■”，這個■是通過實驗得到的比值，它就是頻率。

點評：隨機事件的頻率是指該隨機事件發生的次數m與試驗總次數n的比值。在大量重復進行同一試驗時，事件發生的頻率總是接近于某個常數，在它附近擺動，把這個常數叫該事件的概率。

二、正確理解“古典概型”概率公式

如果一次試驗出現的結果是有限的，每一個基本事件出現的可能性都是均等的，這樣的試驗稱為古典概型。在古典概型中，基本事件總數為n，事件A包括其中m個基本事件，那么事件A發生的概率P(A)=■,要想計算出事件A的概率,必須確定m和n的值。

例：口袋中有2個紅球，8個白球，每次摸1個球，記下顏色后不再放回。一共摸了四次，求其中恰好有兩次摸紅球的概率。

解法一:把10個球全部取出并排成一排,則基本事件總數n=A1010.

“恰好兩次摸紅球”這一事件所含的基本事件數m=A24A88，∴P=■=■.

解法二：本題相當于從2個紅球8個白球中取出4個球，求其中恰好有2個紅球的概率。n=C410，m=C22C28∴P=■=■.

點評：究竟是用排列知識還是用組合知識求m、n的值，關鍵在于如何理解題意，從哪個角度去看。無論用排列還是組合知識都有可能達到目的。

三、正確理解“古典概型”與“互斥事件”的關系

例：有20個球，其中紅球15個，黃球5個，從中任取3個， 求“至少有1個黃球”的概率。

解法一:“至少有一個黃球”這一事件由互斥的三個基本事件組成:A=“1黃2紅”,B=“2黃1紅”,C=“3黃”,P（A+B+C）=P（A）+P（B）+P（C）=■+■+■=■+■+■=■.

解法二:令D=“至少有一個黃球”,“都是紅球”為其對立事件,

P（D）=1-P（D）=1-■=■.

點評:互斥事件概率公式，是解決古典概型問題的一個工具，它與古典概型并不是并列的關系。求概率時,如果要分類討論,則類與類間就是互斥的;如果運用排除法求概率,就可以看作是利用對立事件求概率。

四、正確理解“古典概型”與“相互獨立事件”的區別

事件A（或B）是否發生對B（或A）發生的概率沒有影響,這樣的兩個事件稱為相互獨立事件。若A、B同時發生，則P(A·B)=P(A)P(B)；在一次試驗中某事件發生的概率為p，則n次獨立重復試驗中，該事件發生k次的概率

p=CknPk(1-P)n-k

例：（1）有100件產品,次品率為5﹪，從中任取3件，求恰好有1件次品的概率。

（2）有一大批產品,次品率為5％，從中任取3件，求恰好有1件次品的概率。

解：（1）100件產品中有95件正品，5件次品.記“恰好有一件次品”為事件A,則P（A）=■=■.

（2）每次取到次品的概率都是5％，記“恰好有一件次品”為事件A，則P(A)=C13(■)(■)2=■.

點評：同樣是次品率為5％，前一問題屬于“古典概型問題”,后一問題由于產品數量很大,取出一件以后對下回取次品的概率沒有影響，所以屬于“獨立重復試驗”問題。

上面幾點，是學生在概率學習過程中容易混淆的幾個地方。通過本文的分析、闡述，希望能對教師的概率教學和學生的概率學習有所幫助。