人教版七年級數學（上）常見的分類討論

高學軍

《義務教育數學課程標準》明確提出：“教師應激發學生的學習積極性，向學生提供充分從事數學活動的機會，幫助他們在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數學知識與技能、數學思想和方法，獲得廣泛的數學活動經驗”。把數學思想、方法作為基礎知識的重要組成部分，在《義務教育數學課程標準》中明確提出來，這不僅是課標體現義務教育性質的重要表現，也是對學生實施創新教育、培訓創新思維的重要保證。由于初一學生剛升入初中，受小學數學思維定式的影響，往往對分類討論的問題容易出錯，得出的答案不全，這就需要我們教師逐步滲透分類討論思想。

所謂分類討論，就是當問題所給的對象不能進行統一研究時，就需要對研究對象按某個標準分類，然后對每一類分別研究得出每一類的結果，最后綜合各類結果得到整個問題的解答。實質上，分類討論是“化整為零，各個擊破，再積零為整”的數學策略。分類討論思想，貫穿于整個中學數學的全部內容中。應用分類討論，往往能使復雜的問題簡單化。分類的過程，可培養學生思考的周密性和條理性，而分類討論，又促進學生研究問題、探索規律的能力。分類討論一般應遵循同一性原則、相稱性原則、互斥性原則、層次性原則。下面就七年級數學上冊中引起分類討論的一些常見情況作一歸納。

一、在定義中滲透分類思想

有些數學概念是分類定義的，例如，對有理數進行分類。將有理數按性質分為正有理數、零、負有理數，將有理數按定義分為整數、分數，讓學生辨別不同分類的依據，初步體會分類要不重復，不遺漏，標準不同則分類不同的基本原則，所以應用這些概念解題時，就需進行分類討論。再如，“-a一定是負數嗎？”啟發學生分a>0，a=0，a<0三種情況考慮。在學習絕對值的定義時，要有意識地啟發學生從有理數分類進行認知的遷移，幫助學生概括a>0，a=0，a<0時應如何表示，并要求學生能做一些簡單的化簡題?；喪阶?/p>

二、在法則、定理、公式中體現分類討論思想

兩個有理數比較大小，可分為：正數和正數、正數和零、正數和負數、負數和零、負數和負數幾類情況來比較，而負數和負數的大小比較是新的知識點，這就突出了學習的重點。在數學教學中，我們應該不斷重視法則、定理、公式的論證過程，注意歸納、揭示公式之間的聯系，幫助學生增強分類意識，體驗分類思想方法的作用。

三、根據圖形中位置的不同分類

在解題過程中有些幾何問題的圖形位置或形狀不能確定，如果解題時進行統一處理，將會遇到較大困難，這時就必須進行討論，把問題分成幾類或幾部分來處理，采取分而治之的方法來各個擊破。比如在教學線段的相關計算時，學生對以下這類題特別容易出錯，已知A、B、C三點在同一條直線上，且線段AB=7 cm，點M為線段AB的中點，線段BC=3 cm，點N為線段BC的中點，求線段MN的長。

解析：（1）點C在線段AB上：

（2）點C在線段AB的延長線上

再如角度的計算，在同一平面上，∠AOB=70°，∠BOC=30°，射線OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，求∠MON的大小。

（1）射線OC在內；（2）射線OC在外。

在講解時既滲透了分類討論思想，又滲透了數形結合思想，一

舉兩得。

四、根據條件的不確定性分類

有些題目中的條件開放，致使求解結果不唯一，若對這類問題考慮不全面，時常發生漏解現象。例如，甲、乙兩人分別從相距30 km的A、B兩地同時相向而行，甲的速度是每小時6千米，乙的速度是每小時4千米，問兩人幾小時后相距10千米？就要討論相遇還是沒有相遇兩種情況。

當然，上面歸納的這幾種分類根據不是相互獨立的，也不是很全面，有時這幾種分類根據常常要交叉使用，尤其對一些較復雜的討論題更是如此。

總之，數學中的分類討論思想是一種比較重要的數學思想，通過加強數學分類討論思想的訓練，有利于提高學生對學習數學的興趣，培養學生思維的條理性、縝密性、科學性，這種優良的思維品質對學生的未來必將產生深刻和久遠的影響。教師在日常的教學中應有意識地突出分類討論思想，自覺地重視和加強分類討論思想的教學，這也是實施素質教育的具體表現，數學中的分類討論教學與素質教育中提出的培養學生的創新精神與探索精神是一致的。在教學中，我們要多研究、多實踐、多探索，讓學生更好地掌握好初中數學中的分類討論思想。

（作者單位 青海油田昆侖石油中學）