解析幾何中的數學思想

李文生

解析幾何的本質是用代數的方法研究幾何問題，解幾知識中，蘊含著深刻的數學思想，對解幾本質的考查往往通過對其思想應用的考查得以體現。首先是由解幾本質特征所決定的函數與方程思想，數形結合思想，其次是研究幾何問題常用到的化歸與轉化的思想方法，分類與整合的思想方法，一般與特殊的思想方法等。

一、數形結合思想

解析幾何的基本思想就是數形結合，因為數與形是數學中最古老、最基本的研究對象，在解題中要善于將數形結合的數學思想運用于對圓錐曲線和平面幾何性質以及相互關系的研究，即通過“以形輔數”“以數解形”“數形結合”將抽象的數學問題與直觀的幾何圖形相結合，從而達到優化解題的途徑。

二、函數與方程的思想

函數思想與方程思想之間，相輔相成。函數問題與方程問題可以相互轉化解決、函數與方程之間的辯證關系形成了函數與方程思想，函數與方程思想就是用動靜結合，相互轉化的觀點看待問題，從而解決問題的一種思維方式，是很重要的數學思想。在解析幾何中應用函數思想就是用運動、變化、聯系的觀點，分析問題中的數量關系、構造函數來解決問題。

評析：本題需通過方程的聯立，函數的構造以及方程的解與函數零點的關系轉化問題。

解析幾何是一門以代數方法研究幾何問題的學科，主要涉及函數與方程等知識，因此是考查函數與方程思想的良好素材。所以，考生若能真正領會函數與方程思想，就能克服對解析幾何解答題的畏難情緒。

而解析幾何的題目都以方程形式給定直線和圓錐曲線，因此，把直線與圓錐曲線的相交問題利用韋達定理進行整體處理，以及直線方程思想的應用，都可以大大簡化解題過程。

三、化歸與轉化思想

數學對象的內部或者不同的數學對象之間，往往會以某種形式相互聯系，在一定的條件下能夠相互轉化，針對面臨的數學問題，實施或轉化問題的條件，或轉化問題的結論或轉化問題的內在結構，或轉化問題的外部表現形式等行動策略去解決有關的數學問題，能促進問題的解決，可以說，數學解題的過程就是不斷化歸與轉化的過程。

在解析幾何中主要是研究直線、圓、圓錐曲線這些圖形的位置關系及其幾何性質。對于一時難以解決的問題，可運用轉化與化歸思想經過觀察、分析、類比、聯想等思維過程，運用恰當的數學方法進行變換，將原問題化歸為一類已經能解決或者比較容易解決的問題。

變與不變是一對辨證的矛盾，它們相互依存且可以在一定條件下相互轉化，要注意尋找數和形的不變量。如：方程的解、點的坐標、角的大小、線段的長度、定點、定值等，在解析幾何中，若有意識尋求蘊含其中的不變量或不變的性質（如公其的對稱軸、公共的點、不變的斜率、不變的截距、不變的離心率等），便能認清問題的本質，通過恒等轉化、合理化歸、便能實現將復雜問題化歸為簡單的問題。

總之，在數學學習中，若不研究數學思想的應用，所謂的解題方法就無基礎，解題的過程只不過是簡單的機械活動，而數學思想猶如一盞為船只指明航向的明燈，只要能自覺應用它指導解題，思路就能豁然開朗，解題自然就成為一種享受。

（作者單位 福建省連城縣第一中學）