老師，我解錯了嗎

杜錫兒

摘 要：由學生的一道題目因錯誤使用平移知識的解答過程而展開討論，幫助學生尋找問題的癥結(jié)所在，解決并探討問題產(chǎn)生的原因，分析思維定式在數(shù)學解題中的影響。

關鍵詞：問題；平移；思維定式

“老師，這個題目我的做法可行嗎？我的方法和標準答案提供的解題思路不同，答案似乎從相似的角度得出直角邊長計算面積，我用平移的方式解決，方便多了。”一群學生將我團團圍住，我一邊接過題目，一邊習慣性地觀察了一下他們的神情，看來此題不算很難，大家好像已經(jīng)解決，和提問者達成了一致的見解，希望得到我的肯定及表揚。

原題如下：

如圖（a），點F、G、H、E分別從正方形ABCD的頂點B、C、D、A同時出發(fā)，以1 cm/s速度沿著正方形的邊向點C、D、A、B運動。設運動時間為x（s），問：

（1）四邊形EFGH是什么圖形？證明你的結(jié)論；

（2）若正方形ABCD的邊長為2 cm，四邊形EFGH的面積為y（cm2），求y關于x的函數(shù)解析式和自變量x的取值范圍；

（3）若改變點的連結(jié)方式如圖（b），其余不變，則當動點出發(fā)幾秒時，圖中空白部分的面積為3 cm2？

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第（1）（2）小題的解答沒有疑問，對于第（3）題，學生的解答如下：

解：設動點出發(fā)x秒時，圖中空白部分的面積為3 cm2。

由于動點F、G、H、E都以1 cm/s速度分別從正方形ABCD的頂點B、C、D、A同時出發(fā)，則BF=CG=DH=AE=x cm，F(xiàn)C=GD=HA=EB=（2-x）cm，圖中陰影部分是兩個全等的平行四邊形，面積都為2（2-x）cm2。

于是，為求空白部分的面積，利用平移的知識，將圖形變成為如圖（c），那么空白部分的面積為：x2=3，得x=

■≈1.73秒。

標準答案提供的解答如下：

解：可求得空白部分的面積=4x-4+■，

則4x-4+■=3，化簡得：

4x3-3x2-12=0，由計算器估算得x≈1.74，

所以當動點出發(fā)約1.74秒時，圖中空白部分的面積為3 cm2。

學生的疑問：解得的答案非常接近，為什么答案不采用平移方式解題，而是得到了一個如此復雜的一元三次方程，還得靠計算器估算得到近似值？乍一看，學生的解答似乎不錯，我也遲疑了一下，按部就班地求得空白部分的面積，需要用到相似等知識來解答，得到的方程求解也是一個大麻煩。

問題的癥結(jié)出在哪兒呢？心想：得讓學生自己來找出原因，日后不再犯同類型錯誤。于是，讓一個學生動手剪下圖（b）中的四個空白直角三角形，引導他們分析：若能得到x2=3，則必能將四個直角三角形拼成一個邊長為x的正方形，否則他們的方法就不可取。學生動手實踐后，發(fā)現(xiàn)拼成的邊長為x的正方形如圖（d），圖形中間還有一個小正方形，學生意識到了自己做錯了，但還是提出：平移過程哪里錯了？

顯然，孩子們陷入了思維定式的圈子了。他們受狹隘的知識經(jīng)驗范圍所限，當事物的背景發(fā)生了變化，而仍以原來的思維模式處理問題，就易形成思維定式，造成對事物錯誤或歪曲的判斷和理解。自從對“圖形平移”的學習開始，到“一元二次方程”解決實際問題的應用，都涉及了這類問題，我每次要求學生觀察圖形特征，善用平移知識進行解題。或許是學生平時遇到的題目都能用平移方式解決，從而形成了潛意識，拿到題目直接將“小路”平移，使其余部分集中在一起，方便列式計算。為了讓學生自己發(fā)現(xiàn)癥結(jié)，我畫了幾種不同類型的“小路”，希望他們在思考中發(fā)現(xiàn)區(qū)別。

圖一：在矩形草地中修建兩條縱向、一條橫向小路，每處路寬都相等，如圖所示。

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圖二：在矩形草地中有兩條彎曲的小路，小路任何地方的寬度都相等，如圖所示。

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圖三：在矩形草地中有三條小路，兩條縱向小路的寬度相等，每段橫向彎折小路的寬度相等，且每段小路均為平行四邊形，如圖所示。

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仔細觀察了這三個圖形，與自己所提的問題圖形進行比較后，一位學生頓悟，立刻回答道：“上述圖形中的小路不管什么形狀，由于路寬始終相等，重疊部分都是以路寬為邊長的正方形，平移前后陰影部分面積相等；而我們提出的問題中的圖形的情況是這樣的：雖然FC=GD=HA=EB=（2-x）cm，但是圖（b）陰影部分的重疊處是一個邊長為（2-x）sin∠GDEcm的正方形，平移后圖（c）重疊處卻是一個邊長為（2-x）cm的正方形，顯然平移前后陰影部分面積不相等。”精彩的回答，找出了問題的癥結(jié)所在，而且將剛學的三角函數(shù)知識也應用其中，并沒有誤認為∠GDE=45°，我連忙稱贊、表揚這個學生，并指出：此題求空白直角三角形的面積時應該利用“相似三角形面積比等于相似比的平方”會更快捷，列式更方便。隨后，學生又演算了一遍，真正解決了這一道題。雖然他們提出的解法錯誤，但是我仍舊表揚他們善于發(fā)現(xiàn)、提出問題，會在解題中思考的好習慣。

為了使學生進一步意識到思維定式的弊端，我想到前陣子看到的一則小故事。

著名的科普作家阿西莫夫天資聰穎，他一直為此而洋洋得意。有一次，他遇到一位熟悉的汽車修理工。修理工對阿西莫夫說：“嗨，博士！我出道題來考考你的智力，如何？”阿西莫夫同意了。修理工便說道：“有一位既聾又啞的人，想買幾根釘子，來到五金商店，對售貨員做了一個手勢：左手兩個指頭立在柜臺上，右手握成拳頭做敲擊狀。售貨員見了，給他拿來一把錘子。聾啞人搖搖頭，指了指立著的那兩根指頭。于是售貨員給他換了釘子。聾啞人買好釘子，剛走出商店，接著就進來一位盲人。這位盲人想買一把剪刀，請問：盲人將會怎樣做？”阿西莫夫心想，這還不簡單嗎？便順口答道：“盲人肯定會這樣。”說著伸出食指和中指，做出剪刀的形狀。修理工笑了：“哈哈，盲人想買剪刀，只需要開口說‘我買剪刀就行了，干嗎要打手勢呀？在考你之前，我就料定你肯定會答錯，你所受的教育太多了，不可能很聰明。”

其實，并不是因為學的知識太多了，人反而變得笨了，而是因為人的知識和經(jīng)驗會在頭腦中積累形成慣常定式。這種思維定式會束縛人的思維，會使人習慣于用舊有的、常規(guī)的模式去思考和處理問題。當面臨外界事物或現(xiàn)實問題的時候，人就會不假思索地把它們納入特定的思維框架，并沿著特定的路徑對它們進行思考和處理。

在數(shù)學解題過程中，思維定式對問題解決的影響普遍存在，有時利用特有的規(guī)律，有助于學生運用所學的知識和積累的經(jīng)驗來解題，有時能舉一反三、觸類旁通，如上面所舉的三例（圖一、二、三），但有時也會產(chǎn)生消極影響，妨礙思路的打開，甚至產(chǎn)生思維惰性，就如學生提出的問題。在教學過程中，教師要注重通過對知識和技能的聯(lián)系、對比、類比、轉(zhuǎn)化，為學生發(fā)揮思維定式的積極作用創(chuàng)設情境，找到與之相適應的知識聯(lián)系，解釋同類現(xiàn)象，確定解題策略，培養(yǎng)學生思維的靈活性，防止思維定式的負遷移。

參考文獻：

徐春娣.初中數(shù)學學習中學生思維定式負遷移的成因分析及對策[J].數(shù)學教育學報，2008（3）.

（作者單位 浙江省寧波市奉化市錦屏中學）

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