非對(duì)稱p-Laplacian Dirichlet問題的非平凡解

胡玉玲,裴瑞昌

(天水師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)科學(xué)學(xué)院,甘肅天水741001)

非對(duì)稱p-Laplacian Dirichlet問題的非平凡解

胡玉玲,裴瑞昌

(天水師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)科學(xué)學(xué)院,甘肅天水741001)

研究了一類非對(duì)稱的p-Laplacian(p>1)Dirichlet問題.在正半軸不需要假設(shè)Ambrosetti-Rabinowitz的超二次條件下,利用山路定理建立非平凡解的存在性結(jié)果.

山路理論;漸近線性;超線性;Dirichlet問題;單側(cè)共振

1 引言

考慮下述p-Laplacian(p>1)Dirichlet問題:

(H1)存在q∈(p,p?)及A,B>0,使得成立,其中

(H2)

對(duì)a.e.x∈?一致成立,這里f0∈[0,+∞);

(H3)

眾所周知,問題(1.1)的非平凡解等價(jià)于C1-能量泛函:

的非零臨界點(diǎn).尋求泛函I的臨界點(diǎn)的主要工具是山路理論[15].應(yīng)用這個(gè)理論于(1.2)式中的泛函I,通常不得不假設(shè)另一個(gè)技巧條件[1],那就是,對(duì)某個(gè)θ>0及M>0,

條件(AR)在驗(yàn)證泛函I有山路幾何結(jié)構(gòu)和(PS)c序列有界的過程中起著非常重要的作用.

通過簡(jiǎn)單的計(jì)算,易知條件(AR)推出:

那就是,f(x,t)關(guān)于|t|p?2t在無窮遠(yuǎn)處是超線性的.

易知在條件(H3)和(H4)下,Ambrosetti-Rabinowitz-型條件(AR)不再成立.近年來, Costa和Magalh?aes[67]運(yùn)用下述條件代替條件(AR)考慮了問題(1.1):

及

其中

及

于是,文獻(xiàn)[8]提出這樣一個(gè)問題:如果不再成立,問題(1.1)仍然有一個(gè)非平凡解?通過考慮漸近線性問題,在文獻(xiàn)[8-9]中給出肯定的回答.那就是:非線性項(xiàng)f(x,t)注意到在正無窮遠(yuǎn)處是漸近線性的.關(guān)于f(x,t),也給出兩個(gè)例子:一個(gè)滿足他們的條件(f1)-(f3),但不滿足另一個(gè)滿足所有條件(f1)-(f3)和事實(shí)上,就這個(gè)問題自身而言,如果人們想用山路理論尋求泛函I的臨界點(diǎn),在驗(yàn)證泛函I滿足(PS)條件時(shí),會(huì)遇到一定的困難,但是,他們巧妙利用一個(gè)變形后的山路理論來克服它.關(guān)于f(x,t),通過介紹其他的條件,一些存在性結(jié)果也被獲得,見文獻(xiàn)[10-12].

自然會(huì)問:當(dāng)非線性項(xiàng)f(x,t)在正無窮遠(yuǎn)處是超線性的而在負(fù)無窮遠(yuǎn)處是漸近線性情形,像條件(H3)和(H4),泛函I有沒有非平凡的臨界點(diǎn)?特別地,當(dāng)非線性項(xiàng)f(x,t)在負(fù)無窮遠(yuǎn)處發(fā)生共振而在正無窮遠(yuǎn)處是超線性情形,泛函I有沒有非平凡的臨界點(diǎn)?這些問題是很有趣的,就目前為止,這些問題很少被別人考慮.由于它們既不是超線性問題也不是漸近線性問題,我們定義它們?yōu)榛旌暇€性問題.本文的主要目標(biāo)是運(yùn)用山路理論及變形后的山路理論[10]肯定回答上述問題.

2 主要結(jié)果及引理

讓?duì)?是的第一特征值,是λ1的特征函數(shù).上的范數(shù),用上的范數(shù).相應(yīng)地,

定理2.1假設(shè)(H1)-(H4)成立,且f0<λ1

附注2.2鑒于條件(H3)和(H4),問題(1.1)被稱作混合線性問題.所以,定理2.1是完全不同于文獻(xiàn)[8-9,13-14]中所得到的結(jié)果.

定理2.3假設(shè)t→?∞則問題(1.1)至少有一個(gè)非平凡解.

附注2.4當(dāng)l=λ1,問題(1.1)被稱作負(fù)無窮遠(yuǎn)處共振.這種情形是新的,完全不同于文獻(xiàn)[15-16]的結(jié)果.在此,給出一個(gè)關(guān)于非線性項(xiàng)f(x,t)的例子,它滿足條件(H1)-(H4):定義

這里g(t)∈C(R),g(0)=0;g(t)≥0,t∈R.此外,存在t0>0使得g(t)≡λ1,|t|≥t0.

命題2.5(文獻(xiàn)[10],定理1)讓E是實(shí)的Banach空間,假設(shè)I∈C1(E,R)滿足

其中α<β,ρ>0及u1∈E,且||u1||>ρ.讓c≥β被定義為:

這里Γ={γ∈C([0,1],E),γ(0)=0,γ(1)=u1}是連接0和u1的所有道路的集合.則,存在一個(gè)序列{un}?E,使得

引理2.6讓?duì)?>0是λ1的特征函數(shù),∥φ1∥=1及(H1)-(H4)成立,如果f0<λ1.則:

(ii)如果l∈(λ1,+∞),則I(tφ1)→?∞,t→+∞.

證明由條件(H1)-(H4),若l∈(λ1,+∞),則對(duì)任意ε>0,存在A1=A1(ε),B1=B1(ε)使得對(duì)所有(x,s)∈?×R及對(duì)某個(gè)q∈(p,p?),N>p;對(duì)某個(gè)q∈(p,+∞),1≤N≤p,

選擇ε>0,使得(f0+ε)<λ1.運(yùn)用(2.1)式,Poincar′e不等式及Sobolev不等式:|u|qq≤K||u||q,有

于是,如果選擇||u||=ρ>0足夠小,(i)被證明.

另一方面,如果l∈(λ1,+∞),選擇ε>0使得l?ε>λ1并運(yùn)用(2.2),有

這樣(ii)已被證明.

3 定理的證明

定理2.1的證明根據(jù)引理2.6,山路理論的幾何條件成立.于是,只要驗(yàn)證(PS)條件[3]成立.讓是一個(gè)(PS)序列使得對(duì)每個(gè)n∈N,

其中c(c>0)是一個(gè)正的常數(shù),{εn}?R+是一個(gè)收斂于零的序列.根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)證法,為了證明{un}有一個(gè)收斂子列,不得不證明它是一個(gè)有界序列.為了證明其成立,使用反證法.假設(shè)存在一個(gè)子列{un},有||un||→+∞,n→∞.不失一般性地,可假設(shè)成立,定義顯然,||zn||=1,?n∈N,則可以抽取一個(gè)子列(記為{zn}),使得

在上式中取極限,結(jié)合(3.3)式,有

現(xiàn)在,證明z0(x)≤0對(duì)a.e.x∈?成立.在(3.7)式中選取v=z+0=max{z0,0},有

定理2.3的證明由于l=λ1,顯然,引理2.6的(i)成立.我們只要驗(yàn)證引理2.6的(ii)成立.讓u=?tφ1,則

很明顯,由(3.11)式推出:

一致于x∈?,推出

另一方面,由(3.12)式推出pI(un)?→pc,n→∞.這樣,

與(3.13)式相矛盾.因此,{un}有界.

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Nontrivial solutions for asymmetric p-Laplacian Dirichlet problem

Hu Yuling,Pei Ruichang

(College of Mathematical and Statistical Science,Tianshui Normal University,Tianshui741001,China)

A class of asymmetric p-Laplacian Dirichlet problem is studied.Without Ambrosetti-Rabinowitz′s super quadratic condition on the positive semiaxis,the existence of nontrivial solutions is established by using mountain pass theorem.

mountain pass theorem,asymptotically linear,superlinear,Dirichlet problem,one side resonance

O175.23

A

1008-5513(2014)01-0077-07

10.3969/j.issn.1008-5513.2014.01.012

2013-12-25.

國(guó)家自然科學(xué)基金(11101319).

胡玉玲(1974-),助教,研究方向：偏微分方程.

2010 MSC:35J35