關于整函數超級的進一步結果

丁杰,戚建明,朱泰英

(1.太原理工大學數學學院,山西太原030024;2.上海電機學院數理教學部上海201306)

關于整函數超級的進一步結果

丁杰1,戚建明2,朱泰英2

(1.太原理工大學數學學院,山西太原030024;2.上海電機學院數理教學部上海201306)

運用正規族理論研究了整函數與其高階導數分擔無窮級函數增長級與超級的相關結果.從亞純函數超級大于零而使球面導數無界的角度出發,然后綜合運用Pang-Zaclman引理,數學歸納法和Nevanlinna理論等方法證明了該結果,推廣和改進了已有的結果.

亞純函數;正規族;增長級;超級

1 引言與主要結果

設C為整個復平面.設D為C上的一區域并且F為D上的一族亞純函數.如果F在D上正規,以Montel的定義,當且僅當任給{fn}?F,有一子序列{fnj}在D上按球面距離局部一致收斂于一亞純函數或者∞(見文獻[1-2]).

設f(z)和g(z)為復平面C上的兩個非常數的亞純函數并且設P(z)為一函數或者一有窮復數.如果f(z)?P(z)=0能推出g(z)?P(z)=0,記f(z)=P(z)?g(z)=P(z).如果f(z)=P(z)?g(z)=P(z)且g(z)=P(z)?f(z)=P(z),記f(z)=P(z)?g(z)=P(z)并且稱f(z)和g(z)分擔P(z)IM(不計重數).如果f(z)?P(z)和g(z)?P(z)有相同的零點和相同的重數,記f(z)=P(z)?g(z)=P(z),并且稱f(z)和g(z)分擔P(z)CM(計重數)(參見文獻[3]).另外,用符號ρ(f),σ(f)分別記函數f(z)的級和超級,這里

另外假定讀者熟悉Nevanlinna理論的標準記號.

1982年,文獻[4]研究了微分方程的解并且得到如下的結果:

定理A設A(z)為一次數為n的非常數的多項式,并且設=0兩個線性無關的解.則至少f1和f2中的某一個的零點收斂指數為

此后,微分方程解的級和超級成為很多學者研究的熱點問題[5-6].

2008年,文獻[7]得到了如下結果:

定理B設Q1和Q2為兩個非零多項式,并且設P為一多項式.如果f是下面方程的一非常數解:

則σ(f)=n,這里n記為P的次數.

眾所周知微分方程與亞純函數分擔值問題密切相關,因此在亞純函數分擔值的問題下研究亞純函數級與超級的關系應該是比較有趣的問題.

2009年,文獻[8]得到如下結果:

定理C設f為一非常數的亞純函數,有有窮多個極點,并且設Q1,Q2(?=Q1)為兩多項式.如果

f(z)=Q1?f′(z)=Q1且f(z)=Q2?f′(z)=Q2,

則f是有窮級.

從定理C看出f和f′分擔有窮級函數.自然的問可否分擔無窮級函數?

最近,文獻[9]研究了如上的問題得到了如下結果:

定理D設Q1?=0和Q2為兩個不同的多項式,設f,γ為兩個整函數.如果

f(z)=α(z)?f′(z)=α(z)且f(z)=β(z)?f′(z)=β(z),

這里α=Q1eγ,β=Q2eγ,并且α?α′或者β?α′有至多有限多個零點,則σ(f)≤σ(α)=ρ(γ).

在定理D中,可否研究更高階的導數f(k)?

研究這個問題并得到如下結果:

定理1.1設Q1?=0和Q2為兩個不同的多項式,設f,γ為兩個整函數.如果

f(z)=α(z)?f(k)(z)=α(z)且f(z)=β(z)?f′(z)=β(z),

且f?α的零點重數至少為k(k為一大于等于2的自然數),這里α=Q1eγ,β=Q2eγ,則σ(f)≤σ(α)=ρ(γ).

2 引理

為了證明本文的結果,需要如下引理.

著名的Pang-Zalcman引理是研究正規族的一個重要的工具,

引理2.1[10-11]設F為單位圓盤△上的一族亞純函數并且對每一個f∈F,所有零點的重數至少是k.假定存在一數A≥1滿足當任意的f∈F的零點z處有|f(k)(z)|≤A.如果F不在?上正規,則對0≤α≤k,存在:

1.一數r∈(0,1);2.一列復數zn,|zn|

注2.1在引理2.1中,特別地,g的級至多是2.而且取wn和ρn,有

這里,M是一與n無關的常數,一般情形,

是球形導數.對0≤α

引理2.2[9]設f為一超級為σ(f)>0的亞純函數.則對于任何σ>0,則存在一序列zn→∞(n→∞),滿足

3 定理的證明

證明記α=Q1eγ,因此σ(α)=ρ(γ).因此僅需得到σ(f)≤ρ(γ).運用反證法,假定σ(f)=d>c=ρ(γ).取H=f?α.則

(I)

H(z)=0?H(k)(z)=α(z)?α(k)(z);

(II)

H(z)=β(z)?α(z)?H′(z)=β(z)?α′(z).

記P=β?α有至多有限多個零點,則存在一正數r,滿足F在D={z:|z|>r}上無極點.

當n→∞時,wn→∞,不失一般性,假定對所有的n有|wn|≥r+1.定義:則每個Fn都在D1上解析且當n→∞時,F?n(0)→∞n→∞.由Marty′s定則得到(Fn)n不在z=0處正規.

因此,運用引理2.1,選擇一合適的子序列(Fn)n,假定存在序列(zn)n和(ρn)n,并且, |zn|

這里M為一正數.

由(1)式有

記P=α?β=Qeγ,這里Q=Q1?Q2是一非零多項式,

從級的定義看出:

從(4)式和(5)式,得到

當n充分大時,有

運用數學歸納法,上面已經證明(7)式對k=1成立,假設當k=s時,(7)式成立,即令

成立.下證結論對k=s+1成立.

從(8)式有

類似于(4)式和(5)式,得到

由此即得(8)式成立.

斷言

(1)g(ζ)=0?g(k)(ζ)=0且

(2)g(ζ)=1?g′(ζ)=0.

假定g(ζ0)=0,則由Hurwitz′s定理這里存在ζn,ζn→ζ0,有(對n充分大)

由假設(I),有

經簡單計算得到

這里P(Q,γ)是關于的微分多項式,類似于(4)式,有

則

因此

(1)得證.類似地,可以證明(2).證明了斷言.由斷言(1)知道g(ζ)的零點重數至少是k+1,由斷言(2)知道g(ζ)?1的零點重數至少是2.

運用Nevanlinna第二基本定理,得到

矛盾.

因此σ(f)≤ρ(γ).定理1.1的證明完成了.

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Further results about hyper order of entire functions

Ding Jie1,Qi Jianming2,Zhu Taiying2

(1.Department of Mathematics,Taiyuan University of Technology,Taiyuan030024,China;2.Department of Mathematics and Physics,Shanghai Dianji University,Shanghai201306,China)

In this paper,by means of the normal family theory,we study the growth order and hyper order of some entire functions that share in fi nite order functions with their derivative of higher order.We start from the hyper order whose greater than zero,it leads to spherical derivative unbounded,using the Pang-Zaclman Lemma, mathematical induction and Nevanlinna theory,we prove our result.This result improves and generalizes the obtained results.

meromorphic function,normal family,growth order,hyper order

O174.5

A

1008-5513(2014)01-0021-06

10.3969/j.issn.1008-5513.2014.01.004

2013-12-11.

山西省回國留學人員科研資助項目(2013-045);國家自然科學基金天元青年基金(11326083);

上海市教育委員會科研創新項目(14YZ164);上海市教育委員會青年教師培養資助計劃(ZZSDJ12020);上海電機學院重點培育學科(13XKJC01).

丁杰(1986-),博士,講師,研究方向:復分析.

2010 MSC:30D35