Schur 定理的推廣

姚裕豐

(上海海事大學數學系,上海201306)

Schur 定理的推廣

姚裕豐

(上海海事大學數學系,上海201306)

通過計算及歸納的方法,得到了n×n矩陣代數中極大線性無關的反交換2-冪零矩陣的個數,推廣了相關文獻中的一般線性李代數gl(n)的交換子代數的最大維數這一結論.

反交換矩陣對;2-冪零矩陣;線性無關

1 引言及主要結果

1905年,文獻[1]證明了n×n復矩陣代數中極大線性無關的交換矩陣的個數是這里[c]表示不超過c的最大整數,此結論稱為Schur定理.之后,文獻[2-3]給出了Schur定理更為簡潔的證明,并且把基域推廣到任意的域(不一定是特征零，也不一定代數閉).文獻[4-5]中給出了一些特殊的李代數中極大交換子代數的維數.文獻[6]確定了一般線性李超代數gl(1,n)的不可分解的交換子代數的最大維數.本文推廣了Schur定理,得到如下主要結果:

定理1.1設F是一個域,Mn×n(F)是F上的n×n矩陣代數.則Mn×n(F)中極大線性無關的反交換2-冪零矩陣的個數是

2 預備知識

本文總假設F是一個域,V是F上n維向量空間.記Mn×n(F)為F上n×n矩陣代數,Un×n(F)為F上嚴格上三角n×n矩陣全體,EndF(V)為V上全體F-線性變換.眾所周知,若取定V的一組基,則可將Mn×n(F)與EndF(V)等同起來.對于1≤i≤n,1≤j≤n,令eij為一n×n矩陣,它的第i行第j列為1,其余位置均為0.對于任一有理數c,用[c]表示不超過c的最大整數.

定義2.1(1)矩陣A∈Mn×n(F)(線性變換A∈EndF(V))可以稱之為冪零矩陣(線性變換),如果存在充分大的自然數m使得Am=0(Am=0).

(2)矩陣A∈Mn×n(F)(線性變換A∈EndF(V))可以稱之為2-冪零矩陣(線性變換),如果A2=0(A2=0).

(3)矩陣A,B∈Mn×n(F)(線性變換A,B∈EndF(V))可以稱之為互相反交換,如果AB=?BA(AB=?BA).

注記2.1矩陣A∈Mn×n(F)(線性變換A∈EndF(V))是冪零矩陣(線性變換)當且僅當An=0(An=0).

引理2.1設V是F上n維線性空間,S?EndF(V),且滿足以下條件:

則存在非零v∈V使得Av=0,?A∈S.

證明注意到EndF(V)是有限維,取S中一組極大線性無關組{A1,···,Al}.由于An1=0,

從而存在非零v1∈V使得A1v1=0.設

從而V1在A2的作用下不變.又An2=0,故存在非零v2∈V1使得A2v2=0.

一般地,

Vi:={w∈V|Ajw=0,?1≤j≤i}?=0,

且從而Vi在Ai+1的作用下不變.而=0,故

根據以上構造,取非零的v∈Vl,則Aiv=0,?i=1,···,l.從而,Av=0,?A∈S.

下面的結論是引理2.1的直接推論.

推論2.1設S?Mn×n(F),且滿足以下條件:

則存在可逆的n×n矩陣P使得P?1SP?Un×n(F).

證明記Ξ為S生成的Mn×n(F)的子代數.由引理2.1知,不可約Ξ-模都是平凡的.考慮V作為Ξ-模的合成列: V=V(0)?V(1)?V(2)···?V(n?1)?V(n)=0.

則dimFV(i)=n?i,每個單因子Vi/Vi+1均為平凡的Ξ-模,0≤i≤n?1,從而存在V的一組基v1,···,vn使得

Av1=0,Avi+1∈spanF{v1,···,vi},?A∈Ξ,1≤i≤n?1.

即存在可逆n×n矩陣P使得P?1SP?Un×n(F).

引理2.2設S?Mn×n(F),W是S生成的Mn×n(F)的子空間.則S中的矩陣為反交換的2-冪零矩陣當且僅當W中的矩陣為反交換的2-冪零矩陣.

證明充分性是顯然的.下證必要性.

設S中的矩陣為反交換的2-冪零矩陣.取S中的一組極大線性無關組{A1,···,As}.對于任意的k1,···,ks,l1,···,ls∈F,

特別地,

因此,W中的矩陣也為反交換的2-冪零矩陣.

3 定理的證明

對n用數學歸納法.n=1是平凡的情況.假設定理對(n?1)成立,接下來證明該定理對n也成立.用反證法.設S?Mn×n(F),且

AB=?BA,A2=B2=0,?A,B∈S,且A?=B.

由于

從而

不失一般性,可設B1,···,Br線性無關.則對于任意滿足的自然數i,存.令

其中Ei是1×n矩陣,0(n?1)×n是(n?1)×n零矩陣.顯然線性無關.

另一方面,由于P?1SP?Un×n(F),則存在(n?1)×(n?1)矩陣以及1×n矩陣使得

由于

從而

其中Fi是n×1矩陣,0n×(n?1)是n×(n?1)零矩陣.顯然Fr′+1,···,線性無關.

由引理2.2以及(2),(3),(5),(6)式知,

令

因此,根據(1),(4),(9)式得到:

情形1n=2m是偶數.

此時,(10)式變為

2m≥2(m2?m(m?1))+2=2m+2,

矛盾.

情形2n=2m+1是奇數.

此時,(10)式變為

2m+1≥2(m(m+1)?m2)+2=2m+2,

矛盾.

以上矛盾表明Mn×n(F)中極大線性無關的反交換2-冪零矩陣的個數不超過注意到

是Mn×n(F)中線性無關的反交換2-冪零矩陣族,且Card定理得證.

[1]Schur I.Zur theorie der vertauschbaren matrizen[J].J.Reine Angew.Math.,1905,130:66-76.

[2]Jacobson N.Schur′s theorems on commutative matrices[J].Bull.Amer.Math.Soc.,1944,50:431-436.

[3]Mirzakhani M.A simple proof of a theorem of Schur[J].Amer.Math.Monthly,1998,105:260-262.

[4]Burde D．On a re fi nement of Ado′s theorem[J]．Arch.Math.,1998,70:118-127．

[5]Burde D,Moens W．Minimal faithful representation of reductive Lie algebras[J]．Arch.Math.,2008,89: 513-523．

[6]王淑娟,劉文德．一般線性李超代數gl(1,n)的交換子代數的最大維數[J].黑龍江大學自然科學學報,2012, 29(4):452-454．

A generalization of Schur′s theorem

Yao Yufeng

(Department of Mathematics,Shanghai Maritime University,Shanghai201306,China)

With the aid of computation and induction,the maximal number of linearly independent anticommutative 2-nilpotent matrices of order n is obtained.This result generalizes result in the related literature, where the maximal dimension of commutative subalgebras in the general linear Lie algebra gl(n)was determined.

anti-commuting pairs of matrices,2-nilpotent matrices,linearly independent

O151.21

A

1008-5513(2014)01-0001-06

10.3969/j.issn.1008-5513.2014.01.001

2013-12-17.

國家自然科學基金(11201293,71171129);上海市教委科研創新基金(13YZ077);上海市科委地方院校能力建設項目(12510501600).

姚裕豐(1982-),博士,副教授,研究方向：李理論及表示理論.

2010 MSC:15A12,15A04