一種基于二階錐規劃的浮點分數時延濾波器

劉 鑫， 孫大軍， 滕婷婷， 張 宇

(哈爾濱工程大學 水聲技術重點實驗室，黑龍江 哈爾濱 150001)

一種基于二階錐規劃的浮點分數時延濾波器

劉 鑫， 孫大軍， 滕婷婷， 張 宇

(哈爾濱工程大學 水聲技術重點實驗室，黑龍江 哈爾濱 150001)

寬帶圖像聲納通常采用分數時延濾波器來提高時延精度。傳統的分數時延濾波器基本采用Fa-rrow定點結構，但其動態范圍窄并且需要占用較多的硬件資源。為克服上述不足，提出了一種采用二階錐規劃(SOCP)算法進行分數時延濾波器系數設計，并以分布式算法為基礎的浮點分布式時延濾波器。該濾波器具有計算精度高、動態范圍大等優點，適于在FPGA上進行規模化應用。

分數時延濾波器； 二階錐規劃； 浮點運算

0 引 言

寬帶圖像聲納的波束形成可采用時域處理方式，為了解決時域波束形成中的精確時延問題，人們提出很多方法，如過密采樣法、時域內插法[1]、頻域加權法[2]等。但這些方法均具有較大的缺陷，如數據量過大或時延精度不高等。而分數時延濾波器[3～6]由于時延精度較高且實現相對簡單，被廣泛應用在數字通信、語音處理、寬帶雷達波束形成中。

在工程實現方面，Farrow C W于1988年提出的經典Farrow分數時延濾波器結構[7]。該濾波器無需對每個時延值單獨存儲濾波器系數，只要改變輸入時延量就可改變整個濾波器的時延值。Pun C K S等人針對Farrow濾波器結構的乘法器、加法器個數進行了優化，通過將濾波器系數表達為多項式和的形式，利用簡單移位加法來替代硬件乘法器[8],該方法是目前使用較廣泛的分數時延濾波器工程實現方法。但對于寬帶圖像聲納的多通道高速時延需求來說，其FPGA資源占用仍然過多，因此，進一步研究適合寬帶波束形成的分數時延濾波器實現結構是很有必要的。

1 二階錐規劃系數設計

二階錐規劃(SOCP)是非線性凸優化，線性規劃、凸二次規劃都屬于二階錐問題的特例，它解決某線性函數在仿射集與二階錐空間的交集上達到最小化的問題。SOCP問題常表述為下式

minimizefTx,

(1)

(2)

式(1)稱為目標函數，其中，x∈Cn是優化變量，問題參數為f∈Cn，Ai∈C(ni-1)×n，bi∈Cni-1，ci∈Cn，di∈R。其中,C為復數集，R為實數集。式中的范數‖·‖為標準歐幾里得范數，即‖u‖=(uTu)1/2。由滿足二階錐約束的點集構成了單位二階錐通過仿射映射形成的反向圖像，因此,有

(3)

式中lni為復空間的ni維二階錐。因此,若能將約束函數寫為式(2)所示，就可以將其轉換為SOCP問題，并通過Matlab的二階錐工具箱SeDuMi或CVX等進行求解。

若分數時延濾波器階數為L，采樣頻率為fs，關注的離散歸一化頻率范圍為f=[fL∶Δf∶fH]/fs，設分數時延為p=τ/fs，其中，τ∈[-0.5,0.5],則分數時延對應的復頻率響應為

Hτ(f)=e-j2πfτ.

(4)

若加上L階FIR濾波器的固有時延，則期望的理想時延濾波器復頻率響應為

Hd(f)=e-j2πf((L-1)/2+τ).

(5)

設FIR時延濾波器具有沖擊響應h=[h(0),h(1),…,h(L)]T，則濾波器的復頻率響應可表示為

(6)

其中，e(f)=[1,ej2πf,…，ej2πLf]T，H(f)為(L+1)×1維向量,則期望的復頻率響應與理想復頻率響應的差ε為

ε=‖Hd(f)-H(f)‖2.

(7)

因此，時延濾波器系數的設計變化為尋找一組沖擊響應h，使設計頻率響應誤差與理想頻率響應誤差的L2范數，即均方誤差達到最小。設誤差加權系數λk對濾波器K各個頻點進行加權，則有

(8)

于是，在均方誤差達到最小的準則下，時延濾波器系數設計可以轉化為優化問題

(9)

令εk≥0，且k=1,2,…，K，上式可表示為

subject to |Hd(fk)-eTh|2≤εk,k=1,2,…,K,

(10)

|Hd(fk)-eTh|2≤εk?|2Hd(fk)-2eTh|2≤4εk?

(11)

(12)

若圖像聲納A/D芯片的采樣率fs=200 kHz，歸一化工作頻帶為f∈[0.05,0.2]，時延范圍p∈[-0.5,0.5]，通過使用Matlab的二階錐工具箱CVX求解濾波器階數L分別為5,7,9,11下的頻率響應誤差，如圖1所示。

圖1 二階錐L=5,7,9,11時的頻率響應誤差Fig 1 Frequency response error designed by SOCP(L=5,7,9,11)

由上圖可見，采用SOCP方法設計的分數時延濾波器系數可以以較小的階數在關注頻帶內達到較理想的時延結果：當L=5,7,9,11時的最大頻響誤差分為-50，-71，-91,-111 dB。但缺點是需要針對每個時延量產生濾波器響應的系數，需要占據一定的存儲空間。

2 浮點分布式時延濾波器實現結構

圖2 浮點分布式濾波器結構L=5Fig 2 Structure of float-point distributed filter(L=5)

輸入的浮點數據進入輸入處理模塊后被分解為指數E與尾數M兩部分,其中尾數長度為24，指數長度為8。在通過移位寄存器緩存后，各個輸入數據的指數會進行比較，輸出最大指數并給出指數調整值，右移模塊FSR會根據該調整值對尾數M進行移位。由于未采用時間優化算法，因此,分布式輸出模塊中只有一個ROM，它每次輸出1個浮點分布式結果，將分布式結果相加就可以得到完整的濾波結果。

3 系統測試

為測試浮點分布式時延濾波器的計算精度與動態范圍，特設計了蒙特—卡洛浮點隨機數實驗。輸入時延量p∈[-0.5,0.5]，步長Δp=0.01，每個p值對應產生N=10 000點隨機測試數據，其數據幅度為data∈[-2L-1,2L-1-1]，L=1,…,32 bits。將浮點分布式時延濾波器輸出結果res與Matlab的雙精度運算結果Matlab_res進行歸一化均方根誤差統計，其計算公式為

(14)

通過對5階和7階浮點分布式時延濾波器的測試，得到如圖3所示的濾波器歸一化均方根誤差圖。

圖3 浮點分布式時延濾波器歸一化均方根誤差，L=5,7Fig 3 NRMSE of fractional distributed time-delay filter when L=5,7

可以看出，濾波器階數對計算誤差的影響不大，采用浮點運算可以在整個輸入范圍內得到小于-140 dB的計算誤差，在輸入數據寬度有效值超過3 bits后其誤差約為-150 dB，反映出浮點運算在計算精度與動態范圍等方面的優勢。

4 結 論

本文對分數時延濾波器的系數設計方法進行了討論。通過分析可見，采用SOCP的設計方法后，可以對關注頻帶進行精確設定，并用較小濾波器階數實現較理想的時延效果。雖然需要針對不同的時延量計算不同的系數，但其濾波器實現結構更為簡單。針對傳統時延濾波器的缺點，借鑒定點分布式算法，本文提出并設計了浮點分布式時延濾波器，并對計算誤差進行了仿真研究。結果表明：該浮點分布式時延濾波器與SOCP設計的系數相配合，取得了較高的計算精度和較大的動態范圍，具有一定實用價值。

[1] Quazi A.An overview on the time delay estimate in active and passive systems for target localization[J].IEEE Transactions on Acoustics,Speech and Signal Processing,1981,29(3):527-533.

[2] Pridham R G,Mucci R A.Digital interpolation beamforming for low-pass and bandpass signals[J].Proceedings of the IEEE,1979,67(6):904-919.

[3] 范占春,李會勇,何子述.基于分數時延的寬帶數字陣列波束形成[J].雷達科學與技術,2009,6(6):450-453.

[4] 范占春.寬帶數字陣數字時延及移相技術研究[D].成都：電子科技大學,2008.

[5] 劉張林.基于分數時延的寬帶數字波束形成技術[J].現代電子技術,2013,36(5):24-26.

[6] 胡永君,陳文俊.基于分數時延濾波器的寬帶數字信號時延的實現[J].雷達與對抗,2010,30(2):37-40.

[7] Farrow C W.A continuously variable digital delay element[C]∥IEEE International Symposium on Circuits and Systems,IEEE,1988:2641-2645.

[8] Pun C K S,Wu Y C,Chan S C,et al.On the design and efficient implementation of the Farrow structure[J].IEEE Signal Proce-ssing Letters,2003,10(7):189-192.

A floating-point fractional time-delay filter based on SOCP

LIU Xin, SUN Da-jun, TENG Ting-ting, ZHANG Yu

(1.Science and Technology on Underwater Acoustic Laboratory,Harbin Engineering University,Harbin 150001,China)

Fractional time-delay filter is the common implementation to promote time-delay precision of broadband sonar.Traditional fixed-point Farrow structure filter has narrow frequency band and requires more hardware resources.A kind of floating-point distributed time-delay filter based on SOCP is raised to overcome these shortages.It has advantages of high precision,wide dynamic range and more suitable for FPGA applications.

fraction time-delay filter; SOCP; floating-point processing

10.13873/J.1000—9787(2014)12—0101—03

2014—04—25

TN 911.7

A

1000—9787(2014)12—0101—03

劉 鑫(1981-)，男，黑龍江哈爾濱人，博士研究生，講師，主要研究方向為圖像聲納技術、FPGA數字信號處理等。