一類混沌系統的輸入狀態穩定控制器設計

范永青, 劉 瑾

(西安郵電大學 自動化學院, 陜西 西安 710121)

一類混沌系統的輸入狀態穩定控制器設計

范永青, 劉 瑾

(西安郵電大學 自動化學院, 陜西 西安 710121)

針對一類混沌系統中平衡點不穩定的問題，提出一種新型自適應控制器的設計方法。該方法基于輸入到狀態穩定性理論及小增益定理，采用線性反饋控制與非線性自適應控制相結合的設計思想，在所設計線性反饋增益滿足一定取值條件，且非線性控制器部分中的參數滿足所設計的自適應律時，使得一類混沌系統的所有平衡點快速實現全局漸進穩定。算例數值仿真驗證了該設計方法的有效性。

混沌系統；自適應控制；輸入狀態穩定；全局漸進穩定

混沌現象廣泛存在于許多實際工程系統中[1]。近年來，如何控制或利用混沌現象已經成為非線性系統研究的一個熱點[2]。由于混沌系統對系統的初始值具有較強的敏感性[3]，因此，如何控制混沌系統平衡點的穩定性是一個值得研究的問題?；煦缦到y可看作是非線性系統的一種特例，對混沌系統控制亦可借鑒非線性系統的控制方法去研究。當考慮非線性系統的全局性質時，系統的輸入-輸出穩定優于系統的Lyapunov穩定，所以系統的有界輸入-有界輸出和系統的輸入-狀態穩定(Input-to-state stability，ISS)十分相似[4-5]。有關非線性系統輸入-狀態穩定的研究受到了眾多學者的青睞，并涌現出大量的科研成果[6-11]。這些成果為具有混沌現象的非線性系統穩定性研究提供了新的思路與方法。

由于ISS系統本身具有一個特征，即當不考慮系統的初始狀態時，只要輸入量小，那么系統的狀態最終必定是小的[4]。根據這一特征，得出ISS系統是全局漸進穩定的結論。如果采用ISS系統的控制器設計思想，對混沌系統的平衡點設計使其穩定的控制器，則混沌系統的平衡點鎮定問題就不會因為初始值的敏感而影響控制器的設計。

鑒于以上分析ISS系統的優點，本文采用ISS控制器設計方法，對一類混沌系統的平衡點全局穩定性問題，基于輸入到狀態穩定和小增益定理，提出一種簡單的反饋自適應控制器設計方法。

1 問題概述

設非線性動力系統

(1)

其中x∈n為系統的狀態變量，u∈m為控制輸入，且u:[0,∞)→m為分段連續有界函數，其范數為

‖x(t)‖≤

max{β(‖x0‖,t),γ(‖u(·)‖∞)},

(2)

則式(1)是輸入狀態穩定的，函數γ(·)稱為增益函數。

(3)

‖x‖≥χ(‖u‖)?

(4)

成立，則稱V(·)為式(1)的一個ISS-Lyapunov函數。

‖x(·)‖∞≤

max{γ0(‖x0‖),γ(‖u(·)‖∞)},

(5)

(6)

定理2(小增益定理)[12]如果γ1(γ2(r))0都成立，則把x=(x1,x2)看作狀態變量，把u看作輸入變量時，式(1)是ISS穩定的。

考慮混沌系統為

(7)

其中a>0,b>0,c>0為控制參數，式(7)有5個平衡點，分別為

E0=(0,0,0),

(8)

對式(7)實施控制作用，經過坐標變換后為

(9)

由此設計的自適應控制器u=(u1,u2,u3)T,可使式(7)在平衡點是全局漸進穩定。

2 ISS控制器設計

設計控制器

(10)

其中

參數k1,k2為待設計的參數。參數調節律為

(11)

其中λ>0，且

(12)

參數θ,λ,δ,ε為設計的正實數。

針對式(7)的平衡點不穩定問題，給出主要結論及證明。

定理3 在控制器式(10)和自適應律式(11)、式(12)的控制作用下，當假設1成立且控制增益參數滿足

存在足夠小的正數σ滿足條件

c1=c-2σ,

則式(9)在原點是全局漸進穩定的。

證明 針對控制任務，分兩種情形。

‖。

容易驗證此情形滿足s>0。考慮關于s的正定函數

采用開環控制，則V沿式(9)的軌道導數為

(13)

由定理3，則成立不等式

(14)

式(14)意味著式(9)的狀態能夠在有限時間內到達曲面s=0[13]。

(15)

(16)

(17)

V1沿式(16)的導數為

(18)

則有不等式

(19)

由式(18)和式(19)可知

(20)

若控制增益參數滿足

則可以找到足夠小的正數σ，對于某一正數μ，滿足不等式

(21)

由式(20)和式(21)可知，成立不等式

(22)

K∞函數取為

α(r)=μr2,

考慮第二個子系統

(23)

(24)

式(24)沿式(23)的導數為

(25)

由自適應律式(11)和式(12)可知，成立不等式

(26)

因為有不等式

成立時，則有不等式

(27)

(28)

由不等式式(26)，式(28)可得

(29)

記c1=c-2σ，因為

(30)

由式(29)和式(30)，可得

(31)

在式(31)中，由定理3中的條件

則有

(32)

取K∞函數為

由式(6)可知，增益函數的復合函數為

(33)

從式(33)中可以看出，增益函數的復合函數是一個壓縮映射，因此式(15)是ISS穩定的, 其原點是全局漸進穩定的。

3 仿真算例

對受控系統式(9)，由定理3中的控制增益k1，k2參數需要滿足的取值條件，取參數

k1=-40,k2=-25,

系統的初始狀態為

自適應參數初始值取為

自適應律式(11)，式(12)中的參數為

θ=20,λ=200,

δ=0.05,ε=0.001。

根據系統的參數取兩組值分別討論其平衡點的穩定性。

實驗1 令式(9)中的參數取值為

a=4.5, b=12, c=5。

系統的5個平衡點分別為

對平衡點實施控制時，系統狀態的變化情況分別如圖1至圖5所示。

實驗2 令式(9)中的參數取值為

a=0.4, b=12, c=5。

系統的5個平衡點分別為

對平衡點實施控制時，系統狀態的變化情況分別如圖6至圖10所示。

從參數取兩組情形的仿真結果可以看出，系統的所有平衡點可以在自適應控制器式(10)、式(11)和式 (12)的控制作用下，很好地到達穩定狀態，且控制器中自適應參數是一致有界的。

圖1 平衡點的狀態響應與自適應律的時間響應

圖2 平衡點的狀態響應與自適應律的時間響應

圖3 平衡點的狀態響應與自適應律的時間響應

圖4 平衡點的狀態響應與自適應律的時間響應

圖5 平衡點的狀態響應與自適應律的時間響應

圖6 平衡點的狀態響應與自適應律的時間響應

圖7 平衡點的狀態響應與自適應律的時間響應

圖8 平衡點的狀態響應與自適應律的時間響應

圖9 平衡點的狀態響應與自適應律的時間響應

圖10 平衡點的狀態響應與自適應律的時間響應

4 結論

研究了一類混沌系統的平衡點鎮定問題，利用ISS系統和小增益定理，提出一種狀態反饋自適應控制器設計方案，該設計方法避免了其它控制器設計中由于初值的敏感性所導致的控制器設計困難的問題。通過理論分析，證明了閉環系統中的所有信號都是全局穩定的。

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[責任編輯:祝劍]

Stabilization control design of input-to-state stability for a class of chaotic systems

FAN Yongqing, LIU Jin

(School of Automation, Xi’an University of Posts and Telecommunications, Xi’an 710121, China)

A new adaptive controller method is proposed for unstable equilibria of a class of chaotic systems. The method is designed by using linear feedback control combining with nonlinear adaptive control, and based on input-to-state stability and small-gain theorem. When the linear feedback control gain is satisfied at certain condition, and some parameters in the nonlinear control are satisfied with adaptive laws, the all equilibria are globally asymptotically stable by employing the proposed controller. The design and analysis are validated by numerical simulation.

chaotic system, adaptive control, ISS(Input-to-state stability), globally asymptotically stability

10.13682/j.issn.2095-6533.2014.06.017

2014-05-13

國家自然科學基金資助項目(61305098);陜西省教育廳科學研究計劃資助項目(2013JK0197,14JK1671);西安郵電大學青年教師科研基金資助項目(ZL2013-32)

范永青(1978-)，女，博士，講師，從事非線性系統控制研究。E-mail: fanyonqqing@xupt.edu.cn 劉瑾(1978-),女，碩士，講師，從事教育管理研究。E-mail:Liuj@xupt.edu.cn

TP273

A

2095-6533(2014)06-0086-06