基于變密度法的床鞍結構拓撲優化設計*

李珊珊，叢 明，王貴飛，周孜亮

(1.大連理工大學 機械工程學院，遼寧 大連 116023；2.大連機床集團有限責任公司，遼寧 大連 116620)

基于變密度法的床鞍結構拓撲優化設計*

李珊珊1，叢 明1，王貴飛1，周孜亮2

(1.大連理工大學 機械工程學院，遼寧 大連 116023；2.大連機床集團有限責任公司，遼寧 大連 116620)

以數控車床床鞍為研究對象，基于HyperMesh平臺構建床鞍的有限元模型后對其進行靜動態特性分析，得到了床鞍在靜態載荷下的變形云圖以及1階固有頻率和振型。根據研究分析結果對床鞍進行了基于變密度法的拓撲優化設計。針對優化后的床鞍空腔，采取不同類型的筋板單元進行填充。比較其質剛比，最終得出床鞍靜剛度最優的結構。文章的優化結果為改進床鞍的結構提供了理論依據，文章的分析思路和方法為其他機床床鞍的設計和生產提供了參考。

變密度法; 床鞍結構; 拓撲優化設計

0 引言

結構拓撲優化設計的主導思想是在給定的設計區域內尋求結構的材料最優分布，從而使結構的特性達到最好。對于連續體的結構拓撲優化，均勻法和變密度法這兩種研究方法相對較為成熟，應用也較為廣泛[1]。本文采用變密度法對數控車床床鞍進行拓撲優化，根據優化結果對床鞍原有結構進行改進。

床鞍是數控車床的關鍵零部件，床鞍的性能對數控車床整機的靜動態特性起著十分重要的作用[2]。本文首先通過結構有限元分析得到床鞍的靜動態特性，分析床鞍的原始設計方案是否合理并尋找出床鞍的薄弱環節。在此基礎上，運用變密度方法對床鞍進行了結構拓撲優化設計。針對優化后的床鞍空腔，采取四種不同類型的筋板單元進行填充，通過對比得出床鞍靜剛度最優的結構。設計后所得到的床鞍結構材料的分布為床鞍的設計制造提供切實有效的依據。本文提出了一種數控車床關鍵零部件的性能優化理論和結構優化設計方案，為其他機床關鍵零部件的設計和生產提供了參考。

1 床鞍有限元分析

利用有限元軟件建立床鞍的有限元模型，床鞍有限元模型的質量對床鞍的有限元分析速度和精度都有很大的影響。在建立數控車床床鞍有限元模型的過程中，需要協調床鞍的實際工況和理論分析效率之間的關系，在確保分析精度在可接受范圍的前提下提高求解效率。在此基礎上對床鞍結構進行有限元分析，并根據結果提出改進意見。

1.1 床鞍有限元模型的建立

根據數控車床的原始設計方案，在Pro/E軟件中建立數控車床的三維模型，如圖1所示。對床鞍的原始模型進行適當的簡化[3]。觀察床鞍結構，將床鞍移動至受力狀況最差的位置，即將數控車床尾架和床鞍移動到Z正方向的極限位置，刀塔和滑體移動到X負方向的極限位置。

圖1 數控車床三維模型

床鞍的拓撲優化在HyperMesh中完成，為了獲得材料合理分配的拓撲結構形狀，在外輪廓形狀不變的前提下將床鞍原始結構中的空腔填滿，如圖2所示，將處理后的結構作為拓撲優化的初始結構。

圖2 拓撲優化床鞍初始結構

將處理后的床鞍三維實體模型導入HyperMesh中，并采用六面體單元對床鞍進行網格劃分。床鞍的網格劃分結果如圖3所示。

圖3 床鞍網格劃分

1.2 床鞍邊界條件的建立

網格劃分工作完成后對床鞍施加載荷和約束，載荷除重力外都通過對滑體進行靜力分析求解獲得。約束的施加根據實際工況合理的選擇約束方式[4]。床鞍載荷和約束的具體施加形式如圖4所示。

圖4 床鞍載荷和約束

1.3 床鞍有限元分析結果

對床鞍進行靜力分析可以得到床鞍在極限工作環境下的變形情況，而模態分析的可以求出床鞍的各階固有頻率，校驗其是否有可能與數控車床的激振頻率發生共振[5]，分析床鞍有限元分析結果可以找到床鞍結構的的薄弱環節，并為后續的床鞍結構拓撲優化設計提供依據。經過HyperMesh分析后床鞍的變形和1階模態如圖5所示。

圖5 床鞍的變形及應力分布云圖

如圖5可知，床鞍整體的最大變形發生在床鞍左側導軌下部，大小約為0.033mm；床鞍整體的一階模態為173.4Hz。由轉速與頻率的關系n=60f，計算出1階固有頻率對應的轉速約為10404rmp，而本文中的數控車床的主軸轉速范圍為45～2300rmp，明顯小于1階固有頻率轉速，說明床鞍的動態特性良好，不會與激振頻率發生共振。

考慮對床鞍進行拓撲優化設計，在減小變形的同時減少床鞍質量[6]，在優化過程中要盡量保持較高的1階固有頻率。

2 基于拓撲優化重建床鞍結構

變密度法的思想是首先假定一種實際中不可能出現的材料單元，這種材料的密度可以在區間[0,1]內變化，然后直接定義出一個經驗公式來表達密度與彈性模量間假定的函數關系，以每個單元的密度為設計變量，將拓撲優化問題轉化為單元材料的最優分布問題。在優化過程中材料重新分布，從而達到改善力學性能的目的。

根據靜動態特性分析結果，本文考慮以減小床鞍的質量為目標函數，1階固有頻率和最大變形為約束條件，來對床鞍進行基于變密度法的拓撲優化，其模型為：

Find：

ρ(X)={ρ1,ρ2,…,ρn}T∈Ω

(1)

Minimize：

M=ρV

(2)

SubjectTo：

gj(X)j=1,…,m

hk(X)k=1,…,m

0≤ρii=1,…,n

式中，ρ(X)是設計變量即床鞍密度函數；M是目標函數即床鞍的質量函數；gj(X)和hk(X)是約束函數即床鞍1階固有頻率和最大變形函數。

2.1 設計空間的建立

由數控車床的結構可知，床鞍與其他零部件存在著一定的裝配關系，在拓撲優化的過程中，如果對床鞍整體進行拓撲優化，有可能導致床鞍與其他部件之間的裝配功能無法實現。所以在拓撲優化過程前，需按照各部件的實際裝配關系把床鞍的有限元模型劃分為設計空間與非設計空間兩部分，非設計空間的結構保持不變，而僅對設計空間的結構進行拓撲優化設計[7]。綜合考慮各種因素，確定的設計空間與非設計空間區域如圖6所示。

圖6 床鞍設計空間與非設計空間

圖6中灰色部分為設計空間，而黑色部分為非設計空間。另外在定義成員尺寸時也要十分注意，如果最小的成員尺寸過小會導致結構出現細小的結構，而最大的成員尺寸過大則會產生材料堆積[8]。為避免出現以上的情況本文添加了最小成員尺寸與最大成員尺寸，分別為單元平均尺寸(20mm)的3倍和6倍。

2.2 結構拓撲優化結果

在拓撲優化過程中，以減小床鞍的質量為目標變形為約束條件，以設計空間每個函數，以1階固有頻率和最大單元的密度為設計變量。得到床鞍的密度云圖如圖7a所示。黑色代表材料密度為0，此處材料可以考慮去除，灰色代表密度為1，此處材料保留，其他顏色代表材料密度在[0,1]范圍內變化。通過修改密度閥值切除密度值小于0.3的材料，可以得到的床鞍的拓撲結構如圖7b所示。

圖7 床鞍拓撲優化結果

從圖7b可以看出床鞍上側中部、左側中部的材料都可以去除，根據拓撲優化的結果改進床鞍的結構，可得到床鞍改進結構如圖8所示：

圖8 改進后床鞍結構

但要注意拓撲優化給出的是一種概念性的設計，在改進設計時，還要考慮機械加工性等因素。

3 基于結構化單元改進床鞍結構

如上文所述，床鞍是重要的支撐件，在設計過程中，為了減小振動，提高靜動剛度經常會在靜剛度較低的地方添加加強筋。

前文經過變密度法的拓撲優化，去除了床鞍結構中對床鞍靜動態特性影響不大的單元，得到了床鞍的優化結構?？紤]到床鞍材料集中去除會導致床鞍靜剛度降低，需在空腔內適當的加入筋板以提高其剛度等性能。

3.1 支撐件中不同的結構化單元

單元的類型和型式多種多樣，但單元結構特征總是有一定的相似性。可把支撐件的結構單元分為四類[9]。即箱體類單元、壁板類單元、加強筋類單元以及工藝類單元。觀察優化后床鞍，需要添加加強筋的結構部分可近似看做是壁板，則選用壁板類單元對其進行加強筋的添加。壁板類的結構單元歸納如表1所。

表1 壁板類單元結構

為得到具有較高動靜態特性的床鞍，在以上壁板類單元中選取四種常見單元，即#、X、米和工型單元筋板對經過密度法優化后的床鞍的空腔進行填充。具體結構如圖9所示(圖中依次為#、X、米和工型單元的床鞍)：

圖9 各類不同單元的床鞍

3.2 各類單元的床鞍的靜動態性能

將上文建立的四種不同單元類型的床鞍重新進行有限元分析，可得到床鞍的靜動態性能對比，如表2所示。

由表2可以看出各類床鞍的1階固有頻率均符合要求，工型單元的床鞍的靜剛度在四種單元中是最好的。其次依次為#、米、X型單元。#型單元和工型單元相比，由于工型單元筋板設置位置更合理，所以使床鞍的靜剛度更好些。而米型和X型單元相比，X型單元雖然可以大幅度節省材料，但因其設計區域內單個空腔的面積過大，在該空腔內并沒有起到明顯的提高剛度的效果。

4 結束語

本文建立了數控車床床鞍的有限元模型，對其進行了靜動態特性分析，并在此基礎上對床鞍進行了基于變密度法的拓撲優化。運用不同壁板類單元對優化后的床鞍進行有限元分析，得出工字形單元的床鞍靜態性能最好。對床鞍進行的拓撲優化的結果為改進床鞍提供了理論依據，而對產品進行的基于變密度法的拓撲優化的設計理念也為設計人員進行產品概念設計提供了思路和方法。

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(編輯 趙蓉)

Structural Topology Optimization Design for Bed Saddler Based on Variable Density Method

LI Shan-shan1, CONG Ming1, WANG Gui-fei1, ZHOU Zi-liang2

(1.School of Mechanical of Engineering，Dalian University of Technology，Dalian Liaoning 116023，China; 2. Dalian Machine Tool Group Corp.，Dalian Liaoning 116620，China)

The bed saddler of the NC lathe is taken as the object of study. The finite element model is established taking advantage of HyperMesh. The static and dynamic characters analysis are performed based on this model and the deformation, the first natural frequency and mode shape of bed saddler are laid out. The topology optimization of bed saddler based on variable density method is carried out. By taking different types of rib plate cells to fill out the optimized saddle cavity and comparing their mass ratio, the structure with optimal stiffness was obtained as a result finally. The optimization result of this paper makes a guide for the redesign of the bed saddler of NC lathe. The analysis process and methods provide a reference for the designing and manufacturing of similar bed saddler of machine tools.

variable density method; structure of bed saddler; topological optimum design

1001-2265(2014)04-0019-03

10.13462/j.cnki.mmtamt.2014.04.005

2013-08-27

國家"高檔數控機床與基礎制造裝備"科技重大專項課題(2011ZX04016-101)

李珊珊(1990—)，女，內蒙古呼倫貝爾人，大連理工大學碩士研究生，研究方向為結構有限元分析及優化，(E-mail)lishanshan_de@163.com。

TH114；TG65

A