p-E-凸集及其若干性質

劉衛鋒

(鄭州航空工業管理學院 數理系 河南 鄭州 450015)

p-E-凸集及其若干性質

劉衛鋒

(鄭州航空工業管理學院 數理系 河南 鄭州 450015)

在p-凸集和E-凸集概念基礎上，通過將p-凸集和E-凸集相結合，提出了一種廣義凸集——p-E-凸集,使得凸集、p-凸集和E-凸集成為它的特例，推廣了凸集的概念.最后，初步研究了p-E-凸集的性質.

凸集；p-E-凸集；p-凸集；E-凸集

0 引言

由于凸集及其性質在凸分析、函數論、最優化理論等數學分支中均有廣泛應用[1-5]，因此，凸集的研究和推廣一直是數學應用基礎研究領域的重要課題.在凸集概念基礎上，文[1-3]引進了p-凸集和絕對p-凸集；文[6]對p-凸集和絕對p-凸集的性質進行了較為系統的研究；文[7]提出了p-完美凸集和絕對p-完美凸集；文[8]通過弱化凸集和凸函數定義的條件，引入了E-凸集和E-凸函數等概念；文[9-10]指出文[8]中存在的錯誤，完善了E-凸集和E-凸函數；文[11]對E-凸集的性質進行較為系統的研究；文[12]提出了擬E-凸和嚴格擬E-凸函數的概念，并對其性質進行了研究;文[13]進一步給出了半強E-凸函數的概念；文[14]研究了E-凸集，E-凸函數和半E-凸函數的性質；文[15]研究了中點E-凸函數、E-擬凸函數及其性質；文[16]研究了E-凸函數的方向導數；文[17]給出了E-凸函數的一個性質.事實上，上述凸集的推廣大致可以分為兩類：一類是將凸集中任意兩點x,y的凸組合的系數λ,1-λ推廣α,β，其中α,β≥0,p∈(0,1],αp+βp=1， 即p-凸集和p-凸函數及其推廣；一類是將凸集中任意兩點x,y推廣為映射E的像E(x),E(y)，即E-凸集和E-凸函數及其推廣.但是，將上述兩類廣義凸集相結合的研究報道并未見到.鑒于此，本文將p-凸集和E-凸集相結合，得到一種廣義凸集——p-E-凸集，使得凸集、p-凸集和E-凸集成為它的特例，拓展了凸集的概念.最后，研究了p-E-凸集的性質.

1 相關概念

定義1[1]設集合M?Rn，若?x,y∈M,?λ∈[0,1]，有λx+(1-λ)y∈M，則稱M為凸集.

定義2[1-3]設集合M?Rn，若?x,y∈M,α,β≥0,p∈(0,1],αp+βp=1，有αx+βy∈M，則稱M為p-凸集.

定義3[6]設集合M?Rn，記

則稱Cp(M)為M的p-凸包.

定義4[8]設集合M?Rn，若存在映射E:Rn→Rn，使得?x,y∈M,?λ∈[0,1]，有λE(x)+

(1-λ)E(y)∈M，則稱M為E-凸集.

2 p-E-凸集的概念

定義5 設集合M?Rn，若存在映射E:Rn→Rn,使得?x,y∈M,α,β≥0,p∈(0,1],αp+βp=1,有αE(x)+βE(y)∈M，則稱M為p-E-凸集.

定理1 任意E-凸集是p-E-凸集，任意p-凸集是p-E-凸集，任意凸集是p-E-凸集.

證明 (1)設M是任意E-凸集，由定義4可知，存在映射E:Rn→Rn，使?x,y∈M,?λ∈[0,1]，有λE(x)+(1-λ)E(y)∈M.令α=λ,β=1-λ，取p=1∈(0,1]，則αp+βp=1，于是有

αE(x)+βE(y)=λE(x)+(1-λ)E(y)∈M.

由定義5可知，M是p-E-凸集.

(2)設M是任意p-凸集，由定義2可知，?x,y∈M,α,β≥0,p∈(0,1],αp+βp=1，有αx+βy∈M.令

E:Rn→Rn,E(x)=x,?x∈Rn,

則

?x,y∈M,α,β≥0,p∈(0,1],αp+βp=1，

有

αE(x)+βE(y)=αx+βy∈M.

由定義5可知，M是p-E-凸集.

(3)設M是任意凸集，由定義1可知，?x,y∈M,?λ∈[0,1]，有λx+(1-λ)y∈M.令

E:Rn→Rn,E(x)=x,?x∈Rn,

同時令α=λ,β=1-λ，取p=1∈(0,1]，則αp+βp=1，于是有

αE(x)+βE(y)=λx+(1-λ)y∈M.

由定義5可知，M是p-E-凸集.

定理2 設集合M?Rn是p-E-凸集，則E(M)?M.

證明 由于M是p-E-凸集，則存在映射E:Rn→Rn,使得?x,y∈M,α,β≥0,p∈(0,1]，αp+βp=1，有αE(x)+βE(y)∈M.顯然，當β=0時，有αp=1，由于p∈(0,1]，因此必有α=1，故有E(x)=αE(x)+βE(y)∈M，考慮到x的任意性，即有E(M)?M.

類似地，當α=0時，也可證明E(M)?M.

下面討論p-E-凸集的幾個等價條件.

定理3 設集合M?Rn,下面幾個條件彼此等價：

(1)M是p-E-凸集；

(2)?x,y∈M,t∈[0,1],有t1/pE(x)+(1-t)1/pE(y)∈M；

證明 先證(1)?(2).由M是p-E-凸集知,存在映射E:Rn→Rn,使得?x,y∈M,α,β≥0,p∈(0,1],αp+βp=1,有αE(x)+βE(y)∈M.令t=αp，則得到α=t1/p,β=(1-t)1/p，顯然有t∈[0,1],且t1/pE(x)+(1-t)1/pE(y)∈M.所以，(1)?(2)成立.

再證(2)?(3).對n施行數學歸納法.

當i=1時，令α1=t=1，則有tE(x)=αE(x)=E(x)∈M.

若αk+1=1，則α1=α2=…=αk=0，于是由歸納假設和定理2可知，

所以，(2)?(3)成立.

最后證(3)?(1). 只需令i=2，即可得到M是p-E-凸集.

3 p-E-凸集的若干性質

定理4 設集合M?Rn是p-E1-凸集，且是p-E2-凸集，則M是p-(E1°E2)-凸集，也是p-(E2°E1)-凸集，其中E1:Rn→Rn,E2:Rn→Rn，E1°E2,E2°E1分別為映射E2與E1，E1與E2的復合運算.

證明 假設x,y∈M，α,β≥0,p∈(0,1],αp+βp=1，有α(E1°E2)(x)+β(E1°E2)(y)?M，即α(E1(E2(x)))+β(E1(E2(y)))?M.

考慮到M是p-E2-凸集，由定理2知E2(M)?M，因此E2(x),E2(y)∈M.然后考慮到M是p-E1-凸集，再由定理2知E1(E2(x)),E1(E2(y))∈M，且α,β≥0,p∈(0,1],αp+βp=1，有α(E1(E2(x)))+β(E1(E2(y)))∈M.這與α(E1(E2(x)))+β(E1(E2(y)))?M矛盾.故M是p-(E1°E2)-凸集.

同理可證，M是p-(E2°E1)-凸集.

定理5 設集合M,N?Rn是p-E-凸集，則M∩N是p-E-凸集.

證明 ?x,y∈M∩N，則有x,y∈M且x,y∈N.由于M,N是p-E-凸集，故存在E:Rn→Rn，使α,β≥0,p∈(0,1],αp+βp=1,有αE(x)+βE(y)∈M且αE(x)+βE(y)∈N，于是αE(x)+βE(y)∈M∩N.所以,M∩N是p-E-凸集.

可以將定理5推廣至任意多個集合.

證明 與定理5證明類似，略.

證明 ?x,y∈M+N，則存在x1,x2∈M,y1,y2∈N，使得x=x1+y1,y=x2+y2.由于M,N是p-E-凸集，因此存在E:Rn→Rn，使得α,β≥0,p∈(0,1],αp+βp=1,有αE(x1)+βE(x2)∈M且αE(y1)+βE(y2)∈N.考慮到E是線性映射，于是有

αE(x1+y1)+βE(x2+y2) =α(E(x1)+E(y1))+β(E(x2)+E(y2))

=(αE(x1)+βE(x2))+(αE(y1)+βE(y2))∈M+N.

所以,M+N是p-E-凸集.

證明 ?x,y∈kM，則?x1,x2∈M，使x=kx1,y=kx2.由于M是p-E-凸集，故存在E:Rn→Rn，使得α,β≥0,p∈(0,1],αp+βp=1,有αE(x1)+βE(x2)∈M.考慮到E是線性映射，于是有

αE(x)+βE(y) =α(E(kx1)+E(kx2))

=k(αE(x1)+βE(x2))∈kM.

所以kM是p-E-凸集.

可將定理7和定理8推廣至一般情況.

定義6 設集合M?Rn，記

則稱Cp-E(M)為M的p-E凸包.

顯然，當E為恒等映射時，M的p-E凸包Cp-E(M)就是p凸包Cp(M).

定理10 設集合M?Rn，則Cp-E(M)是Rn中包含M的最小p-E-凸集，也是所有包含M的p-E-凸集的交集.

證明 如果

則因為

=αp+βp=1,

故有

α(α1E(x1)+β1E(y1))+β(α2E(x2)+β2E(y2)) =αα1E(x1)+αβ1E(y1)+

βα2E(x2)+ββ2E(y2)∈Cp-E(M).

若p-E-凸集N?M，則由Cp-E(M)的定義可知，N?Cp-E(M)，因此，Cp-E(M)是包含M的最小p-E-凸集.又由定理6可知，p-E-凸集的交集仍為p-E-凸集，所以Cp-E(M)是全體包含M的p-E-凸集的交集.

定理11 設V,W是線性空間，L:V→W,E:Rn→Rn均是線性映射，則

(1)若M?V是p-E-凸集，則L(M)?W是p-E-凸集；

(2)若T?W是p-E-凸集，則L-1(T)?V是p-E-凸集.

證明 (1)?y1,y2∈L(M)，則?x1,x2∈M，使得y1=L(x1),y2=L(x2)，因為M是p-E-凸集，因此α,β≥0,p∈(0,1],αp+βp=1,有αE(x1)+βE(x2)∈M.又由L是線性映射，可得

αE(y1)+βE(y2) =αE(L(x1))+βE(L(x2))

=L(αE(x1)+βE(x2))∈L(M),

所以，L(M)是p-E-凸集.

(2)?x1,x2∈L-1(T)，則?y1,y2∈T，使得x1=L-1(y1),x2=L-1(y2)，因為T是p-E-凸集，因此α,β≥0,p∈(0,1],αp+βp=1,有αE(y1)+βE(y2)∈T.

考慮到L-1是線性映射，可得

αE(x1)+βE(x2) =αE(L-1(y1))+βE(L-1(y2))

=L-1(αE(y1)+βE(y2))∈L-1(T).

所以，L-1(T)是p-E-凸集.

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p-E-Convex Set and Its Properties

LIU Wei-feng

(DepartmentofMathematicsandPhysics,ZhengzhouInstituteofAeronauticalIndustryManagement,Zhengzhou450015,China)

Based on the concepts ofp-convex sets andE-convex sets, a generalized convex set defined asp-E-convex set was proposed by combiningp-convex sets withE-convex sets, so thatp-convex sets,E-convex sets and convex sets were made particular cases, and the concept of a convex sets was generalized. Some properties ofp-E-convex sets were investigated.

convex set;p-E-convex set;p-convex set;E-convex set

2013-03-28

河南省教育廳科學技術研究重點項目，編號12B110027.

劉衛鋒(1976-)，男，講師，碩士，主要從事數學建模研究，E-mail:lwf0519@163.com.

O 221.2

A

1671-6841(2014)01-0028-05

10.3969/j.issn/1671-6841.2014.01.007