關于不定方程組x±1=6pqu2,x2?x+1=3υ2的整數解

杜先存， 孫映成， 萬 飛

(1.紅河學院 教師教育學院 云南 蒙自 661199；2.鹽城師范學院 數學科學學院 江蘇 鹽城 224002)

關于不定方程組x±1=6pqu2,x2?x+1=3υ2的整數解

杜先存1， 孫映成2， 萬 飛1

(1.紅河學院 教師教育學院 云南 蒙自 661199；2.鹽城師范學院 數學科學學院 江蘇 鹽城 224002)

設p,q是互異的奇素數，p≡q≡1(mod 6)，利用遞歸序列、Pell方程的解的性質、Maple小程序等方法證明了不定方程組x-1=6pqu2,x2+x+1=3v2僅有平凡解(x,u,v)=(1,0,±1)；而不定方程組x+1=6pqu2,x2-x+1=3v2僅有平凡解(x,u,v)=(-1,0,±1)．

不定方程； Pell方程； 奇素數； 整數解； 遞歸序列

0 引言

關于三次不定方程

x3±1=2Dy2(D>0，且D無平方因子)

(1)

的整數解的問題一直是數論研究者關注的問題．文獻[1-5]給出了一些結果．

由于x3±1=(x±1)(x2?x+1)，因此在研究方程(1)的整數解時，方程組

x±1=6Du2;x2?x+1=3v2

(2)

就起著重要的作用．然而關于不定方程組(2)的整數解的情況，目前僅就D為素數時，有一些結論:文獻[6]得出了方程組x+1=6Du2,x2-x+1=3v2無正整數解；文獻[7]得出了x-1=6Du2,x2+x+1=3v2僅有整數解(D,x,u,v)=(D,1,0,±1),(13,313,±2,±181)．

本文將利用遞歸序列、Pell方程的解的性質、Maple小程序，得出當D含兩個互異的6k+1型素因子時方程組(2)的解的情況．

1 主要引理

引理1[8]設p是一個奇素數，則丟番圖方程4x4-py2=1除開p=3,x=y=1和p=7,x=2,y=3外，無其他的正整數解．

引理2[8]方程x2-3y4=1僅有整數解(x,y)=(±2,±1)，(±7,±2)，(±1,0)．

2 主要定理及證明

定理1 設p,q為互異的奇素數，p≡q≡1(mod 6)，則不定方程組

x-1=6pqu2,x2+x+1=3v2，gcd(u,v)=1

(3)

只有平凡解(x,u,v)=(1,0,±1)．

證明 1)先證存在性

將式(3)的x=1+6pqu2代入x2+x+1=3v2，整理得

(2v)2-3(4pqu2+1)2=1.

(4)

因此,4pqu2+1=±yn(n∈Z)，即4pqu2=±yn-1．又y-n=-yn，所以只需考慮

4pqu2=yn-1．

(5)

由式(5)，得yn≡1(mod 4)．

容易驗證下列各式成立：

yn+2=4yn+1-yn;y0=0;y1=1，

(6)

xn+1=2xn+3yn;yn+1=xn+2yn，

(7)

(8)

x2n+1≡2(mod 4);x2n?0(mod 2)，

(9)

y2n≡0(mod 4);y2n+1?0(mod 2)，

(10)

xn+2=4xn+1-xn;x0=1;x1=2，

(11)

xn-1=2xn-3yn;yn-1=-xn+2yn.

(12)

對遞歸序列(6)取模4，得周期為4的剩余類序列，且僅當n≡1(mod 4)時，有yn≡1(mod 4)，所以只有當n≡1(mod 4)時式(5)才成立．

當n≡1(mod 4)時，不妨令n=4m+1(m∈Z)，則由式(5)、(7)和(8)得

即2pqu2=x2m+1y2m．

由式(7)得，gcd(x2m+1,y2m)=gcd(2x2m+3y2m,y2m)=gcd(2x2m,y2m)=gcd(2,y2m)=2．又由式(9)、(10)得，x2m+1≡2(mod 4)，y2m≡0(mod 4)，所以下列情形之一成立：

x2m+1=2a2;y2m=4pqb2;u=2ab;gcd(a,b)=1,

(13)

x2m+1=2pqa2;y2m=4b2;u=2ab;gcd(a,b)=1,

(14)

x2m+1=2qa2;y2m=4pb2;u=2ab;gcd(a,b)=1,

(15)

x2m+1=2pa2;y2m=4qb2;u=2ab;gcd(a,b)=1．

(16)

2)再證唯一性

由式(15)的y2m=4pb2得xmym=2pb2，又由式(10)知ym?2(mod 4)，而gcd(xm,ym)=1，所以下列情形之一成立：

xm=2c2;ym=pd2;b=cd;gcd(c,d)=1,

(17)

xm=2pc2;ym=d2;b=cd;gcd(c,d)=1．

(18)

由式(16)的y2m=4qb2，仿式(15)的討論知，該情形方程組(3)無整數解．

綜上1)和2)可知，定理1成立．

定理2 設p,q為互異的奇素數，p≡q≡1(mod 6)，則不定方程組

x+1=6pqu2;x2-x+1=3v2;gcd(u,v)=1

(19)

僅有平凡解(x,u,v)=(-1,0,±1).

事實上，將x=6pqu2-1代入x2-x+1=3v2，整理得

(2v)2-3(4pqu2-1)2=1，

(20)

仿照定理1的證明可知式(20)的一切整數解可表示為

為此也只需考慮

4pqu2=yn+1.

(21)

由式(21)，得yn≡-1(mod 4)．

對遞歸序列(6)取模4，得周期為4的剩余類序列，且僅當n≡-1(mod 4)時，有yn≡-1(mod 4)，所以只有當n≡-1(mod 4)時式(21)才成立．

當n≡-1(mod 4)，令n=4m-1(m∈Z)，則由(8)、(12)和(21)得

即

2pqu2=x2m-1y2m.

(22)

由式(6)知僅當m=0時，y2m=0．又由式(11)知對于任意整數m，均有x2m-1≠0，所以僅當m=0時，x2m-1y2m=0．

(i)m=0時，由式(22)得，u=0，此時得出方程組(19)的平凡解(x,u,v)=(-1,0,±1)．

(ii)m≠0時，仿定理1的證明可知不定方程組(19)無整數解．

綜上，定理成立．

對于方程組(2)的整數解的情況，本文僅僅給出了D含兩個互異的6k+1形素因子時的解的情況，對于D含3個及以上互異的6k+1形素因子時方程組(2)的解的情況還有待于進一步研究．

[1] 柯召,孫琦．關于丟番圖方程x3±1=Dy2[J]．中國科學，1981，24(12)：1453-1457．

[2] 黃壽生.關于指數Diophantine方程x3-1=2py2[J].數學研究與評論,2007,27(3)： 664-666．

[3] 管訓貴．關于 Diophantine方程x3±1=2py2[J]．云南民族大學學報：自然科學版， 2012，21(6)：438 -441．

[4] 張海燕,王連芳．關于丟番圖方程x3±1=2Dy2[J]．哈爾濱理工大學學報：自然科學版， 1997，2(6)：85 -87．

[5] 杜先存,趙東晉,趙金娥．關于不定方程x3±1=2py2[J]．曲阜師范大學學報：自然科學版，2013，39(1)：42-43．

[6] 田曉霞．關于不定方程組x+1=6py2，x2-x+1=3z2[J]．四川理工學院學報，2009，22(1)：30-31．

[7] 牟全武．對文“關于指數Diophantine方程x3-1=2py2”的注記[J]．西安文理學院學報：自然科學版，2008， 11(4)：43 -45．

[8] 曹珍富．丟番圖方程引論[M]．哈爾濱：哈爾濱工業大學出版社,1989．

On the System of Indefinite Equationsx±1=6pqu2andx2?x+1=3υ2

DU Xian-cun1， SUN Ying-cheng2, WAN Fei1

(1.CollegeofTeacherEducation,HongheUniversity,Mengzi661199,China；2.CollegeofMathematicsScience,YanchengTeachersUniversity,Yancheng224002,China)

Letp,qbe different odd primes,p≡q≡1 (mod 6). With the help of recursive sequence, some properties of the solutions to Pell equation and Maple formality, the only integer solution in integers of the indefinite equationsx-1=6pqu2,x2+x+1=3v2wasx=1,u=0,v=±1, and the only integer solution of the indefinite equationsx+1=6pqu2,x2-x+1=3v2wasx=-1,u=0,v=±1.

indefinite equation; Pell equation; odd prime; integer solution; recursive sequence

2013-11-06

國家自然科學基金資助項目，編號11371291；江蘇省教育科學“十二五”規劃課題項目，編號D201301083.

杜先存(1981-),女,講師,碩士,主要從事初等數論研究,E-mail:liye686868@163.com.

O 156

A

1671-6841(2014)01-0025-03

10.3969/j.issn/1671-6841.2014.01.006