區間軟RSL-代數

許宏偉， 劉衛鋒， 張理濤

(鄭州航空工業管理學院 數理系 河南 鄭州 450015)

區間軟RSL-代數

許宏偉， 劉衛鋒， 張理濤

(鄭州航空工業管理學院 數理系 河南 鄭州 450015)

將區間軟集應用于RSL-代數，定義了區間軟RSL-代數、區間軟RSL-子代數、區間軟RSL-代數的軟同態等概念，討論了它們的基本性質，推廣了相關文獻中軟RSL-代數的結果.

軟集； 區間軟集； RSL-代數； 軟RSL-代數； 區間軟RSL-代數

0 引言

文[1]中提出了軟集的概念,為研究不確定性問題提供了一種新的方法.由于軟集與模糊集、粗糙集等理論具有較強的互補性，因此軟集理論受到了許多學者的關注和研究.在文[1]基礎上，文[2-4]定義了軟集的各種運算和軟相等概念；文[6-8]將文[5]提出的區間集應用于軟集，提出了區間軟集的概念；文[9-14]分別提出了軟群、軟環、軟半環、軟Quantale、軟坡、軟格等概念，并研究了它們的性質；文[15-17]分別研究了軟BCK/BCI代數、軟BL代數、軟RSL-代數.但是，目前沒有發現將區間軟集應用于代數結構之中的報道，為此本文嘗試將區間軟集應用于RSL-代數，提出了區間軟RSL-代數、區間軟RSL-子代數和區間軟RSL-代數的軟同態等概念，并對它們的一些基本性質進行了探討.本文推廣了文[17]中軟RSL-代數的相關結果.

1 相關概念

定義1[18-19]代數結構(L,∨,∧,*,+,?,→,0,1)稱為RSL-代數，如果(L,∨,∧,*,+,0,1)為正則雙Stone-代數，(L,∨,∧,?,→,0,1)為IMTL-代數.

為方便起見，以后用L,L1,L2表示RSL-代數.

定義2[17]設(F,A)是RSL-代數L上的軟集，若?x∈A,F(x)均為L的子代數，則稱(F,A)是L上的一個軟RSL-代數.

定義3[1]設X是論域，P(X)是其冪集，E是指標集，A?E，F:A→P(X)是一個映射，則稱(F,A)是X上的一個軟集.

定義5[6-8]設X是論域，E是指標集，A?E,F:A→I(P(X))是一個映射，稱(F,A)是X上的一個區間軟集，其中I(P(X))表示X上的所有區間集之集合.

I(P(X))上的偏序集定義為[Al,Au],[Bl,Bu]∈I(P(X))，[Al,Au]≤[Bl,Bu]?Al?Bl,Au?Bu.

定義6[8]設(F1,A1),(F2,A2)是X上的區間軟集，則定義如下運算：

(3)(F,A)=(F1,A1)∩ε(F2,A2),其中A=A1∩A2，?x∈A,F(x)=F1(x)∩F2(x).

(4)(F,A)=(F1,A1)∧(F2,A2),其中A=A1×A2，?(x,y)∈A1×A2,F(x,y)=F1(x)∩F2(y).

2 區間軟RSL-代數

定義7 設(F,A)是RSL-代數L上的區間軟集，若?x∈A,F(x)=[Al,Au]，且Al,Au為L的RSL-子代數，則稱(F,A)是L上的一個區間軟RSL-代數.

若?x∈A,F(x)=[Al,Au]，其中Al=Au，則區間軟RSL-代數退化為軟RSL-代數，故而區間軟RSL-代數是軟RSL-代數的推廣.

下面在文[17]中RSL-代數實例基礎上，說明區間軟RSL-代數是存在的.

例1 設L={0,a,b,c,d,e,f,1}，定義L的運算*,+,?,→和序關系如圖1和表1～3，則(L，∨,∧,*,+,?,→,0,1)是一個RSL-代數.

圖1 RSL代數L

0abcdef1?1fedcba0+1fedcba0

表2 L上的→運算Tab.2 →operation on L

表3 L上的?運算Tab.3 ? operation on L

令A={x,y,z}，設(F,A)是L上的區間軟集，其中

F(x)=[{0,1},{0,a,f,1}]，F(y)=[{0,b,e,1},L]，F(z)=[{0,c,d,1},L].

可以驗證(F,A)是L上的區間軟RSL-代數.

推論1 設(F1,A1),(F2,A2)是L上的區間軟RSL-代數，若A1∩A2≠?，則(F1,A1)∩ε(F2,A2)是L上的區間軟RSL-代數.

定理4 設(F1,A1),(F2,A2)是L上的區間軟RSL-代數，則(F1,A1)∧(F2,A2)是L上的區間軟RSL-代數.

現將上述結論推廣到任意指標集.

定理5 設(Fi,Ai)(i∈I，I為指標集)是L上的區間軟RSL-代數，則

3 區間軟RSL-子代數

定義9 設(F,A)是L上的區間軟RSL-代數.若?x∈A,F(x)=[{0},{0}]={0}，其中0為RSL-代數L的最小元，則稱(F,A)為平凡的.若?x∈A,F(x)=[L,L]=L，則稱(F,A)為完整的.

定義10 設f:L1→L2為集合L1到L2的同態映射，(F,A)是L1上的區間軟集，定義L2上的區間軟集如

f(F):A→I(P(L2)),

f(F)(x)=f(F(x))=f[Al,Au]=[f(Al),f(Au)],?x∈A，其中Al,Au∈I(P(L1)).

定理9 設f:L1→L2為L1到L2的同態映射，則

(1)若(F,A)是L1上的區間軟RSL-代數，且?x∈A，有F(x)=kerf，則(f(F),A)是L2上的平凡區間軟RSL-代數.

(2)若f為滿射，且(F,A)是L1上的完整區間軟RSL-代數，則(f(F),A)是L2上的完整區間軟RSL-代數.

證明 (1)已知?x∈A,F(x)=kerf，于是，?x∈A，有f(F)(x)=f(F(x))={02}=[{02},{02}]，其中02為L2中的最小元，因此(f(F),A)是L2上的平凡區間軟RSL-代數.

(2)由題設可知，f(L1)=L2，且?x∈A，有F(x)=[L1,L1]=L1.于是，?x∈A，f(F)(x)=f(F(x))=f(L1)=L2=[L2,L2]，故(f(F),A)是L2上的完整區間軟RSL-代數.

定理10 設f:L1→L2為L1到L2的同態映射.若(F,A)是L1上的區間軟RSL-代數，則(f(F),A)是L2上的區間軟RSL-代數.

證明 由于(F,A)是L1上的區間軟RSL-代數，故?x∈A，F(x)=[Al,Au]，其中Al,Au是L1的子代數，又f為同態映射，所以f(F)(x)=f(F(x))=[f(Al),f(Au)]，其中f(Al),f(Au)是L2的子代數.故(f(F),A)是L2上的區間軟RSL-代數.

4 區間軟同態

定義11 設(F1,A1),(F2,A2)分別是L1,L2上的區間軟RSL-代數，f:L1→L2,g:A1→A2是兩個映射.如果f為同態映射，且?x∈A1,f(F1(x))=F2(g(x))，則稱(f,g)為從(F1,A1)到(F2,A2)的區間軟同態.

定理12 設(F1,A1),(F2,A2)分別是L1,L2上的區間軟集，如果(F1,A1)為L1上的區間軟RSL-代數，且(F1,A1)與(F2,A2)區間軟同態(構)，則(F2,A2)為L2上的區間軟RSL-代數.

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Interval Soft RSL-algebras

XU Hong-wei, LIU Wei-feng, ZHANG Li-tao

(DepartmentofMathematicsandPhysics,ZhengzhouInstituteofAeronauticalIndustryManagement,Zhengzhou450015,China)

The notion of interval soft sets was applied to RSL-algebras. The concepts of interval soft RSL-algebras, interval soft RSL-subalgebras and soft homomorphism between interval soft RSL-algebras were defined and some basic properties were discussed. The results of soft RSL-algebras in related reference were generalized.

soft sets; interval soft sets; RSL-algebras; soft RSL-algebras; interval soft RSL-algebras

2013-03-19

國家自然科學基金數學天元基金資助項目，編號11226337；河南省教育廳科學技術研究重點項目，編號12B110027.

許宏偉(1957-)，男，副教授，碩士，主要從事應用數學研究，E-mail：xhwzzia@163.com.

O 153

A

1671-6841(2014)01-0037-05

10.3969/j.issn/1671-6841.2014.01.009