淺談極限思想在小學數學教學中的滲透

于秋琳

摘 要： 極限作為數學中常用的基本概念之一，是用以描述變量在一定變化過程中的極端狀態，是一種將事物無限逼近某一狀態的概念。極限思想是一種重要的數學思想，是對數學知識的本質反映，是形象思維向抽象思維轉化的紐帶。在學生學習數學知識的啟蒙階段對其滲透極限思想，不但可以提高學生的抽象思維能力，而且有助于學生掌握學習數學的思想和方法，使他們受益終生。本文闡述了極限思想在小學數學教學中滲透的必要性，并結合數學公式、概念、練習、總復習等教學案例，論述了極限思想在小學數學教學中滲透的途徑及滲透過程中應注意的問題。

關鍵詞： 小學數學教學 極限思想 滲透

一、極限思想及其歷史簡介

17世紀微積分創立伊始，無限概念便成為人們關注的主題。無窮小的概念是微積分建立的一個基礎，在研究物體運動變化時，先把它看做是可以無限減少的量，這時它比零大，同時又把它看做零而忽略不計，即認為它是零。數學家們為了消除這種矛盾，進行了長期不懈的探索。19世紀法國數學家柯西比較完整地闡述了極限概念及其理論，在柯西的思想中，函數不會直接趨近于極限，必須經過含有無窮小的表達式。他把無窮小視為以零為極限的變量，這就澄清了無窮小“似零非零”的模糊認識。在變化過程中，它的值可以是非零，但它變化的趨向是“零”，可以無限接近于零。柯西的極限論是一種潛無限的過程，而極限的完成又表現為實無限。可見，柯西的理論中潛無限與實無限在某種程度上達到了統一，但柯西的極限定義中仍有許多不嚴格的地方，后經維爾斯特拉斯的進一步改進，終于用“ε-δ”語言將其精確化了。

二、極限思想在小學數學教學中滲透的必要性

在小學階段學習的數學相對比較簡單，學生可能在走出校門后不到兩年就將所學的數學知識淡忘了，但是，那些所學習到的數學思想和數學方法將牢記于心，不管日后在工作中還是在生活中，都可以隨時發揮作用。所以，將數學思想和方法不斷地滲透給學生，才是學生掌握知識的關鍵。

在小學數學教材中，有很多知識點是與極限思維有關的，如自然數、奇偶數和循環小數等涉及數量無限多的概念，以及直線、射線、角的邊、平行線的長度等涉及無限延伸性的幾何概念等。教師在教學過程中如能刻意挖掘，并適當地將其蘊涵的極限思想和方法滲透給學生，那么不僅可以讓學生掌握知識點和開拓思維，而且可以讓學生在以后的生活和工作中隨時發揮作用。

三、在小學數學教學中的滲透極限思想的重要途徑

小學階段的學生由于正處在身心發展的階段，是形象思維向抽象思維轉化的階段，對極限思想的理解具有局限性，但并不意味著在教學過程中要淡化對極限思想的滲透。在教學過程中，教師可以利用推導公式的過程、學習新概念的過程、練習和總復習的過程對學生進行滲透，提高學生的抽象思維能力。

（一）在推導公式的過程中滲透極限思想

在小學數學教學中，會涉及大量的關于數學公式的推導，有些公式的推導就是運用的極限思維推導出來的，教師可以利用這一過程潛移默化地對學生進行滲透。最典型的運用極限思想推導出公式的例子就是圓的面積。

案例一：教學“圓的面積”

在教學“圓的面積公式的推導”這節課時，教師往往讓學生把一個圓連續對折，在不斷對折過程中，學生就可以發現：對折的次數越多，所得到對折后的圖形越來越接近與三角形，展開后，沿折痕把圓平均分成若干個近似等腰三角形，等腰三角形的兩腰就是圓的半徑，而底邊就是圓周長的一部分。在這個環節學生能夠感受到由曲變直的過程，領會從近似分割到無限細分的數學思維方法。

在公式推導過程中，運用了“變曲為直”、“化圓為方”極限分割思路。在有限分割的基礎上讓學生想象無限細分的最終狀態，這樣不但使學生能夠牢記公式，而且能將無限逼近的極限思想滲透到他們的腦海中。

（二）在學習新概念的過程中滲透極限思想

新概念對于小學生來說是新接觸的知識，是一個從無到有的過程，也是讓學生對數學中的專業術語的認識與理解，也為他們以后的學習奠定一定的基礎。有些新概念中蘊含一定的極限思想，教師在教授的同時可以適當地滲透給學生，幫助他們更好地理解新概念。

案例二：教學“循環小數的概念”

在教學“循環小數的概念”這節課時，它的概念性較強，同時在這節新課中也蘊含著極限的思想。在講循環小數的概念之前教師往往會讓學生討論：0.999…和1哪個大？學過方程的學生可能會將0.999…設為x，那么10x=9.99…，10x=x+9，9x=9，那么x=1，所以0.999…=1。那么沒有學過方程的學生可以在一些算式當中找規律：1-0.9=0.1，1-0.99=0.01，1-0.999=0.001，1-0.999=0.0001…，1-0.999…=？，這時學生就可以從這些算式中發現當小數部分的9增加一位時，其數值就多了一個0，那如果0.999…中小數部分有無窮多個9，那么最終結果會無限趨近于0。

（三）在練習過程中滲透極限思想

數學的學習一定離不開練習，練習是對所學知識的鞏固和訓練，但是在練習中教師往往忽略了對學生數學思想和方法的訓練，數學思想和方法的形成是需要不斷積累、不斷應用達成的。所以培養學生的數學思想和方法不僅需要老師在講授新課過程中潛移默化地滲透，而且要在練習過程中不斷鞏固和訓練。

從圖中可以直觀地看出隨著分數分母不斷增加，正方形所劃分的空間越來越小，而空白部分的面積越來越大，大到不斷逼近正方形的面積1，那么當有無窮多項相加時，其結果趨近于1。

（四）在總復習過程中滲透極限思想

總復習是把前面學過的相對獨立及零散的知識點聚集起來，以回顧、歸納、總結等方式梳理知識點，形成知識網，明確各個概念之間的聯系，使數學知識在學生頭腦之中更加完整化、條理化和系統化。

案例四：教學“平面圖形的整理與復習”

在這節課中，教師把學生所學過的平面圖形羅列出來，包括長方形、正方形、平行四邊形、三角形、梯形及圓，對它們的特點進行分析。如果借助極限思想以梯形的面積公式為核心進行梳理，那么又該如何推導出其他圖形的面積公式呢？梯形面積公式：S=（上底+下底）×高÷2，假設讓梯形的上底無限趨近于0，那么所得的圖形近似于三角形，S=下底×高÷2，即三角形的面積公式：S=（上底+下底）×高÷2。同理，把長方形兩腰趨向垂直于底、正方形的四條邊趨近于相等、平行四邊形黨的上下底邊趨于相等，都可以推導出各平面圖形的面積公式。

S=（a+b）h÷2

通過構建知識網絡系統圖，使學生對所學過的平面圖形的面積公式有了更深刻的理解，讓學生知道解決問題并不只有一個方法，幫助學生形成較完整的認知結構，使極限思想潛移默化地印在學生的頭腦之中。

四、極限思想在小學數學教學中滲透的注意問題

在小學階段，學生的邏輯思維和抽象思維能力較弱，而極限思想的邏輯性和抽象性都很強，小學生不易理解。首先，在教學過程中教師要由淺入深，從具體到抽象，從感性到理性，根據學生在學習各階段的認識水平和知識特點，逐步滲透，螺旋上升。其次，極限思想方法不像一般數學知識那樣，通過幾節課的學習就可以掌握。只有通過不斷循序漸進和反復訓練，才能使學生真正有所領悟。最后，教師要努力挖掘教材中可以進行極限思想滲透的知識點，將極限思想融合于小學數學教學之中。

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