一道力學題的五種解法

徐姣芳 鐘磊玖 丁敏方

（寧波市北侖中學 浙江 寧波 315800）

題目：如圖1所示，一紙帶放在水平面上，其上壓一重物，現將紙帶水平向右以恒定的速度勻速抽出，則：

A.重物質量越小，抽出紙帶所用時間越短

B.重物質量越大，抽出紙帶所用時間越短

C.重物與紙帶間的動摩擦因數越小，抽出紙帶所用時間越短

D.重物與紙帶間的動摩擦因數越大，抽出紙帶所用時間越短

圖1

解法一：公式法

設重物質量為m，與木塊間的動摩擦因素為μ，距紙帶左邊的距離為L，紙帶速度為v.紙帶對重物的滑動摩擦力f就是重物所受的合力，重物加速度

抽出時間應是與加速度相關，重物的加速度與質量無關，所以選項A，B錯.

設紙帶抽出所用時間為t，在這個過程中，紙帶的位移

重物的位移

由幾何關系（如圖2）可得

即

圖2

公式變形得

紙帶能抽出，方程（1）一定有解，其解為

方程（1）的解，實際上是重物由靜止開始以加速度μg加速運動，而紙帶以速度v勻速運動，最終重物與紙帶左端相遇的時間解.如果有兩個解，則一個解是紙帶抽出的時間t1，另一個解是紙帶抽出后，重物繼續做勻加速運動再追上紙帶左端的時間t2，本題的解應為時間短的那個t1，則

在t的決定式中，沒有重物質量因素，所以選項A，B錯.

而且

不難得出，μ越大，t也越大，C正確，D錯誤.

在下面的4種解法中，A，B的證明都與解法一相同.

解法二：v－t圖像法

在抽出的過程中，紙帶做勻速運動，重物以加速度a＝μg（解法一已經推導）做勻加速度運動，μ越大，a越大.作出紙帶與重物的v－t圖像（如圖3），μ小的重物v－t圖像對應斜線1，μ大的重物v－t圖像對應斜線2.

圖3

由幾何關系可得，在抽出過程中紙帶對地的位移與重物相對地的位移之差就是重物開始時距紙帶左邊的距離L，是確定的.反映到v－t圖像上，就是：

因此，t1＜t2，C正確，D錯誤.

解法三：定性分析法

在紙帶抽取過程中，重物也在摩擦力作用下做加速運動，抽取時間決定于紙帶相對于重物的速度，動摩擦因數大的，重物加速度大，速度增加快，任意時刻紙帶相對于重物速度小，因此，抽取時間長，C對，D錯.

解法四：特殊值法

不難理解，紙帶抽出的時間與動摩擦因數μ有關，雖然本題沒有給出具體數據，但可以自己假設便于計算的數據進行比較，例如，重物距紙帶左邊長度L＝1m，紙帶抽取速度為v＝10m／s；

當μ1＝0.1時，由方程（1）可得

解出結果

當μ2＝0.6時，由方程（1）可得

解出結果

如果將μ1，μ2假設的數值差距大一些，便于比較.在此題中，比較t1，t2的大小，得t1＜t2，可得C正確，D錯誤.

需指出的是，撇開本題選項結構，僅憑上面兩個數據就得出C正確是不嚴謹的，要加上“抽出時間隨動摩擦因數是單調變化”的條件，才無懈可擊.但本題已經證明A，B錯了，C和D兩個選項一定有一個正確，因此，根據這兩個數據得出結論也是可以放心的.

本題用特殊值法還比較繁瑣，但有些題采用這種方法判斷是比較簡單的.

解法五：極值法

極值法，實際上也是特殊值法，只是把特殊值取到最大或最小.

當μ取最小值零時，則在紙帶抽出過程中，重物不動，時間的意義同解法一）.

當μ不等于零時，在紙帶抽出過程中，重物都會跟著紙帶向右運動一點時間，紙帶相對地的位移要大于L，時間變長（μ取無窮大，重物瞬間就達到與紙帶相同的速度，抽不出，或說抽取時間無窮大），C正確，D錯誤.

同樣，“極值法”與“單調變化”聯合才是嚴謹.但本題可以，原因解法四已述.

小結：通過對一道力學題多種解法的展示，目的在于啟發學生開動腦筋，靈活運用不同的方法求解習題，激發學生的鉆研學習興趣，調動他們的發散思維，加強素質培養，提高學生分析問題和解決問題的能力.