動能定理不能亂用

鄢和清

（中山市小欖中學 廣東 中山 528415）

用動能定理處理問題時總是顯得方便又快捷，這是廣大師生普遍的感覺 .在高中各種版本的物理教材上，動能定理一般都是這樣表述的：合外力對物體所做的功等于物體動能的變化.至于這里所指的“物體”是個什么樣的物體，一般不做說明，事實上高中階段也不宜做過多的討論.正因如此，我們在應用動能定理時，其適用對象一般不給予細致的關注，加之物體內部各種能量的轉化不易覺察，極易犯經驗上的錯誤.下面討論的問題就是一個極好的例證.

【原題】ab是一條柔軟、光滑、不可伸長、無彈性的細繩，其長度為L，質量為m，靜止在光滑的水平面上.如圖1所示，若在a端施加一個水平向右的恒力F，當a端前進2L的距離時，b端剛好被拉動（繩子剛好拉直）.求此時繩子的速度大小v.

圖1

解析：一種解法為人們廣泛采用，應用動能定理，只要能求出合外力做的功就行.外力F對繩子做的功為2FL，且沒有摩擦力做功，根據動能定理，繩子的動能的增加量等于合外力做的功.即

得

多快捷！一根細繩，僅一個外力做功（沒有摩擦），用動能定理來求解當然是首選，相信大家都有同感.可這個解法不正確，因為這里存在一個難以覺察的問題，就是這個過程中繩子有一部分動能損失轉化成內能，動能定理在這里不能亂用.

繩子竟然有一部分動能損失？是怎樣損失的？為了方便解釋，我們先建立一個模型來替代繩子，如圖2所示.小球（質點）之間用柔軟、輕質、光滑、不可伸長、無彈性的細繩相連，拉動時小球一個帶動一個后就立即同速前進，因此這個模型是可靠的.當然我們還是先從高中知識層面來分析它.

圖2

圖3

圖3是圖2中的一部分，a球是第一個被拉動的小球，b為第二個，依此類推.設每個小球的質量為m0，它們之間的細繩長為l.最初，當a球前進了2l時，其速度為v1，由動能定理

得

接著b球被拉動，a，b兩球立即有共同速度v2，由動量守恒定律

得

可得出b球被拉動瞬間，系統損失的動能為

恰好等于Fl.

當a球再前進了2l，a，b兩球的速度為v′2，由動能定理

得

緊接著c球被拉動，三者立即有共同速度v3，由動量守恒定律

得

c球被拉動瞬間，系統又損失的動能也為Fl.依此類推，4個小球共同速度為

5個小球共同速度

n個小球共同速度

若模型共有n個小球，則總質量m＝nm0，總長度L＝（n－1）l，那么模型剛好拉直時的速度大小

損失的動能為

也就是說，細繩剛好拉直時的速度大小為

而不是

繩子動能的增加量只有

而不是

盡管合外力做功為2FL.可見動能確有損失，并轉化成為內能.故不可以用動能定理一步到位地求出細繩剛好拉直時的速度大小.

上述論證過程比較繁瑣（高中層面只能如此），現用一個更簡單的辦法進行印證.大學物理中有一條定理叫“質心運動定理”［1］，其內容是“質點組質量與質心的加速度的乘積總是等于質點組所受一切外力的矢量和”.利用質心運動定理，可求得細繩質心的加速度為

由于細繩剛好拉直時細繩質心的位移恰好為L，應用

可求出

再由v＝at求出質心前進L時的速度

由于拉直時質心的速度與細繩每一點的速度都一樣，所以細繩剛好拉直時的速度大小

“應用動能定理也要看適用對象”，中學階段一般不做強調.大學物理教材對這一點卻描述得很詳盡，一個是“質點的動能定理”［1］，另一個是“質點組的動能定理”［1］.

質點的動能定理是這樣表述的：質點動能的增量等于作用于質點的合力所做的功.高中教材表述的“動能定理”與“質點的動能定理”基本一致，適用對象是質點類物體.在高中階段研究的對象也大多數是質點類物體.

質點組的動能定理是另樣表述的：質點組動能的增量在數值上等于一切外力所做功與一切內力所做功的代數和.

上面討論的細繩只能是看成質點組，既有外力做功（外力F對繩子做的功為2FL），也有內力做功（繩子內一個質點拉動下一個質點時，內力做負功，經分析可以求出細繩內力所做的負功為－FL）.如果已知內力所做的功，那也可用質點組的動能定理一步到位地求出細繩剛好拉直時的速度大小.高中階段顯然不涉及此類問題.

有些質點組類的物體在運動中內力做功為零，那按照質點組的動能定理，只需考慮外力做的功，高中階段也涉及過這類物體.

比如圖4中一根光滑的鏈條從光滑的桌面邊緣滑下，求鏈條離開桌面時的速度大小.這時鏈條在運動中雖不能看成質點，只能是質點組，但內力做功為零，只需考慮重力做功.

圖4

綜合以上分析，可以得出這樣的體會，高中階段進行動能定理的教學時，雖然定理對適用對象不作說明，但教師要心中有譜，像上述細繩這樣有內力做功的質點組類物體就不要涉及，以免出現上述胡亂應用的錯誤或加重教學負擔.

1 漆安慎，杜嬋英.力學基礎.北京：高等教育出版社，1982.157，198