單擺測定重力加速度實(shí)驗(yàn)的拓展與變式

姚小君

（浙江省余姚中學(xué) 浙江 余姚 315400）

用單擺測定重力加速度是新課程高中《物理·選修3－4》中的重點(diǎn)實(shí)驗(yàn).本實(shí)驗(yàn)的課外探究教學(xué)，既可以讓學(xué)生重溫實(shí)驗(yàn)的相關(guān)重要操作和誤差來源分析，鞏固和加深學(xué)生對(duì)單擺周期公式的理解，又可以對(duì)此實(shí)驗(yàn)進(jìn)行拓展和變式，使學(xué)生的發(fā)散性思維和創(chuàng)造性思維得以進(jìn)一步提升.下面是對(duì)本實(shí)驗(yàn)的課外探究式教學(xué)設(shè)計(jì).

1 重溫單擺測重力加速度實(shí)驗(yàn)

1.1 重溫實(shí)驗(yàn)原理

根據(jù)單擺周期公式

測出擺長L和對(duì)應(yīng)的周期T，即可求得單擺所在處的重力加速度

1.2 實(shí)驗(yàn)誤差來源分析

（1）懸點(diǎn)不固定，導(dǎo)致擺長改變，如圖1所示.

圖1 懸點(diǎn)不固定產(chǎn)生誤差

（2）擺長太短，如圖2所示，一般需選擇1m左右.

圖2 擺長太短產(chǎn)生誤差

（3）測量擺長時(shí)只測量線長，如圖3所示.正確應(yīng)該是豎直懸掛時(shí)，用米尺測出擺線長l，用游標(biāo)卡尺測出擺球直徑d.擺長

圖3 擺長未計(jì)算擺球半徑產(chǎn)生誤差

（4）擺到最高點(diǎn)或任意某位置開始計(jì)時(shí)（圖4），或單擺做類似圓錐擺運(yùn)動(dòng).正確應(yīng)該是從平衡位置開始計(jì)時(shí)，保持單擺在同一豎直平面內(nèi)擺動(dòng).

圖4 擺球擺動(dòng)時(shí)未在平衡位置開始計(jì)時(shí)產(chǎn)生誤差

（5）擺角太大（圖5）.應(yīng)該控制擺角5°～10°，使擺球盡量做簡諧振動(dòng).

圖5 擺角太大產(chǎn)生誤差

（6）秒表讀數(shù)誤差，秒表計(jì)時(shí)太短（圖6）.一般而言，測30～50次全振動(dòng)時(shí)間比較合適.

圖6 擺動(dòng)次數(shù)少，計(jì)時(shí)時(shí)間短秒表讀數(shù)誤差

實(shí)驗(yàn)中，應(yīng)盡量減小實(shí)驗(yàn)誤差，擺長選擇約為1 m左右，要求相對(duì)誤差Et≤0.5%.累積多次全振動(dòng)時(shí)間求周期并多次測量取平均值.

2 實(shí)驗(yàn)的拓展與變式

2.1 條件限制情況下的測g實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

【例1】有位同學(xué)要測定重力加速度，手邊只有一根結(jié)實(shí)的長細(xì)繩、秒表、30cm長的刻度尺，還有一塊質(zhì)量約為2kg的不規(guī)則形狀的石塊.請(qǐng)你幫他設(shè)計(jì)一個(gè)測定重力加速度的實(shí)驗(yàn)，寫出實(shí)驗(yàn)步驟，推導(dǎo)出重力加速度值的表達(dá)式，并進(jìn)行實(shí)驗(yàn).

2.2 結(jié)合圖像類測g問題 展開討論 撰寫科學(xué)小論文

【例2】兩位同實(shí)驗(yàn)小組同學(xué)某次實(shí)驗(yàn)得到的數(shù)據(jù)按表1記錄數(shù)據(jù).

表1 實(shí)驗(yàn)表格

但他們?cè)谟涗洈[長時(shí)總是少加擺球半徑，若他們?cè)跍y周期時(shí)均沒有出現(xiàn)技術(shù)差錯(cuò)（如多數(shù)或少數(shù)全振動(dòng)次數(shù)等情況），則甲同學(xué)根據(jù)表格算出的g與當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣认啾瓤偸瞧。彝瑢W(xué)在把他們記錄的數(shù)據(jù)繪入T2－l坐標(biāo)系并作圖（圖7）后發(fā)現(xiàn)，圖像雖未經(jīng)過原點(diǎn)，但斜率而T2＝，根據(jù)圖像計(jì)算g值與當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣确浅＝咏谑莾晌煌瑢W(xué)因?yàn)橐庖姴唤y(tǒng)一展開了激烈的爭論……

請(qǐng)你試著解釋這個(gè)問題，并撰寫成科學(xué)小論文.

圖7

2.3 應(yīng)用單擺裝置測定其他物理量

【例3】給你一塊小磁鐵、一塊鐵板、秒表、刻度尺、木架、細(xì)線等，你如何估測當(dāng)磁鐵與鐵板相距1 cm時(shí)相互作用的磁力？

【例4】如何用秒表、游標(biāo)卡尺和一個(gè)小鋼球粗略測量凹面鏡（或凹透鏡）的半徑？請(qǐng)闡明簡要步驟并進(jìn)行實(shí)驗(yàn).（已知凹面鏡半徑遠(yuǎn)大于小鋼球半徑）

【例5】現(xiàn)有一塊秒表、一臺(tái)天平、一個(gè)重物、一根足夠長且不宜伸長的細(xì)線，如何估算一物體從高處落下時(shí)受到的平均阻力？請(qǐng)闡明簡要步驟并進(jìn)行實(shí)驗(yàn).

2.4 單擺“新”現(xiàn)象探索與研究

一次實(shí)驗(yàn)課上，有幾個(gè)同學(xué)做了如下實(shí)驗(yàn)：如圖8所示，兩個(gè)完全相同的單擺，使它們相隔一定的距離，讓一個(gè)單擺小球（假設(shè)A球）開始以一定的角度（一般在5°至10°左右）擺動(dòng)時(shí)，另一個(gè)小球B也開始跟著擺動(dòng)，經(jīng)過數(shù)次擺動(dòng)以后，A球在最低點(diǎn)的速度為零，B球速度達(dá)到最大；再經(jīng)過同樣次數(shù)的擺動(dòng)，B球的速度為零，A球速度最大 …… 這樣不斷重復(fù)，情形類似于兩個(gè)等質(zhì)量小球的彈性碰撞.試經(jīng)過實(shí)驗(yàn)探究，得出以下結(jié)論：

圖8 單擺“新”現(xiàn)象的探究

（1）兩小球間能量能全部轉(zhuǎn)移，且傳遞過程是可逆的；

（2）能量傳遞時(shí)間與兩擺懸點(diǎn)間水平距離有關(guān)；

（3）能量傳遞時(shí)間與單擺振幅無關(guān).

x／cm L／cm t／s 3 4 5 10 15 20 20 6.9 7.4 7.7 10.0 12.8 15.2 30 11.2 11.8 12.1 15.8 20.0 24.4 40 17.2 17.9 18.6 24.2 30.5 36.0

解釋上述實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象：

以整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象，兩擺擺動(dòng)過程中，在忽略系統(tǒng)所受空氣阻力的情況下，系統(tǒng)在水平懸繩兩端所受外力不做功，故系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，在任何時(shí)刻，我們都可以列出如下能量守恒式，設(shè)A球從最高點(diǎn)h0開始擺動(dòng)，水平方向v0＝0

整個(gè)系統(tǒng)在水平方向上所受的合外力為零，所以系統(tǒng)動(dòng)量守恒

當(dāng)B球在最大位移處時(shí)，由式（2）可知，因?yàn)?/p>

所以

式（1）簡化為

當(dāng)A球在最大位移處時(shí)，由式（2）可知，因?yàn)?/p>

所以

式（1）簡化為

兩小球間能量能全部轉(zhuǎn)移，且傳遞過程可逆.

兩球質(zhì)量相同，當(dāng)A球開始擺動(dòng)時(shí)，A球擺動(dòng)的周期是一定的，B在A的驅(qū)動(dòng)力作用下也開始擺動(dòng).A，B擺懸點(diǎn)間水平方向的傳播可認(rèn)為是通過波的形式來傳播的，在周期一定的情況下，傳播速度v只與介質(zhì)有關(guān).故傳播能量所需時(shí)間與波傳播的距離成正比，由下式確定即.這就是前面實(shí)驗(yàn)的第2個(gè)結(jié)論.能量傳遞時(shí)間與兩擺懸點(diǎn)間水平距離有關(guān).對(duì)于同一根水平繩、同一個(gè)擺，如果懸點(diǎn)之間距離不變，只改變振幅，根據(jù)周期公式可得周期是不變的，從而得出能量傳遞的時(shí)間不變.這就是前面實(shí)驗(yàn)第3個(gè)結(jié)論，即能量傳遞時(shí)間與單擺振幅無關(guān).

學(xué)生課外探究與思考：若初始狀態(tài)將質(zhì)量相同的A，B兩小球懸掛在同一細(xì)線上，給A施加一個(gè)水平初速度v0，使A球擺動(dòng)起來，現(xiàn)象又會(huì)有什么不同？試解釋之.

3 課外鞏固與思考

（1）（1999年高考上海卷）在做“用單擺測定重力加速度”的實(shí)驗(yàn)時(shí)，用擺長L和周期T計(jì)算重力加速度的公式是g＝______.如果已知擺球的直徑為2.00cm，讓刻度尺的零點(diǎn)對(duì)準(zhǔn)擺線的懸點(diǎn)，擺線豎直下垂，如圖9所示，那么單擺的擺長是______cm.如果測定了40次全振動(dòng)的時(shí)間如圖10中的秒表所示，那么秒表的讀數(shù)是______s，單擺的振動(dòng)周期是______s.

圖9

圖10

（2）某山高聳入云，兩登山運(yùn)動(dòng)員想估算一下山頂?shù)缴侥_的高度，但他們沒有帶尺，也沒有手表等計(jì)時(shí)裝置.他們開動(dòng)腦筋，在背包上抽出一根較長的細(xì)線，兩人合作在山腳和山頂各做了一次實(shí)驗(yàn)，便估算出了山的高度（設(shè)他們的身體狀況沒有因?yàn)榈巧交顒?dòng)而改變，地球半徑R為已知，山腳下重力加速度g0＝9.8m／s2）.請(qǐng)回答：

1）實(shí)驗(yàn)原理：_____________________.

2）簡要步驟及記錄的數(shù)據(jù)：__________.

3）計(jì)算山的高度的表達(dá)式：__________.

（3）如何用秒表和單擺測地球的平均密度？請(qǐng)闡明簡要步驟.（地球半徑R已知）

（4）將一單擺裝置豎直懸掛于某一深度為h（未知）且開口向下的小筒中（單擺的下部分露于筒外），如圖10（a）所示，將懸線拉離平衡位置一個(gè)小角度后由靜止釋放，設(shè)單擺振動(dòng)過程中懸線不會(huì)碰到筒壁，如果本實(shí)驗(yàn)的長度測量工具只能測量出筒的下端口到擺球球心之距l(xiāng)，并通過改變l，測出對(duì)應(yīng)的擺動(dòng)周期T，再以T2為縱軸，l為橫軸作出函數(shù)關(guān)系圖像，就可以通過此圖像得出小筒的深度h和當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣?

圖10

1）如果實(shí)驗(yàn)中所得到的T2－l關(guān)系圖像如圖10（b）所示，那么真正的圖像應(yīng)該是a，b，c中的__________.

2）由圖像可知，小筒的深度h＝__________m；當(dāng)?shù)刂亓铀俣萭＝__________m／s2.