普通積分與隨機積分的異同探究
2014-07-11 12:40:04史瓊怡畢露霞
新課程·中旬 2014年4期
史瓊怡 畢露霞
摘 要：選取黎曼積分、黎曼—斯第杰斯積分作為普通積分，伊藤積分作為隨機積分探究普通微積分與隨機微積分的異同，分別比較三種積分在定義、性質上的異同點，并著重探討它們的差異性。隨機積分的求解可根據普通積分定義的四個步驟進行，可認為是普通積分的延伸。但由于兩者的性質不同，它與普通積分有著較為明顯的差異。從它們的圖像、積分過程的取分割點、收斂性方面討論它們的差異性，并得出結論。
關鍵詞：黎曼積分；伊藤積分；異同；收斂
在普通積分里面，積分變量就是一般的實變量，而隨機微積分的積分變量是布朗運動，在數學上嚴格的定義和構造布朗運動較為復雜。以下對普通積分與隨機積分的異同探究時，我們分別選取黎曼積分、黎曼—斯第杰斯積分作為普通積分的代表，以伊藤積分作為隨機積分的代表，比較它們在定義、性質上的異同點，并著重探討它們的差異性。
一、相同點及聯系
1.黎曼積分、黎曼—斯第杰斯積分
2.隨機積分
iv.求極限R：由于布朗運動的性質，它在任何有限區間上，布朗運動無有界變差。因此，求解隨機積分不能用通常意義上的R-S積分規則來處理。
歸納總結：由上分析可歸納得：隨機積分的求解可根據普通積分定義的四個步驟進行，可認為是普通積分的延伸。
二、普通積分與隨機積分的差異性
1.圖像比較
設一個隨機過程（Bt）t∈[0，∞），它在一個微小時間間隔Δt之間內的變化為ΔB。若遵循布朗運動，則需滿足兩個條件：
（2）對于任何兩個不同時間間隔，ΔB的值相互獨立。
2.積分過程取點比較
由上分析知：隨機積分的分割點的取法將影響積分值，而普通積分的結果與分割點的取法無關。
3.收斂性比較
黎曼積分存在的充分條件是：被積函數連續且僅有有限個間斷點；黎曼—斯第杰斯積分存在，則需滿足以下兩個條件：
（1）f（x），g（x）在0，1上沒有相同的間斷點；
（2）f（x）有p-有界變差，g（x）有q-有界變差，p-1+q-1>1。
果明顯不同。
4.積分結果比較
普通積分結果為常數或含有參數的式子，但在隨機積分中積分結果含有隨機變量BT（w）。
歸納總結：隨機微積分與普通微積分有較多不同之處，從圖像來看，布朗運動關于自身的變上限Ito隨機積分的圖像處處連續但不可導，而變上限的普通積分的圖像處處可導；從積分過程的取分割點來看，隨機積分中不同的分割點對積分結果有直接的影響，但普通積分中的分割取點與積分結果無關；在收斂性方面，隨機積分為均方收斂，普通積分中為逐點收斂；普通積分結果為常數或含有參數的式子，但在隨機積分中結果含有隨機變量。
參考文獻：
[1]張卓奎，陳慧嬋.隨機過程[M].西安電子科技大學出版社，2003.
[2]Lawrence C. Evans. An Introduction To Stochastic Differen-tial Equations[M].Version1.2，UC Berkeley，2006.
[3]華東師范大學數學系.數學分析：第四版.高等教育出版社，2010.
[4]麥考斯基.隨機分析基礎：英文版.（Elementary Stochastic Calculus.世界圖書出版公司，2009.
（作者單位 浙江師范大學）
編輯 王團蘭endprint
摘 要：選取黎曼積分、黎曼—斯第杰斯積分作為普通積分，伊藤積分作為隨機積分探究普通微積分與隨機微積分的異同，分別比較三種積分在定義、性質上的異同點，并著重探討它們的差異性。隨機積分的求解可根據普通積分定義的四個步驟進行，可認為是普通積分的延伸。但由于兩者的性質不同，它與普通積分有著較為明顯的差異。從它們的圖像、積分過程的取分割點、收斂性方面討論它們的差異性，并得出結論。
關鍵詞：黎曼積分；伊藤積分；異同；收斂
在普通積分里面，積分變量就是一般的實變量，而隨機微積分的積分變量是布朗運動，在數學上嚴格的定義和構造布朗運動較為復雜。以下對普通積分與隨機積分的異同探究時，我們分別選取黎曼積分、黎曼—斯第杰斯積分作為普通積分的代表，以伊藤積分作為隨機積分的代表，比較它們在定義、性質上的異同點，并著重探討它們的差異性。
一、相同點及聯系
1.黎曼積分、黎曼—斯第杰斯積分
2.隨機積分
iv.求極限R：由于布朗運動的性質，它在任何有限區間上，布朗運動無有界變差。因此，求解隨機積分不能用通常意義上的R-S積分規則來處理。
歸納總結：由上分析可歸納得：隨機積分的求解可根據普通積分定義的四個步驟進行，可認為是普通積分的延伸。
二、普通積分與隨機積分的差異性
1.圖像比較
設一個隨機過程（Bt）t∈[0，∞），它在一個微小時間間隔Δt之間內的變化為ΔB。若遵循布朗運動，則需滿足兩個條件：
（2）對于任何兩個不同時間間隔，ΔB的值相互獨立。
2.積分過程取點比較
由上分析知：隨機積分的分割點的取法將影響積分值，而普通積分的結果與分割點的取法無關。
3.收斂性比較
黎曼積分存在的充分條件是：被積函數連續且僅有有限個間斷點；黎曼—斯第杰斯積分存在，則需滿足以下兩個條件：
（1）f（x），g（x）在0，1上沒有相同的間斷點；
（2）f（x）有p-有界變差，g（x）有q-有界變差，p-1+q-1>1。
果明顯不同。
4.積分結果比較
普通積分結果為常數或含有參數的式子，但在隨機積分中積分結果含有隨機變量BT（w）。
歸納總結：隨機微積分與普通微積分有較多不同之處，從圖像來看，布朗運動關于自身的變上限Ito隨機積分的圖像處處連續但不可導，而變上限的普通積分的圖像處處可導；從積分過程的取分割點來看，隨機積分中不同的分割點對積分結果有直接的影響，但普通積分中的分割取點與積分結果無關；在收斂性方面，隨機積分為均方收斂，普通積分中為逐點收斂；普通積分結果為常數或含有參數的式子，但在隨機積分中結果含有隨機變量。
參考文獻：
[1]張卓奎，陳慧嬋.隨機過程[M].西安電子科技大學出版社，2003.
[2]Lawrence C. Evans. An Introduction To Stochastic Differen-tial Equations[M].Version1.2，UC Berkeley，2006.
[3]華東師范大學數學系.數學分析：第四版.高等教育出版社，2010.
[4]麥考斯基.隨機分析基礎：英文版.（Elementary Stochastic Calculus.世界圖書出版公司，2009.
（作者單位 浙江師范大學）
編輯 王團蘭endprint
摘 要：選取黎曼積分、黎曼—斯第杰斯積分作為普通積分，伊藤積分作為隨機積分探究普通微積分與隨機微積分的異同，分別比較三種積分在定義、性質上的異同點，并著重探討它們的差異性。隨機積分的求解可根據普通積分定義的四個步驟進行，可認為是普通積分的延伸。但由于兩者的性質不同，它與普通積分有著較為明顯的差異。從它們的圖像、積分過程的取分割點、收斂性方面討論它們的差異性，并得出結論。
關鍵詞：黎曼積分；伊藤積分；異同；收斂
在普通積分里面，積分變量就是一般的實變量，而隨機微積分的積分變量是布朗運動，在數學上嚴格的定義和構造布朗運動較為復雜。以下對普通積分與隨機積分的異同探究時，我們分別選取黎曼積分、黎曼—斯第杰斯積分作為普通積分的代表，以伊藤積分作為隨機積分的代表，比較它們在定義、性質上的異同點，并著重探討它們的差異性。
一、相同點及聯系
1.黎曼積分、黎曼—斯第杰斯積分
2.隨機積分
iv.求極限R：由于布朗運動的性質，它在任何有限區間上，布朗運動無有界變差。因此，求解隨機積分不能用通常意義上的R-S積分規則來處理。
歸納總結：由上分析可歸納得：隨機積分的求解可根據普通積分定義的四個步驟進行，可認為是普通積分的延伸。
二、普通積分與隨機積分的差異性
1.圖像比較
設一個隨機過程（Bt）t∈[0，∞），它在一個微小時間間隔Δt之間內的變化為ΔB。若遵循布朗運動，則需滿足兩個條件：
（2）對于任何兩個不同時間間隔，ΔB的值相互獨立。
2.積分過程取點比較
由上分析知：隨機積分的分割點的取法將影響積分值，而普通積分的結果與分割點的取法無關。
3.收斂性比較
黎曼積分存在的充分條件是：被積函數連續且僅有有限個間斷點；黎曼—斯第杰斯積分存在，則需滿足以下兩個條件：
（1）f（x），g（x）在0，1上沒有相同的間斷點；
（2）f（x）有p-有界變差，g（x）有q-有界變差，p-1+q-1>1。
果明顯不同。
4.積分結果比較
普通積分結果為常數或含有參數的式子，但在隨機積分中積分結果含有隨機變量BT（w）。
歸納總結：隨機微積分與普通微積分有較多不同之處，從圖像來看，布朗運動關于自身的變上限Ito隨機積分的圖像處處連續但不可導，而變上限的普通積分的圖像處處可導；從積分過程的取分割點來看，隨機積分中不同的分割點對積分結果有直接的影響，但普通積分中的分割取點與積分結果無關；在收斂性方面，隨機積分為均方收斂，普通積分中為逐點收斂；普通積分結果為常數或含有參數的式子，但在隨機積分中結果含有隨機變量。
參考文獻：
[1]張卓奎，陳慧嬋.隨機過程[M].西安電子科技大學出版社，2003.
[2]Lawrence C. Evans. An Introduction To Stochastic Differen-tial Equations[M].Version1.2，UC Berkeley，2006.
[3]華東師范大學數學系.數學分析：第四版.高等教育出版社，2010.
[4]麥考斯基.隨機分析基礎：英文版.（Elementary Stochastic Calculus.世界圖書出版公司，2009.
（作者單位 浙江師范大學）
編輯 王團蘭endprint
