數(shù)學(xué)教學(xué)中類比思想的培養(yǎng)

丁惠清 周逸波

牛頓發(fā)現(xiàn)了萬有引力定律，提出兩個物體之間的引力大小與它們質(zhì)量的乘積成正比，與它們之間距離的平方成反比。庫侖在研究電荷后想，兩靜電荷之間的作用力（庫侖力），它的大小符合什么樣的規(guī)律呢？他根據(jù)萬有引力定律，大膽猜想，得出了著名的庫侖定律：庫侖力的大小類似于萬有引力，即與電量強(qiáng)度的乘積成正比，與它們之間距離的平方成反比，并通過實(shí)驗(yàn)，證實(shí)了自己的猜想。庫侖在萬有引力的基礎(chǔ)上，通過類比，得出庫侖定律。難怪英國物理學(xué)家開普勒感嘆道：類比是我最好的老師。可見，類比思想在知識的創(chuàng)新過程中，起著多么重要的作用。

類比就是從一類事物所具有的屬性，通過聯(lián)想，得到另一類事物也具有類似屬性的思想方法。通過類比，可以創(chuàng)造新的命題，它是創(chuàng)造性思維的源泉之一。在日常教學(xué)中，如何滲透類比思想呢？

一、培養(yǎng)學(xué)生類比思想的切入點(diǎn)

（1）從已知的數(shù)學(xué)“概念”出發(fā)。數(shù)學(xué)的概念教學(xué)，是數(shù)學(xué)課中很重要的組成部分，但往往被忽視，認(rèn)為記住概念就可以了。其實(shí)，數(shù)學(xué)概念蘊(yùn)含著豐富的內(nèi)涵，有些概念往往可作為培養(yǎng)學(xué)生類比思想的好素材。比如：（凸）多邊形和（凸）多面體概念。多邊形：由三條或三條以上的線段（邊）圍成的封閉的平面圖形。多面體：由四個或四個以上的多邊形（面）圍成的封閉的幾何體。多邊形有關(guān)的概念：角、邊長、頂點(diǎn)、高、面積等。多面體有關(guān)的概念：二面角、表面積、頂點(diǎn)、體高、體積等。可以發(fā)現(xiàn)：兩概念極為相似。因此，平面幾何與立體幾何之間可能存在某些類似性質(zhì)。要研究這些性質(zhì)，得先找出兩者之間一些概念的對應(yīng)關(guān)系。可以引導(dǎo)學(xué)生，從兩者的定義出發(fā)，導(dǎo)出兩者之間可能存在的類比規(guī)律：平面圖形由“邊”圍成，立體圖形由“面”圍成，顯然“邊”對應(yīng)“面”；某一“邊長”對應(yīng)某一面的“面積”；兩邊構(gòu)成“角”，兩面構(gòu)成“二面角”，那么“角”對應(yīng)“二面角”；多邊形的“頂點(diǎn)”對應(yīng)多面體的“頂點(diǎn)”；多邊形的“面積”對應(yīng)多面體的“體積”等等。（篇幅所限，圖略）從熟悉的數(shù)學(xué)概念著手，培養(yǎng)學(xué)生類比的思想，既強(qiáng)化概念學(xué)習(xí)的重要性，又親身體驗(yàn)了類比規(guī)律得出的過程，學(xué)生比較容易接受。下面，是類比規(guī)律的運(yùn)用、驗(yàn)證示例。

例1：真命題：平面幾何中有如下命題：正三角形內(nèi)（或邊上）任意一點(diǎn)到三邊的距離之和等于正三角形的高。請運(yùn)用類比和聯(lián)想把此命題推廣到空間，寫出類似的命題并證明是否成立。

根據(jù)類比規(guī)律，可得以下命題：正四面體內(nèi)（或面上）任意一點(diǎn)到四個面的距離之和等于正四面體的高。

例2：任意△ABC中有余弦定理：AB2=BC2+AC2-2BC·AC·cos∠ACB. 類比余弦定理，寫出斜三棱柱的三個側(cè)面積之間的關(guān)系式并證明。

根據(jù)類比規(guī)律，可得以下命題：S2■AA■C■C=S2■■+S2■■-2S■·S■·COSa （a是二面角A-BB1-C的大小）

（2）從數(shù)學(xué)中一些公式的“形”出發(fā)。數(shù)學(xué)中有很多公式，教師一般比較強(qiáng)調(diào)公式的應(yīng)用，但對于利用有些公式“形”來對學(xué)生進(jìn)行類比思想的培養(yǎng)則比較忽視。而利用公式的“形”培養(yǎng)學(xué)生的類比意識，是一種非常直觀，學(xué)生比較容易接受的方式。比如等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式。等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：an=a1+（n-1）d，an = am+（n-m）d；等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：an=a1qn-1 ，an=amqn-m（m，n∈N*）。可以把公式變形：an=a1+d+d+…+d？圮（類比）an=a1×q×q×…×q，an-am=（n-m）d？圮（類比）■=qn-m。學(xué)生通過觀察、分析上述公式，容易得出兩種數(shù)列之間可能存在的類比規(guī)律：

等比數(shù)列 d + - 0 系數(shù)

類比規(guī)律 ？鄴 ？鄴 ？鄴 ？鄴 ？鄴

等差數(shù)列 q × ÷ 1 指數(shù)

一些常見的滿足上述類比規(guī)律公式：①若m、n、k、l？綴N？鄢，且m+n=k+l，在等差數(shù)列中am+an=ak+al ；在等比數(shù)列中aman=akal 。②a、b、c成等差數(shù)列，則2b=a+c；a、b、c成等比數(shù)列，則b2=ac。③數(shù)列a■為等差數(shù)列，前n項(xiàng)的和Sn=na1+■d；數(shù)列a■為等比數(shù)列，前n項(xiàng)的積Tn=a■■q■，等等。類比規(guī)律的運(yùn)用、驗(yàn)證示例如下。

例3：真命題：等差數(shù)列a■中，■=■成立，請把此性質(zhì)推廣到等比數(shù)列中，并證明是否成立。

根據(jù)此等式的特點(diǎn)，利用類比規(guī)律容易得出結(jié)論：在等比數(shù)列a■中，如果an>0，則等式（a■×a■）■=（a■×a■×…×a■）■成立。

例4：a■，a■，…，a■是公差為d的等差數(shù)列a■中的任意m項(xiàng)，若■=p+■，（0？燮r

根據(jù)此等式的特點(diǎn)，利用類比規(guī)律可以得出結(jié)論：a■，a■，…，a■是公比為q的等比數(shù)列a■中的任意m項(xiàng)（an>0），若■=p+■，（0？燮r

（3）從某一數(shù)學(xué)對象所具有的“性質(zhì)”出發(fā)。在同一類數(shù)學(xué)對象所構(gòu)成的集合中，如果某一個對象具有某種性質(zhì)，那么其他數(shù)學(xué)對象是否也具有類似的性質(zhì)呢？通過引導(dǎo)學(xué)生對一些已知的數(shù)學(xué)性質(zhì)的研究，可以培養(yǎng)學(xué)生的類比思想。比如：在圓錐曲線中，雙曲線具有某種性質(zhì)，那么同屬于圓錐曲線的橢圓是否也具有這樣的性質(zhì)？

例5：真命題：雙曲線■-■=1具有如下性質(zhì)：若直線x=t交雙曲線于P、Q兩點(diǎn)，A1、A2為雙曲線的頂點(diǎn)，則A1P、A2Q的交點(diǎn)的軌跡是橢圓■+■=1，請運(yùn)用類比的思想，對橢圓■+■=1寫出類似的性質(zhì)并證明是否成立。

分析：雙曲線和橢圓都有頂點(diǎn)，但雙曲線有兩個，而橢圓有四個，那么雙曲線的頂點(diǎn)到底對應(yīng)橢圓的哪兩個頂點(diǎn)呢？教師可讓學(xué)生大膽想象，同時可以利用幾何畫板來驗(yàn)證各種情形，總結(jié)出類比規(guī)律：實(shí)軸？圮長軸，短軸？圮虛軸。根據(jù)類比規(guī)律，可以得出以下結(jié)論：若直線x=t交橢圓■+■=1于P、Q兩點(diǎn)，A1、A2為橢圓長軸上的兩頂點(diǎn)，則A1P、A2Q的交點(diǎn)的軌跡是雙曲線■-■=1。

類似此例，通過對雙曲線性質(zhì)的研究，得出同屬于圓錐曲線的橢圓的類似性質(zhì)，這種類比方法屬于平行類比。在圓錐曲線中，有很多性質(zhì)都可以通過平行類比，創(chuàng)造出新命題。教師可以充分利用圓錐曲線的性質(zhì)，對學(xué)生進(jìn)行類比思想的培養(yǎng)。（篇幅所限，例略）

二、類比思想運(yùn)用過程中的幾個注意點(diǎn)

（1）類比不是命題的簡單改寫。在教學(xué)過程中，我發(fā)現(xiàn)有些同學(xué)把利用類比思想構(gòu)造新命題的過程，簡單地理解為命題的改寫，產(chǎn)生不少錯誤。比如例3、例4中，漏了an>0這個等式成立的先決條件，例5中，把“雙曲線的頂點(diǎn)”寫成“橢圓的頂點(diǎn)”。在開展類比教學(xué)過程中，要向?qū)W生強(qiáng)調(diào)：類比研究的對象是兩類數(shù)學(xué)對象或同一類數(shù)學(xué)對象不同個體，它們之間雖然可能具有相似性，但也分別具有自身的特性，必須區(qū)分清楚兩者的不同之處，才能進(jìn)行合理類比。

（2）通過類比得到的新命題未必成立。類比聯(lián)想僅僅是構(gòu)造新命題的一種方法，但所得命題未必成立。要讓學(xué)生深刻地意識到：對于類比所得新命題，必須經(jīng)過證明，才能判斷其真假。合理類比，大膽聯(lián)想，嚴(yán)格求證，才是科學(xué)的思想方法。

（3）論證方法的類比運(yùn)用。在證明利用類比思想所得的新命題時，有些命題的論證方法可以與原命題的論證方法類比運(yùn)用。比如：例1中，原命題可以把三角形分割成三個小三角形，利用“等面積”證明，新命題可以把正四面體分割成四個小四面體，利用“等體積”證明；例3中原命題可以利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式證明，新命題可以利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式證明，還有例4、例5的性質(zhì)2都是如此。這種證明方法的遷移，可以讓學(xué)生進(jìn)一步增強(qiáng)類比意識。

總之，要培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神，教師就應(yīng)該重視對學(xué)生的類比思想的培養(yǎng)。在日常教學(xué)過程中，根據(jù)教材的內(nèi)容，適時地對學(xué)生滲透類比的意識。將一些最為基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)概念、公式、性質(zhì)這些學(xué)生比較熟悉的知識作為切入點(diǎn)，這樣學(xué)生就比較容易理解、接受和掌握。

（上海市川沙中學(xué)）