三次可展Bezier曲面的構造

顧春燕，林意

江南大學數字媒體學院，江蘇無錫 214122

三次可展Bezier曲面的構造

顧春燕，林意

江南大學數字媒體學院，江蘇無錫 214122

可展曲面在很多的工程領域里，尤其在機械工程設計中有著重要的作用，例如飛機機翼、汽車車身、船體、鞋和服裝等的設計與制造等。在空間的一平面上分別生成2條3次Bezier曲線，該平面繞一固定軸旋轉不同角度，生成兩個相交的平面，這2條3次Bezier曲線跟隨旋轉，分別位于兩相交平面上，并由這兩條曲線生成直紋面。根據直紋面可展的充要條件，求解出未知的設計曲線和伴隨曲線的控制頂點，最終生成3次可展Bezier曲面。

Bezier曲線；可展曲面；Bezier曲面；直紋面；控制頂點

1 引言

可展曲面在很多的工程領域里，尤其在機械工程設計中有著重要的作用，例如飛機機翼、汽車車身、船體、鞋和服裝、管道等的設計與制造等，可用若干可展曲面片拼裝而成。R.M.C.Bodduluri和B.Ravani[1]利用射影幾何的方法構造可展曲面，由于這類可展曲面的控制頂點的幾何含義不明顯，所以不利于實際應用。J.Lang和O. Roschel[2]構造了一種(1，n)次有理Bezier可展曲面，由于過于簡單，在實際應用中遇到很多困難。J.Hoschek[3]研究了可展曲面的一類插值及逼近問題，并對可展曲面的性質做了一些討論，而它們的幾何性質還需進一步研究。G.Aumann[4-6]在兩個平行面上分別給出設計曲線，有設計曲線來設計可展曲面。根據直紋面是可展面的條件，得到關于兩條設計曲線的導數和匹配函數之間的約束關系，再解出滿足可展曲面的條件，但對兩條曲線的限制非常嚴格，有時難以滿足設計要求的可展曲面。Chu C.H和Sequin C.H[7]研究了二、三次Bezier可展曲面的條件和設計，并討論了設計自由度。王樹勛和葉正麟[8]利用de Casteljau算法提出了（2，3）次可展曲面的新設計方法，該方法易于控制曲面形狀。孟雅琴[9]在G. Aumann[4-6]基礎上擴展到更一般的情形，選取兩個相交平面，由設計曲線和伴隨曲線生成來構造可展曲面，此方法唯一的缺憾是存在特殊平面（如，XOZ面和YOZ面），在特殊平面上無法得到能生成可展曲面的設計曲線和伴隨曲線。

本文將在文獻[9]的基礎上進行改進，利用繞固定軸旋轉的方法生成兩個相交平面，使得在所有面上都能得到生成可展曲面的設計曲線和伴隨曲線。

2 3次可展Bezier曲面的設計

設兩個平面π1和π2相交于直線L，不失一般性，建立空間直角坐標系，使Z軸在直線L上，平面π1和π2的方程為：

只有當方程組（9）的系數矩陣退化時，齊次方程組有非零解，即可以求出不全為零的設計曲線控制頂點的x分量。

當γ0=γ1-1時，解方程組（9）得：

由于式（9）和式（10）的系數矩陣與式（11）和式（12）的系數矩陣分別相同，且其秩均為3，故若要式（11）和式（12）有解，其增廣矩陣的秩應為3，所以q0，q1，q2，q3應滿足如下約束關系：

3 改進后的3次可展Bezier曲面的設計

由上述3次可展Bezier曲線的構造過程可知，當兩個構造平面相交于Z軸時，設計平面和伴隨平面是不能位于XOZ和YOZ平面的，因為XOZ平面的α=0，YOZ平面的α不存在。下面為解決此問題，提出了改進算法，讓曲面的構造更加靈活。

設設計平面π1和伴隨平面π2由XOZ面繞Z軸逆時針旋轉θ1和θ2得到，θ1≠θ2，θ1，θ2∈[] 0，360°。

當θ1=0，θ2=90°時，式（17）即為：

當γ0=γ1-1時，設計曲線的控制頂點坐標的x，y分量如下（z分量不變）：

當β0=β1-1時，伴隨曲線的控制頂點坐標的x，y分量如下（z分量不變）：

4 改進后3次可展Bezier曲面的構造實例

（1）θ1=0，θ2=40°時，可展曲面如圖1所示。

圖1 θ1=0，θ2=40°時可展曲面

（2）θ1=0，θ2=90°時，可展曲面如圖2所示。

（3）θ1=30°，θ2=100°時，可展曲面如圖3所示。

（4）θ1=70°，θ2=180°時，可展曲面如圖4所示。

圖2 θ1=0，θ2=90°時可展曲面

圖3 θ1=30°，θ2=100°時可展曲面

圖4 θ1=70°，θ2=180°時可展曲面

5 結束語

本文在由文獻[5]的基礎上對可展Bezier曲面進行了改進，利用繞固定軸旋轉的方法，使得平面的選取更加靈活自由，且此方法解決了α=0和α不存在時這兩種情況下，設計曲線和伴隨曲線不能生成的問題；相比較α，角度可以更直觀地了解兩平面的位置關系，在實際應用中更加簡單方便，實用性較強。

[1]Bodduluri R M C，Ravani B.Design of developable surfaces using dualitybet ween plane and point geometries[J]. Computer Aided Design，1993，15（10）：621-632.

[2]Lang J，Roschel O.Developable（1，n）-Bezier surfaces[J]. Computer Aided Geometric Design，1992，9（4）：291-298.

[3]Hoschek J.Dual Bezier curves and surfaces[M]//Surfaces in computeraided geometric design.[S.l.]：North Holland，1983：147-156.

[4]Aumann G.Interpolation with developable Bezier patches[J]. Computer Aided Geometric Design，1991，8（5）：409-420.

[5]Aumann G.A simple algorithm for designing developable Bezier surfaces[J].Computer Aided Geometric Design，2003，20（8/9）：601-619.

[6]Aumann G.Degree elevation and developable Bezier surfaces[J].Computer Aided Geometric Design，2004，21（7）：661-670.

[7]Chu C H，Sequin C H.Developable Bezier patches：properties and design[J].Computer Aided Design，2002，34（7）：511-527.

[8]王樹勛，葉正麟.基于直紋面的可展Bezier曲面的設計[J].計算機工程與應用，2008，44（17）：27-32.

[9]孟雅琴.可展曲面的構造與插值研究[M].上海：上海交通大學出版社，2010：45-64.

GU Chunyan,LIN Yi

College of Digital M edia,Jiangnan University,Wuxi,Jiangsu 214122,China

Developable surfaces have an important role in many engineering fields, especially in the design of mechanical engineering such as aircraft wing, auto body, hull, shoes and clothing. In the three-dimensional space, two cubic Bezier curves are generated in a plane. The plane rotates different angles by a fixed axis to generate two intersecting planes. The two cubic Bezier curves located on the two intersecting planes follow the plane rotating. Then, a ruled surface is generated.According to the necessary and sufficient conditions of developable ruled surface, the unknown control vertices of design curve and accompanied curve are calculated. Finally, developable cubic Bezier surfaces are generated.

Bezier curve; developable surfaces; Bezier surfaces; ruled surfaces; control points

GU Chunyan,LIN Yi.Design of developab le cubic Bezier sur faces.Computer Engineering and Applications,2014, 50（17）：169-172.

A

TP391

10.3778/j.issn.1002-8331.1210-0113

顧春燕（1988—），女，碩士研究生，研究方向：計算機輔助幾何設計；林意（1963—），男，博士，副教授，研究生導師，研究方向：計算機輔助幾何造型技術、計算機圖形學。E-mail：337927012@qq.com

2012-10-12

2012-12-05

1002-8331（2014）17-0169-04

CNKI網絡優先出版：2013-01-11,http://www.cnki.net/kcm s/detail/11.2127.TP.20130111.0951.010.htm l