雙極值模糊軟子群和雙極值模糊正規軟子群

殷霞，廖祖華，章里程，朱曉英

江南大學理學院，江蘇無錫 214122

雙極值模糊軟子群和雙極值模糊正規軟子群

殷霞，廖祖華，章里程，朱曉英

江南大學理學院，江蘇無錫 214122

研究了雙極值模糊軟子群的等價刻畫。在雙極值模糊軟子群的基礎上定義了雙極值模糊正規軟子群，得到了它的一些性質及等價刻畫，進一步還研究了在雙極值模糊軟同態下，雙極值模糊正規軟子群的像與原像一些性質。

雙極值模糊軟集；雙極值模糊軟子群；雙極值模糊正規軟子群；雙極值模糊軟同態

1 引言

1999年，俄羅斯學者M olodtsov[1]提出了軟集的概念，軟集是一種全新的處理不確定性、不精確性問題的數學工具。2003年，M aji[2]等給出了軟集的運算及它們的基本性質。此后，基于這些運算，軟集被廣泛應用到數學、信息科學、計算科學等各個學科領域，并取得了很大的成就[3-8]。

給定一個初始論域X和一個參數集A，X上軟集就是從參數集A到X的冪集的一個集值函數。但是一般的集合沒有代數結構，為了豐富軟集理論，建立軟集的代數結構，2007年Akta?和?a?man[9]在研究軟集理論的基礎上，首次把軟集理論應用到群論中，提出了軟群的概念：設G是一個群，(F，A)是群G上的軟集，稱軟集(F，A)是群G上的軟群當且僅當? ε∈A，F(ε)是G的子群。在此基礎上，Akta?和?a?man研究并討論了軟群的一些基本性質，初步建立了軟群理論。之后，許多學者將這一定義的方式拓展到其他的代數系統上，深入研究了軟集的代數性質[10-16]，這些研究工作對代數學的發展起到了極大的推動作用。

1994年，Zhang[17]給出了模糊集的一種推廣即雙極值模糊集。隨著研究的不斷深入，楊文華[18]等將軟集與雙極值模糊集相結合提出了雙極值模糊軟集的概念，研究了它們的運算及性質，這使軟集理論進一步得到了充實。利用這一概念，殷霞[19]等將雙極值模糊軟集應用到群論中，提出了雙極值模糊（反）軟子群的概念并研究了它們的基本性質。本文在前面工作的基礎上，進一步研究了雙極值模糊軟子群的等價刻畫，提出了雙極值模糊正規軟子群的概念，并討論了它的代數性質。

2 預備知識

本章給出雙極值模糊集、模糊軟集、雙極值模糊軟集等基本概念，同時定義群上雙極值模糊軟集的一些運算并給出其基本性質。

定義2.1[17]設X是一個初始論域，μP:X→[0， 1]，μN:X→[-1， 0]是兩個映射，則稱B={(x，μP(x)，μN(x))| x∈X}是X上的一個雙極值模糊集，簡記為B= (，μ)。這里，正隸屬度μ(x)表示元素x關于雙極值模糊集B對某性質的滿足度，負隸屬度μ(x)表示元素x關于雙極值模糊集B對這種性質的相反性質的滿足度。

設X是一個初始論域，X上的所有雙極值模糊集的全體記為BFX。

定義2.2[3]設X是一個論域，E是參數集，A?E，X上的一個模糊軟集是指序對(F，A)，其中F:A→IX( I=[0，1])是一個映射，即? ε∈A，F(ε):X→I是X上的模糊集合。

定義2.3[18]設X是一個論域，E是參數集，A?E，X上的一個雙極值模糊軟集是指一個序對(F，A)，其中F:A→BFX是一個映射。

換句話說，一個X上雙極值模糊軟集就是X上的一些雙極值模糊集構成的參數族。即? ε∈A，F(ε)是一個與ε相關的X上的雙極值模糊集

定義2.4[18]設X是一個論域，E是參數集，A，B?E，(F，A)和(K，B)是X上的兩個雙極值模糊軟集，若(F，A)和(K，B)滿足下列兩個條件：

（1）A?B。

（2）? ε∈A，F(ε)是K(ε)的雙極值模糊子集，即是(K，B)的雙極值模糊軟子集，記為(F，A)(K，B)。

定義2.5[18]設(F，A)和(K，B)是X上的兩個雙極值模糊軟集，若(F，A)K，B)且(K，B)(F，A)，則稱(F，A)和(K，B)是雙極值模糊軟相等的。

下面取初始論域X為群G，定義群上雙極值模糊軟集的乘積與逆運算，并給出這兩種運算的基本性質。

定義2.6設(F，A)和(K，B)是群G上的兩個雙極值模糊軟集，稱雙極值模糊軟集(H，C)是(F，A)與(K，B)的乘積，記作(H，C)=(F，A)(K，B)，如果C= A∩B，且?ε∈C，?z∈G有：

定義2.7設(F，A)是群G上的雙極值模糊軟集，稱雙極值模糊軟集(F-1，A)是(F，A)的逆，記作(F，A)-1= (F-1，A)，如果?ε∈A，?x∈G有：

性質2.1設(F，A)和(K，B)是群G上的兩個雙極值模糊軟集，則

3 雙極值模糊軟子群的等價刻畫

本章中在文獻[19]的基礎上進一步給出群G上的雙極值模糊軟子群的一些等價刻畫。

定義3.1[19]設(F，A)是群G上的雙極值模糊軟集，稱(F，A)是G的雙極值模糊軟子群，如果? ε∈A，? x，y∈G有：

定理3.1[19]設(F，A)是群G上的雙極值模糊軟集，則(F，A)是G的雙極值模糊軟子群當且僅當? ε∈A，? x，y∈G有：

定理3.2設(F，A)是群G上的雙極值模糊軟集，則(F，A)是群G的雙極值模糊軟子群當且僅當(F，A)(F，A)(F，A)，(F，A)(F，A)-1。

證明由引理3.2、引理3.3及定義3.1即得。

定理3.3設(F，A)是群G上的雙極值模糊軟集，則(F，A)是群G的雙極值模糊軟子群當且僅當(F，A)(F，A)-1(F，A)。

證明必要性：(F，A)是群G的雙極值模糊軟子群，則由定理3.2可得(F，A)(F，A)(F，A)，(F，A)(F，A)-1。由性質2.1（4）得(F，A)=(F，A)-1，從而(F，A)(F，A)-1(F，A)。

定理3.4設(F，A)是群G的雙極值模糊軟子群則(F，A)(F，A)=(F，A)。

根據性質2.1，定理3.2及定理3.4可得下面的推論。

推論3.1設(F，A)是群G上的雙極值模糊軟集，則(F，A)是群G的雙極值模糊軟子群當且僅當(F，A)(F，A)=(F，A)，(F，A)=(F，A)-1。

定理3.5設(F，A)和(K，B)是群G的雙極值模糊軟子群，且(F，A)(K，B)=(K，B)(F，A)，則(F，A)(K，B)是群G的雙極值模糊軟子群。

證明設(F，A)和(K，B)是群G的雙極值模糊軟子群，由推論3.1得：

定義3.2[19]設(F，A)是群G上的雙極值模糊軟集，α∈[0，1]，β∈[-1，0]，? ε∈A定義：

定理3.6[19]設(F，A)是群G上的雙極值模糊軟集，則(F，A)是G的雙極值模糊軟子群當且僅當? ε∈A，? α∈[0，]，? β∈[-1，0]，當F(ε)，F(ε)非空時，F(ε)，(ε)都是G的子群。

定義3.3[19]設(F，A)和(K，B)分別是X和Y上的雙極值模糊軟集，φ是X到Y的映射，ψ是A到B的映射，則稱(φ，ψ)是X到Y的雙極值模糊軟映射。

定義3.4[19]設(F，A)和(K，B)分別是X和Y上的雙極值模糊軟集，(φ，ψ)是X到Y的雙極值模糊軟映射，定義Y上的雙極值模糊軟集(φ(F)，ψ(A))：? ε′∈ψ(A)，? y∈Y

則稱雙極值模糊軟集(φ(F)，ψ(A))是(F，A)在(φ，ψ)之下的像，記作(φ，ψ)(F，A)=(φ(F)，ψ(A))。

定義X上的雙極值模糊軟集(φ-1(K)，ψ-1(B))：? ε∈ψ-1(B)，? x∈X，

則稱雙極值模糊軟集(φ-1(K)，ψ-1(B))是(K，B)在(φ，ψ)之下的原像，記作：

定義3.5[19]設(F，A)和(K，B)分別是群G1和G2上的雙極值模糊軟集，(φ，ψ)是G1到G2的雙極值模糊軟映射，若φ是G1到G2的群同態映射，則稱(φ，ψ)是G1到G2的雙極值模糊軟同態映射。

定理3.7[19]設G1和G2是兩個群，(F，A)是G1的雙極值模糊軟子群，(φ，ψ)是G1到G2的雙極值模糊軟同態映射，則(φ，ψ)(F，A)是G2的雙極值模糊軟子群。

定理3.8[19]設G1和G2是兩個群，(K，B)是G2的雙極值模糊軟子群，(φ，ψ)是G1到G2的雙極值模糊軟同態映射，則(φ，ψ)-1(K，B)是G1的雙極值模糊軟子群。

4 雙極值模糊正規軟子群

設G是群，x，y∈G，規定xy=y-1xy，并稱xy為x在y下的共軛變形。

定義4.1設(F，A)是群G的雙極值模糊軟子群，若?ε∈A，?x，y∈G有：

則稱(F，A)是群G的雙極值模糊正規軟子群。

例設N是自然數集，G是四次對稱群S4，A4是四次交代群。G上的雙極值模糊軟集(F，N)定義如下：是G上的雙極值模糊集，這里：

容易驗證(F，N)是群G的雙極值模糊軟子群。又因為A4是S4的正規子群，所以對任意x，y∈G，有：xy∈A4?x∈A4，xy∈S4A4?x∈S4A4，從而(F，N)是群G上的雙極值模糊正規軟子群。

定理4.1設(F，A)是群G上的雙極值模糊軟集，則(F，A)是群G的雙極值模糊正規軟子群當且僅當?ε∈A，?α∈[0，1]，?β∈[-1，0]，當集合(ε)，(ε)非空時，(ε)，(ε)都是G的正規子群。

(1)?(5)設(K，B)是群G上的任意雙極值模糊軟集，記(F，A)(K，B)=(H，C)，(K，B)(F，A)=(H1，C1)，其中C=A∩B=B∩A=C1。?ε∈C，?x∈G，

定理4.2設(F，A)是群G的雙極值模糊軟子群，則下列條件等價：

（1）(F，A)是群G的雙極值模糊正規軟子群。

證明由引理4.1及定義4.1即得。

由定理3.5及定理4.2（5）可得下面的兩個定理。

定理4.3設(F，A)是群G的雙極值模糊正規軟子群，(K，B)是群G的雙極值模糊軟子群，則(F，A)(K，B)是群G的雙極值模糊軟子群。

定理4.4設(F，A)和(K，B)都是群G的雙極值模糊正規軟子群，則(F，A)(K，B)也是群G的雙極值模糊正規軟子群。

定理4.5設(F，A)是群G的雙極值模糊軟子群，則(F，A)是群G的雙極值模糊正規軟子群當且僅當?ε∈A，?x，y∈G有：

這里[x，y]是G的換位子。

證明必要性：設(F，A)是群G的雙極值模糊正規軟子群，則?ε∈A，?x，y∈G，

充分性：?ε∈A，?x，y∈G，因為(F，A)是群G的雙極值模糊軟子群，所以

推論4.1設(F，A)是群G的雙極值模糊軟子群，e是G的單位元。如果?ε∈A，?x，y∈G，有：

則(F，A)是群G的雙極值模糊正規軟子群。

定理4.6設G1，G2是兩個群，(φ，ψ)是G1到G2的雙極值模糊軟同態映射，且φ是G1到G2的滿同態。若(F，A)是群G1的雙極值模糊正規軟子群，則(φ，ψ)(F，A)是群G2的雙極值模糊正規軟子群。

證明由定理3.7知(φ，ψ)(F，A)是群G2的雙極值模糊軟子群。?ε′∈ψ(A)，?y1，y2∈G2，因為φ是G1到G2的滿同態，所以?x1，x2∈G1使得φ(x1)=y1，φ(x2)=y2，從而由此可得：

定理4.7設G1，G2是兩個群，(φ，ψ)是G1到G2的雙極值模糊軟同態映射。若(F，A)是群G2的雙極值模糊正規軟子群，則(φ，ψ)-1(F，A)是群G1的雙極值模糊正規軟子群。

證明由定理3.8知(φ，ψ)-1(F，A)是群G1的雙極值模糊軟子群。?ε∈ψ-1(A)，?x1，x2∈G1，

5 結束語

本文將雙極值模糊軟集理論應用到群上，定義了雙極值模糊正規軟子群，并研究了雙極值模糊軟子群和雙極值模糊正規軟子群的代數性質，使得對群的理論的研究又向前邁進了一步。利用這一定義方式，雙極值模糊軟集理論還可以應用到其他的代數系統中，比如環、域、模等等，使這些代數理論也得到進一步的發展。

[1]Molodtsov D A.Soft set theory-first results[J].Computers and Mathematics with Applications，1999，37（4/5）：19-31.

[2]Maji P K，Biswas R，Roy A R.Soft set theory[J].Computers and Mathematics with Applications，2003，45：555-562.

[3]Maji P K，Biswas R，Roy A R.Fuzzy soft sets[J].Journal of Fuzzy Mathematics，2001，9（3）：589-602.

[4]Ali M I，Feng Feng，Liu Xiaoyan，et al.On some new operations in soft set theory[J].Computers and Mathematics with Applications，2009，57：1547-1553.

[5]Aygünoglu A，Aygün H.Introduction to fuzzy soft groups[J].Computers and Mathematics with Applications，2009，58：1279-1286.

[6]?a?man N，Engino?lu S.Soft matrix theory and its decision making[J].Computers and Mathematics with Applications，2010，59：3308-3314.

[7]?a?man N，Engino?lu S.Soft set theory and uni-int decision making[J].European Journal of Operational Research，2010，207：848-855.

[8]?a?man N，Engino?lu S，?itak F.Fuzzy soft set theory and its applications[J].Iranian Journal of Fuzzy Systems，2011，8（3）：137-147.

[9]Akta? H，?a?man N.Soft sets and soft groups[J].Information Science，2007，177（13）：2726-2735.

[10]Feng Feng，Jun Y B，Zhao Xianzhong.Soft semirings[J].Computers and Mathematics with Applications，2008，56：2621-2628.

[11]Jun Y B.Soft BCK/BCI-algebras[J].Computers and Mathematics with Applications，2008，56：1408-1413.

[12]Jun Y B，Lee K J，Zhang Jianming.Soft p-ideals of BCIalgebras[J].Computers and Mathematics with Applications，2009，58：2060-2068.

[13]Jun Y B，Lee K J，Khan A.Soft ordered semigroups[J].Mathematical Logic Quarterly，2010，56（1）：42-50.

[14]Zhang Jianming，Jun Y B.Soft BL-algebras based on fuzzy sets[J].Computers and Mathematics with Applications，2010，59：2037-2046.

[15]Atagün A O，Sezgin A.Soft substructures of rings，fields and modules[J].Computers and Mathematics with Applications，2011，61（3）：592-601.

[16]Manemaran S V.On fuzzy soft groups[J].International Journal of Computer Applications，2011，15（7）：38-44.

[17]Zhang Wenran.Bipolar fuzzy sets and relations：a computational framework for cognitive modeling and multiagent decision analysis[C]//Proceedings of IEEE Conference，1994：305-309.

[18]楊文華，李生剛.雙極值模糊軟集[J].計算機工程與應用，2012，48（35）：15-18.

[19]殷霞，廖祖華，章里程，等.雙極值模糊（反）軟子群[J].計算機工程與應用，2013，49（19）：58-62.

YIN Xia, LIAO Zuhua, ZHANG Licheng, ZHU Xiaoying

School of Science, Jiangnan University, Wuxi, Jiangsu 214122, China

The equivalent characterizations of bipolar-value fuzzy soft subgroup are investigated. The concept of bipolarvalue fuzzy normal soft subgroup based on the bipolar-value fuzzy soft subgroup is introduced and in the meantime, some of its properties and equivalent characterizations are discussed. Furthermore, the theorems of soft homomorphic image and pre-image of bipolar-value fuzzy normal soft subgroup are given.

bipolar-value fuzzy soft set; bipolar-value fuzzy soft subgroup; bipolar-value fuzzy normal soft subgroup;bipolar-value fuzzy soft homomorphism

YIN Xia, LIAO Zuhua, ZHANG Licheng, et al. Bipolar-value fuzzy soft subgroups and bipolar-value fuzzy normal soft subgroups. Computer Engineering and Applications, 2014, 50（17）：74-79.

A

O153

10.3778/j.issn.1002-8331.1401-0055

國家自然科學基金（No.11301227）；江蘇省自然科學基金青年基金項目（No.BK 20130119）。

殷霞（1975—），女，講師，主要研究領域為有限群理論、模糊與粗糙代數；廖祖華（1957—），男，教授，主要研究領域為模糊與粗糙代數、廣義逆理論及應用、人工智能等；章里程（1972—），男，副教授；朱曉英（1964—），女，副教授。E-mail：yin-xia1975@aliyun.com

2014-01-06

2014-03-20

1002-8331（2014）17-0074-06

CNKI網絡優先出版：2014-06-20,http://www.cnki.net/kcms/doi/10.3778/j.issn.1002-8331.1401-0055.htm l