近似面齒輪傳動的齒面拓撲修形主動設計

梁德軍，彭先龍

（1.合肥江淮鑄造有限責任公司 產品研發部，合肥 231137；2.西北工業大學 機電學院，西安 710072）

0 引 言

應用無進給運動的大盤形砂輪磨齒加工面齒輪具有磨齒效率高、機床傳動結構簡單的特點，應用國內現有的制造裝備即可磨齒加工面齒輪。然而這種磨齒方法加工的面齒輪具有近似齒面，與標準的漸開線圓柱齒輪，或與有齒面修形的圓柱齒輪的嚙合性能不夠理想［1］。

為了確定弧齒錐齒輪，準雙曲面齒輪和端面蝸桿的機床調整參數并改善這些齒輪傳動的嚙合性能，Litvin［2-3］提出了局部綜合法，但是局部綜合法只能預控參考點附近的嚙合性能，因此吳訓成、曹雪梅等［4-5］在局部綜合法的基礎上提出了主動設計法。具有近似齒面的面齒輪傳動中，無論是小齒輪還是面齒輪的機床調整參數都較少，研究證明即使人為添加一些調整參數，對近似面齒輪傳動的嚙合性能改變也是有限的，故局部綜合法或主動設計法不適宜于近似面齒輪傳動的嚙合性能設計。Kolivand、Yi-Pei Shih［6-7］通過預設的嚙合性能來構造準雙曲面、弧齒錐齒輪傳動的小輪拓撲修形齒面，最后用敏感性系數矩陣確定小齒輪加工規律，達到改善嚙合性能的目的。

由于齒面加工方面的差異，該方法還不能直接用于近似面齒輪傳動的齒面設計中。本文主要論述如何通過構造小輪拓撲修形齒面對近似面齒輪傳動進行主動設計，以控制其嚙合性能。

1 面齒輪的近似齒面

采用不做齒向進給運動的盤形砂輪磨削面齒輪的原理與方法可參考文獻［1］，且這里的盤形砂輪與該文獻的碟形砂輪屬同一概念。為節省篇幅，此處僅給出面齒輪的近似齒面Σa相對理論齒面的誤差圖如圖1，該誤差圖及計算實例的參數如表1 所示。齒面誤差的計算方法為：式中，n2，R2分別為面齒輪理論齒面的單位法矢、位矢。并設面齒輪近似齒面Σa的位矢和法矢分別為：Ra（us，θs）、na（us，θs）。us、θs為面齒輪近似齒面Σa的曲面參數。

圖1 面齒輪近似齒面Σa 的齒面誤差

2 小輪的共軛齒面與傳動誤差

為了使得小輪齒面Σ1與Σa共軛，將面齒輪近似齒面Σa（詳見文獻［1］中R2的推導）看作為展成加工小輪齒面Σ1的刀具。Σ1的展成坐標系如圖2 所示。坐標系S2與Σa固聯，坐標系S1與Σ1固聯，Sp、Sm是與機架固聯的輔助坐標系。

表1 面齒輪傳動的設計參數

圖2 與Σa 共軛的小輪齒面展成坐標系

γm是小輪與面齒輪的軸線夾角，L0=（L1+L2）/2，ψ1、ψ2是小輪和面齒輪各自的轉角，ψ1、ψ2滿足如下關系：

式中：ψ20=m21·ψ10和ψ10為選定參考點處插齒刀和面齒輪的轉角，滿足理論傳動比m21=N1/N2，N1、N2分別為小輪和面齒輪的齒數；a1…an-1為二階到n 階傳動誤差的系數，根據傳動誤差設計要求確定。

傳動誤差是影響齒輪傳動動態性能和振動的重要因素。由于二次拋物線傳動誤差可以吸收裝配誤差引起的線性誤差［8］，并保持誤差曲線的形狀不變，因此通常將傳動誤差設計為拋物線，但是有些情況下，傳動誤差會設計為高階函數［9］。

通過S2到S1的坐標變換和嚙合方程可確定小輪齒面Σ1的位矢R1和法矢n1，分別為：

式中M12是坐標變換矩陣，Σa與Σ1間的嚙合方程由下式表示：式中是表示在坐標系S2中的兩輪相對速度。

由于Σa存在齒面誤差，且在小輪齒面展成過程中有關系式（2），因此Σ1相對標準漸開線圓柱齒輪將存在齒面偏差（偏差的計算方法與式（1）類同），圖3 所示為a1…an-1均為零時，齒面Σ1的偏差。文中將Σ1簡稱為小輪（與面齒輪近似齒面Σa的）共軛齒面。

圖3 Σ1 相對標準漸開線齒面的偏差（a1=…=an-1=0）

3 預設接觸路徑

齒面印痕的形狀（包括接觸路徑的方向、位置和接觸橢圓的長度）對齒輪的平穩運轉、使用壽命和噪聲有重要影響。例如接觸路徑的方向會影響重合度的大?。?0］，影響齒輪副運轉的平穩性，因此通常將接觸路徑設計為傾斜的，一方面可增大重合度，提高齒輪傳動的平穩性，另一方面可以減小邊緣接觸的可能性。

圖4 是Σa在其旋轉投影面上的投影，預設的接觸路徑在旋轉投影面上為直線M1M2m-1，它與水平線的夾角為θ，由θ 可確定接觸路徑的方向，根據嚙合性能的設計要求選擇。圖4 中的Mi（i=m）是選定的參考點，滿足方程式（6）。式中LMm、rMm為在面齒輪旋轉投影面上點Mm到原點O 的距離，是參考點Mm的選定值，點Mm可以沿齒高和齒長方向移動，以獲得具有對稱性的傳動誤差。當LMm、rMm確定后，解方程（6）即可解得ψ20和ψ10。

圖4 預設的接觸路徑

預設接觸路徑M1M2m-1上的其他點Mi（im，i=1…2m-1）滿足式（2）和下述方程：

式中rMi是接觸點Mi的齒高，按給定的等步長變化。式（7）中第一式即直線M1M2m-1的方程。解方程式（7）即可解出usi、θsi和ψ2i，可得到小齒輪上的接觸路徑P1P2m-1。據上可知參考點Mm在旋轉投影面上的坐標、夾角θ分別確定接觸路徑的位置和方向。

4 小齒輪的拓撲修形齒面

接觸橢圓長半軸的長度a 會對齒輪的潤滑、齒面接觸應力、齒根彎曲應力等產生影響，因此獲得合適的接觸橢圓長度是齒面設計的重要任務。接觸橢圓長半軸的長度一般取0.15~0.20 倍的齒寬。

由于Σ1與Σa完全共軛，因此Σ1與Σa在每一瞬時將是線接觸的，實際應用中的齒輪傳動要求是點接觸的，以降低對安裝誤差的敏感性，為此以Σ1作為基準曲面，構造小輪的拓撲修形齒面Σp。

圖5 表示的是在小輪旋轉投影面上拓撲修形齒面的構造過程，a 是接觸橢圓長半軸的長度，根據嚙合性能的設計要求選擇。直線bi1、bi2（圖中粗實線）與接觸路徑的交點為Pi1、Pi2（圖中沒有表示），長度為接觸點Pi1、Pi2處接觸橢圓長半軸的長度a，并且直線bi1、bi2與Pi1、Pi2處接觸橢圓長半軸重合，直線bi1、bi2與接觸點Pi所在的網格線交點 為Pi3、Pi4。接 觸 路 徑P1P2i-1兩 側 點Pi3、Pi4成 區 域A1A2A4A3，該區域內的齒面需要精確設計，而該區域外的齒面則可以看作為區域A1A2A4A3的延伸。接觸路徑P1P2m-1上的點的齒面修形量為0，即在齒面Σ1上。而bi1、bi2與網格線的交點Pi3、Pi4處的齒面修形量為δ（δ 一般取0.006 35 mm），即彈性變形量。最后用修形曲線替代直線Pi3PiPi4，構成新設計的小輪拓撲修形齒面。

圖5 小輪拓撲修形齒面Σp 的構造

點Pi3、Pi4在Σ1上的齒面坐標計算步驟為：

1）計算面齒輪的主曲率與主方向、Σ1的主曲率與主方向；

2）在小輪坐標系S1中計算任意接觸點的接觸橢圓長軸及其方向（設該方向向量為e）；

3）點Pi3、Pi4在它們接觸點Pi1、Pi2處的切平面上的坐標滿足式（2）和下式：

式中：R1t為接觸點Pi1、Pi2處接觸橢圓長軸上到點Pi1、Pi2的距離為a 的點的位置矢量；式中±分別對應點Pi3和Pi4。rpi是Pi所在的網格線上Σ1的齒高。接觸點Pi1、Pi2位于預設接觸路徑上且對應面齒輪上的點，因此有式（8）中的第3、第4 式。聯立求解式（8）和式（2）得到點Pi3、Pi4在接觸點Pi1、Pi2處切平面上的坐標，記為Rti3、Rti4，對應切平面上的點ti3、ti4，如圖6 所示。

圖6 接觸橢圓長軸與接觸線的間隙δp

圖6 所示為接觸點Pi1、直線bi1、切平面Π、點ti3、點Pi3、Σ1與Σa的接觸線L21表示在齒面Σ1上的相互之間的關系。點ti3到點Pi3的法向距離為δp。

4）點Pi3在Σ1上的齒面坐標可按式（9）求解（點Pi4與點Pi3相同）。

式中n1i1是接觸點Pi1處的單位法矢，R1i3（us，θs，Ψ2）是點Pi3在Σ1上的齒面坐標。

在小輪拓撲修形齒面Σp上點Pi、Pi3、Pi4的齒面位置矢量為

式（10）在小輪拓撲修形齒面Σp上定義了3×（2m-1）個點，通過這些點和下文的“小輪拓撲修形齒面Σp的加工”可以確定完整的齒面Σp。

5 小齒輪拓撲修形齒面的加工

5.1 小輪加工原理

由上述推導可知拓撲修形齒面Σp上接觸路徑P1P2m-1上的點修形量為0，而接觸路徑兩側的點Pi3、Pi4的修形量大于0，由圖5 可以看出頂點C、D 處的齒面修形量最大，另外兩個頂點E、F 處的齒面修形量最小，因此采用具有漸開線齒廓的盤形砂輪磨齒加工小輪拓撲修形齒面，如圖7 所示。

圖7 中坐標系Sg、Sp、Sv分別與盤形砂輪、小齒輪和插齒刀V 固聯，Sn為固定坐標系，Sv與Sn間沒有相對運動，St與砂輪中心固聯，為輔助坐標系。rp1、rpv分別為小齒輪和插齒刀的分度圓半徑。圖示為某一瞬時各輪的轉動狀態。砂輪的齒廓由插齒刀的齒廓確定，即在xgyg平面內砂輪的工作齒面的截面與虛擬插齒刀的軸截面輪齒齒廓相同（此時Eg=0）。考慮到具有漸開線的盤形砂輪與小齒輪拓撲修形齒面Σp為點接觸，在加工過程中磨損較快，因此采用大直徑砂輪，減小砂輪磨損的速度。從而插齒刀的齒數多于小齒輪的齒數才能定義砂輪的工作曲面。

圖7 小齒輪齒面Σp 展成加工坐標系

小齒輪繞其自身軸線zp旋轉φp，盤形砂輪繞軸線zt旋轉φg，轉速之比為小齒輪與插齒刀的齒數之比，這兩個運動即構成小輪加工的展成運動。砂輪繞其自身軸線xg做切削運動。砂輪中心做與插齒刀軸線平行的直線運動Lg，為進給運動。這樣加工的小齒輪為標準漸開線齒面，不能滿足嚙合性能的設計要求。為了能夠加工出由圖5 所示構造的小輪拓撲修形齒面Σp，砂輪中心還必須在yvzv平面內做拋物線運動Eg，砂輪中心在yv方向的偏移量Eg或該拋物線的參數由齒面Σp上的點Pi3、Pi和Pi4的齒面坐標確定。因此有2m-1 條不同的拋物線，最后將這些拋物線的參數擬合為旋轉φg的轉角函數。

5.2 小輪齒面方程

由圖7 可知通過將插齒刀v 的軸截面齒廓繞xv旋轉（此時Eg=0）可得砂輪的工作齒面，設砂輪工作齒面的位矢和法矢分別為Rg（θg，θv）、ng（θg，θv），其中θg、θv為其曲面參數。

小齒輪拓撲修形齒面Σp展成加工的詳細坐標系如圖7 所示。設Eg的表達式如下：

式中，c1、c2和c3待確定，并可由式（12）表示。式（12）中qji（j=1，2，3，i=1…2m-1）待確定，本文采用多項式擬合確定，若要提高精度，也可用最小二乘法。

通過坐標變換導出小輪的齒面位矢為：

式中：φp=φgNv/N1，Nv、N1分別為插齒刀v 和小齒輪的齒數；M1n~tg是坐標變換矩陣。由于運動參數Lg和φg相互獨立，因此嚙合方程如下：

5.3 確定系數cj，qjk

據上述可知已由式（10）確定了齒面Σp在點Pi、Pi3和Pi4處的齒面坐標，由式（13）確定的小輪齒面方程包含未知數c1i~c3i，式（13）表示的小輪齒面必須過Pi3、Pi4和Pi，則有如下方程：

式中，φ1gi-3gi、L1gi-3gi是砂輪加工齒面Σp上的點Pi3、Pi和Pi4時的運動參數。上式3 個矢量方程每個有3 個分量，共9個方程和9 個未知數，因此c1i~c3i具有唯一解。

為了確定qji，例如對于cj，由上式求解出了cji，而要求解qji，可建立如下線性方程：

由于φ2gi是點Pi（修形量為0）處砂輪的運動參數，與φ1gi和φ3gi相比，誤差較小，因此用φ2gi求解多項式系數qji更可取，實際上在下述計算實例中，取φ1gi和φ3gi都使上式求解不收斂。

6 計算實例

6.1 實例1

預設面齒輪傳動的嚙合性能為：接觸路徑方向θ=89.7°；接觸橢圓長半軸長度a=0.15×（L2-L1）=12 mm；傳動誤差參數為（a1=-0.006，a2…an-1=0）。面齒輪傳動的基本參數如表1 所示。

圖8 Σp 與Σa 嚙合的傳動誤差

圖9 Σp 與Σa 嚙合的接觸印痕

小齒輪的加工規律可用qjk表示，qjk各個元素如表2所示，其中m=4。小齒輪加工參數的擬合精度如圖10 所示，其中標記▽、〇、□分別為c3i、c1i和c2i的數據點，虛線、細實線和點劃線是擬合曲線，這些擬合曲線都通過了對應的數據點，擬合精度較高，因此采用式（17）的擬合方法即可確定小齒輪的加工參數cj。

表2 小齒輪加工參數cj 的多項式系數qji

圖10 小輪加工參數cj 的擬合

圖11 小輪齒面Σp 相對標準漸開線齒面的修形量

圖11 為小輪拓撲修形齒面Σp相對標準漸開線齒面的修形量，該修形量還包括圖3 所示的齒面偏差。比較圖3 和圖11 可知，Σp相對標準漸開線齒面既有齒向修形，又有齒廓修形，修形量為負表示的意義是在標準漸開線齒面上去除材料。

總之小齒輪拓撲修形齒面的修形量由預設的傳動誤差、選定的參考點Mm、接觸路徑方向θ、接觸橢圓的長度a 決定。

6.2 實例2

實例1 是用本文的主動設計方法設計拋物線傳動誤差，本文的主動設計方法還可用來設計高階傳動誤差，如本實例四階傳動誤差及接觸路徑傾斜的設計。

預設面齒輪傳動的嚙合性能為：接觸路徑方向θ=13°；接觸橢圓長半軸長度a=0.2×（L2-L1）=16 mm；傳動誤差參數為（a1=0.000 5，a2=0，a3=-0.02，a4…an-1=0）。其它參數與表1 相同。

預設的傳動誤差和接觸路徑如圖12 和圖13 所示，圖13 以標記的點為設計參考點。由圖12 和圖13 可以看出預設的嚙合性能與TCA 模擬結果幾乎相同。這里的參考點Mm的坐標是LMm=530 mm、rMm=-89.6 mm。接觸橢圓半軸長度與預設長度的最大誤差為1.35 mm，位于面齒輪的齒根，最小誤差為0.71 mm，位于面齒輪的齒頂。這些結果與預設嚙合性能基本一致。

圖12 Σp 與Σa 嚙合的傳動誤差

圖13 Σp 與Σa 嚙合的接觸印痕

7 結 論

1）基于構造拓撲修形齒面的方法，提出了近似面齒輪傳動的主動設計，因此齒面設計、嚙合性能的控制不再局限于齒面修形技術。

2）由于小齒輪拓撲修形齒面結構的特殊性，采用局部點接觸法磨齒加工，論述了該齒面的加工原理，確定了小齒輪拓撲修形齒面的加工參數，計算實例表明該加工方法是可行的。

3）通過計算實例，可以看出主動設計后Σp與Σa的嚙合性能與預先給定的嚙合特性能非常吻合，說明了基于齒面拓撲修形的主動設計在控制近似面齒輪傳動嚙合性能方面的優勢。

4）需要指出的是：該方法可以主動地和定量地控制接觸橢圓長度，接觸印痕的位置、方向和傳動誤差。

［1］ 彭先龍，方宗德，蘇進展，等.應用大碟形刀具加工面齒輪的理論分析［J］.哈爾濱工業大學學報，2013，45（5）：80-85.

［2］ Litvin F L，Zhang Yi.Local synthesis and tooth contact analysis of face milled spiral bevel gears［R］.Technical report 90-C-028,Washington：NASA center for aerospace information，1991.

［3］ Litvin F L，Gutman Y.Method of synthesis and analysis for hypoid bear-drives of“formate”and“helixform”［J］.Journal of mechanical design，1981，103（83）：2015-2021

［4］ Cao Xuemei，Fang Zongde，Xu Hao，et al.Design of pinion machine tool setting for spiral bevel gears by controlling contact path and transmission errors［J］.Chinese Journal of Aeronautics，2008，21（2）：179-186.

［5］ 吳訓成，毛世民，吳序堂.點嚙合齒面主動設計研究［J］.機械工程學報，2000，36（10）：70-73.

［6］ Shih Yipei.A novel ease-off flank modification methodology for spiral bevel and hypoid gears ［J］.Mechanism and Machine Theory,2010，45（8）：1108-1124.

［7］ Kolivand M Kahraman A.An Ease-Off Based Method for Loaded Tooth Contact Analysis of Hypoid Gears Having Local and Global Surface Deviations ［J］.Journal of Mechanical Design，2010,132（7）：1004-1013.

［8］ Litvin F L，Seol I H，Kim D，et al.Kinematic and Geometric Models of Gear Drives［J］Journal of Mechanical Design，1996，118（4）：544-550.

［9］ Lee Chengkang.Manufacturing process for a cylindrical crown gear drive with a controllable fourth order polynomial function of transmission error［J］. Journal of Materials Processing Technology，2009，209（1）：3-13.

［10］ 鄧效忠.高重合度弧齒錐齒輪加工參數設計與重合度測定［J］.機械工程學報，2004，40（6）：95-99.