復合函數求導的簡便教學法

于風宏　楊廣峰

摘 要： 在課堂教學中，我們介紹的復合函數的求導方法是“鏈式法則”.“鏈式法則”內容為復合函數的導數等于函數對中間變量的導數乘以中間變量對自變量的導數. 對于初學者來說，其往往把握不住“鏈式法則”的關鍵部分，導致思維混亂，難以下筆，感到“鏈式法則”很難掌握.本文分析得出對復合函數求導法則的理解和使用方法，此方法簡稱為“層層扒皮法”，這個方法對初學者來說容易理解，易于掌握.

關鍵詞： 復合函數求導 鏈式法則 層層扒皮法

在教學過程中，我們發現絕大多數學生一元復合函數的求導非常困難.尤其對于復合層級多于3層的復合函數，初學者在對其求導的時候，總會出現或多或少的問題，或是無從下手，或是求導不到位，或是中間的連接符號極其混亂，或是對“鏈式法則”的理解不夠全面，等等，總之，求出的導數不夠透徹.出現這些問題的主要原因是初學者的初等數學基礎知識掌握不夠牢固，對于復合函數的內容掌握不全面，不清楚復合函數是如何復合的，不能快速分辨復合函數的復合層次.

鑒于此，我們在教學過程中結合“鏈式法則”，總結出易于學生理解和應用的求復合函數導數的精巧方法——層層扒皮法.下面依據“鏈式法則”介紹這種求導方法.

課堂教學中，我們介紹的復合函數求導方法是“鏈式法則”，即復合函數的導數等于函數對中間變量的導數乘以中間變量對自變量的導數.

對于初學者來說，比較簡單的復合函數，他們會很容易找到中間變量，也能夠較順暢地應用“鏈式法則”.比如下面的例子：

例1.求復合函數y=ln2x的導數.

解：設中間變量為u，則u=2x，那么所給函數是由y=lnu和u=2x復合而成的，則根據鏈式法則，我們得到所給函數的導數為：

= · = .（2x）′= ·2=

如果復合函數的復合層級多于3層的話，初學者在求導過程中，就會出現混亂.這個時候，我們所說的 “層層扒皮法”就比較好用了.層層扒皮法，就是將復合函數從外向內，一層一層地“扒皮”，每“扒”一層“皮”，就將這層“皮”求導，這層“皮”內部的內容，作為一個整體，看做這層“皮”的自變量，不同層“皮“的導數之間用乘號相連接，同樣的方法，依次進行，直到對最內層自變量求導為止.

下面，演示如何應用 “層層扒皮法”來解決多復合層次的復合函數求導問題.

例2.求復合函數y=sin[sin（cos4x）]的導數.

解： 我們來觀察所給函數，從左向右（遵循從外向內的原則）看，首先看到的是“sin”，我們把“sin”稱為第一層皮，把它的內部函數sin（cos4x）看做一個整體變量，對“sin”求導，得到

y′=cos[sin（cos4x）]（1）

“扒掉”剛剛求導的第一層皮“sin”，我們看到第二個“sin”，這里我們可以把它稱為第二層皮，依然把第二層皮的內部函數cos（4x）看成整體，并且對第二層的“sin”它求導，得到cos（cos4x），

將此式與（1）式相乘，我們得到這二層皮的導數為

y′=cos[sin（cos4x）]·cos（cos4x） （2）

我們用同樣的思路，繼續向內層求導，得到第三層的導數為：-sin4x，

將其與（2）式相乘，得到

y′=cos[sin（cos4x）]·cos（cos4x）·（-sin4x）（3）

同理，再“扒掉”剛剛求完導的第三層“cos”這一層，我們看最內層函數是“4x”，它的導數為：4

將其與（3）式相乘，于是有

y′=cos[sin（cos4x）]×cos（cos4x）×（-sin4x）×4，

整理一下，得到y′=-4sin4x·cos（cos4x）·cos[sin（cos4x）]

就是所求y=sin[sin（cos4x）]的導數.

類似上例的復合函數，按照從左向右的方向，從外向內，逐步分清所要求導的復合函數的復合層次，逐層扒皮，逐層求導，按照這樣的思維過程，學生將會很容易克服解題過程中出現的求導結果不徹底、不到位的問題。

同樣的，我們可以用層層扒皮法求下列函數的導數.

（1）y=tan[ln（x +2x-3）] （2）y=sin[arccos（sin3x）]

結果為：

（1）y′=sec [ln（x +2x-3）]· ·（2x+2）

（2）y′=cos[arccos（sin3x）]· ·cos3x·3

從上述答案中，可以清楚地看出每一層函數的導數.

冪函數類型和指數函數類型的復合函數能否用層層扒皮法來求導呢？我們用下面兩個例子具體說明.

例3.求復合函數y=（arctan（x +1）） 的導數.

解：我們按照從內向外的方向來找層次，首先最外層是 “平方”，把“平方”內部的函數內容arctan（x +1）作為一個整體，對這層求導，得到的導數為

y′=2（arctan（x +1）） （4）

“扒掉”“平方”這層皮，我們看到了arctan（x +1）這一層，對“arctan”求導，把（x +1）看成“arctan”的整體變量，得到它的導數為

，

將其與（4）式相乘，得到

y′=2（arctan（x +1））g （5）

“扒掉”“arctan”這一層，我們看到最內層為（x +1），它的導數為2x，再與（5）相乘，得到

y′=2（arctan（x +1））· ·2x，

整理以后得到

y′=4·

上式就是復合函數y=（arctan（x +1）） 的導數.

對于指數型復合函數的導數求解方法，其實與其他類型復合函數的導數的求解方法是一致的.

例4.求函數y=e 的導數.

解：函數的最外層是“指數函數”——e ，把（2x-1） 看成e 的整體變量，所以，最外層的導數為

y′=e （6）

“扒掉”“指數函數”e 這一層皮，我們看到的是（2x-1） 這一層，把這里的2x-1看成是“平方”的整體變量，并且對“平方”求導，得到

2（2x-1）

“扒掉”這一層皮，看到最內層是（2x-1），它的導數是2，最后我們把各層函數的導數用乘號連接起來，得到y′=e ·2（2x-1）·2

整理后得y′=4（2x-1）e

上式即為y=e 的導數.

從以上的眾多例子中我們不難發現，不同類型的復合函數的分層方向是不同的，但是，只要我們弄清所求導數的函數的復合層次，再結合“層層扒皮求導法”的思維過程，對求復合函數的導數而言，都會比較容易上手。

“層層扒皮求導法”的本質依然是鏈式法則，建議教師在教學過程中，在講解“鏈式法則”以后，再介紹“層層扒皮法”，會達到事半功倍的效果。