矩陣冪級數及其收斂性

宋林鋒

摘 要 本文首先給出矩陣冪級數的幾個相關概念，然后證明了矩陣冪級數收斂的定理，最后用一個具體的例子討論了矩陣冪級數的收斂性。

關鍵詞 矩陣冪級數 譜半徑 收斂性

中圖分類號：O151.21 文獻標識碼：A

Matrix Power Series and its Convergence

SONG Linfeng

（Department of Mathematics and Information Engineering，

Puyang Vocational and Technical College， Puyang， Henan 457000）

Abstract This paper first gives a matrix power series of several related concepts， and then gives the convergence theorem of matrix power series， and finally with a specific example discussed matrix power series convergence.

Key words Matrix power series； cape radius； convergence property

矩陣理論是數學的一個重要分支，要建立矩陣函數，矩陣冪級數是重要依據，而學習矩陣冪級數自然要討論其收斂性。本文首先給出了矩陣冪級數的幾個相關概念，然后證明了矩陣冪級數收斂性的定理，最后用一個具體例子討論了冪級數的收斂性。

1 矩陣冪級數的相關概念

定義1 設是復數域上的階方陣，， = 0，1，2，…

稱 = + + + … + + …為矩陣的冪級數。

定義2 矩陣冪級數的前 + 1項的和稱為矩陣冪級數的部分和，記為（）。

定義3 若矩陣冪級數的部分和序列{（）}收斂，則稱收斂；否則，稱發散。當（） = 時，則稱為矩陣的冪級數的和矩陣。

定義4 設是復數域上的階方陣，其全部特征值為，，…，則 = 為的譜半徑。

譜半徑是證明矩陣冪級數收斂的一個重要概念，特別是譜半徑具有一個重要的性質：的譜半徑是的任意一種模的下界。

2 矩陣冪級數的收斂定理

定理，設復方陣的譜半徑為，復變量的冪級數為，其收斂半徑為，則（1）當<時，矩陣冪級數收斂；（2）當>時，矩陣冪級數發散。

證明：若有個互相不相同的特征值，，…，則存在可逆矩陣，使得

其中

于是

這樣，矩陣序列{（）}收斂當且僅當每個矩陣塊序列（）收斂，而

其中（），表示在 = 處的階導數，是約當塊的階數。

（1）若<，則∣∣<，此時下列各序列

{（）}，{（）}，…{（）}

都收斂，從而{（）}收斂，進而收斂。

（2）若>，則一定存在某一特征值∣∣>，

于是冪級數發散，從而相應的{（）}發散，進而發散。

說明：定理對>和<時的斂散性給出了判斷，對于 = ，定理失效，需用其它方法來判斷。

3 矩陣冪級數收斂的一個例子

例題 討論矩陣冪級數 = + + + … + + …的收斂性；當它收斂時，求它的和矩陣。 分析：由定理知，是否收斂，需求出的譜半徑與相應復數的冪級數的收斂半徑，當<時，矩陣冪級數收斂，當>時，矩陣冪級數發散，然后在<條件下求出其和函數即可。

解：矩陣冪級數所對應的復變量的冪級數為，很顯然其收斂半徑 = 1，故當<1時，收斂，進而得到，當的所有特征值的模都小于1時，收斂，只要有一個特征值的模大于1時，發散。

當<1時，1不是矩陣的特征值，有∣∣≠0，進而矩陣可逆，記 = + + … +

又 = （）（ + + … + ）= （）

于是 （）= （ ）=

而 （）= （）=

故 = = 。

參考文獻

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