高考中簡單線性規劃問題的解法探討

文香丹

摘 要 線性規劃是近幾年高考的必考內容，線性規劃問題已成為近幾年高考的熱點問題。高考以考查線性目標函數的最值重點，兼顧考查代數式的幾何意義（如斜率、距離、面積等），多以選擇題、填空題以及解答題中的小題出現。本文主要介紹解簡單線性規劃問題中的圖解法，并對近幾年全國各高考試卷中出現的有關問題解法作一些探討。

關鍵詞 可行域 圖解法 最值 約束條件

中圖分類號：G424 文獻標識碼：A

Study of Solution to Simple Linear Programming

in College Entrance Examination

WEN Xiangdan

（College of Science， Yanbian University， Yanji， Jilin 133002）.

Abstract A simple linear programming is a necessary part for college entrance examination and it has become a hot problem in recent years. In the college entrance examination， optimal value of linear objective function， algebraic expression of geometry （e.g.， slope， distance， area， etc.） can be examined in the form of multiple choice question， filling in the blanks and small items of answering questions. This paper mainly introduces the solution to graphical method of simple linear programming， makes a further study of solving problems related to national college entrance examination these years.

Key words feasible線性規劃是運籌學的一個基本分支，其應用極其廣泛，其作用已為越來越多的人所重視。簡單線性規劃指的是目標函數含兩個變量的線性規劃。簡單線性規劃是溝通幾何知識與代數知識的重要橋梁，是不等式與解析幾何的結合，是數形結合的集中體現。

簡單線性規劃問題就是把一個實際問題（例如在生產條件不變的情況下，如何通過統籌安排，改進生產組織或計劃，合理安排人力、物力資源，組織生產過程，使總的經濟效益最好）找出約束條件和目標函數，利用圖解法求最優解。

1 用圖解法解簡單線性規劃問題的算法步驟

簡單線性規劃問題，我們可以用圖解法來求解。圖解法不僅直觀，而且可從中得到有關簡單線性規劃問題的許多重要結論，有助于我們理解簡單線性規劃問題求解方法的基本原理。圖解法要求是：在平面上畫出可行域，畫出目標函數的等值線，將目標函數的等值線平移得到最優解。

圖解法的步驟為：

第一步：建立平面直角坐標系；

第二步：圖示簡單線性規劃問題的約束條件，畫出簡單線性規劃問題的可行域；

第三步：畫出目標函數 = + 的法線方向；

第四步：圖示目標函數的等值線束（注意等值線束必須在可行域內）；

第五步：若是求最大值問題，將目標函數的等值線束沿其法線正方向平移，（若是求最小值問題，將目標函數的等值線束沿其法線負方向平移），直到再繼續移動就與可行域不相交時為止，此時該目標函數直線與可行域的交點即為最優解。

2 已知線性約束條件，探求線性目標函數最值

例1 （2012年全國新課標卷·理）設，滿足約束條件：

則 = 的取值范圍為（ ）。

解：這一問題的可行域如圖1所示。目標函數的等值線 = 沿法線正方向平移，得到最優解，而最大值為 = = 0。目標函數的等值線 = 沿負法線方向平移，得到最優解，而最小值為 = = 0。因此， = 的取值范圍為〔〕。

3 構造線性約束條件，探求應用問題最值

例2 （2012年四川卷·理）某公司生產甲、乙兩種桶裝產品。已知生產甲產品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生產乙產品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克。每桶甲產品可獲得利潤300元，每桶乙產品可獲得利潤400元，公司在生產這兩種產品的計劃中，要求每天消耗A原料不超過12千克，B原料不超過12千克。通過合理安排生產計劃，從每天生產的甲、乙兩種產品中，公司共可獲得的最大利潤是

A.1500元 B.2200元 C.2600元 D.2800元

解：設生產桶甲產品，桶乙產品，總利潤為，故該問題的數學模型即

在約束條件下，求 = + 目標函數的最大值。

這一問題的可行域如圖2所示。目標函數的等值線1200 = + 沿法線正方向平移，得到最優解，而最大值為 = 1200 + 1600 = 2800，故選擇D。

4 最優解問題

在線性規劃問題中，線性約束條件所確定的可行域包括其邊界，則目標函數的最優解個數往往是一個或無窮多個，一般地有：（1）最優解個數為一個時，可在可行域的邊界交點處取得；（2）最優解個數為無窮多個時，可在可行域的一條邊界上取得，此時目標函數所對應的直線與這條邊界重合。

利用以上兩個結論來處理高考題中的線性規劃客觀題，簡潔明快，達到化繁為簡的目的，下面舉例說明最優解個數為無窮多個情況。

例3 （2006年湖北卷·理）已知平面區域由以（1，3），（5，2），（3，1）為頂點的三角形內部和邊界組成。若在區域上有無窮多個點（）可使目標函數 = + 取得最小值，則 = （ ）

A.2 B.1 C.1 D.4

解：為使目標函數 = + 的最優解有無窮多個，直線 = + 應與邊界線或或重合。而要使目標函數取得最小值，只能與直線重合，于是 = = ，即 = 1故選C。

總之，利用簡單線性規劃的圖解法，可以提高學生綜合分析問題的能力，邏輯思維能力以及運用數學知識解決實際問題的能力。本文從圖解法解簡單線性規劃問題出發，將不等式作為解決優化問題的工具，用不等式組刻畫平面區域，借助幾何直觀解決一些簡單線性規劃問題，有助于學生體會優化思想，理解數形結合方法，體會不等式在解決與實際情境相關的優化問題中的工具作用。

region； graphical method； optimal value

參考文獻

[1] 石衛東，王媛.例談目標函數新視角[J].語數外學習，2013（8）.

[2] 董榮亮.“簡單線性規劃”考點例析[J].中學數學研究，2007（9）.

[3] 兌松杰.構造向量巧解線性規劃問題[J].中學數學高中版，2012（7）.

[4] 孫殿武.別樣的線性規劃問題更精彩[J].河北理科教學研究，2012（2）.

[5] 刁在筠，劉桂真等.運籌學[J].北京：高等教育出版社，2007.