證題中平面向量的巧用

徐大剛

摘 要： 平面向量進入中學教材，為考生使用代數方法研究問題提供了強有力的工具.近幾年高中改革的趨勢是幾何問題代數化，對于向量而言，它具有“雙重身份”，不僅像數一樣滿足“運算性質”進行代數形式的運算，而且能利用幾何意義進行幾何形式的變換.于是，它越來越頻繁地成為聯系多種知識的媒介.本文就平面向量自身的優越性例談它在解決一些問題中的妙用.

關鍵詞： 平面向量 證明 巧用

一、證明等式

例1：設（x■+y■）（m■+n■）=（mx+ny）■（mn？堍0），求證：■=■.

分析：由條件知x■+y■，m■+n■分別是坐標（x，y），（m，n）對應模的平方，而結論的變形nx-my=0是這兩個向量共線的充要條件，從而可以構造向量求解.

證明：若x=y=0，結論顯然成立.

若x，y不全為零，不妨設■=（x，y），■=（m，n），則cos<■，■>=■=■=1

∴<■，■>=0或<■，■>=π

∴■∥■ nx-my=0

∵mn≠0

∴■=■

二、證明不等式

例2：設-■≤a≤■，b≠0，a，b∈R，求（a-b）■+（■-■）■的最小值.

解：設■=（a，■）

∴|■|=■=■

■=（b，■） |■|=■

■-■=（a-b，■-■）

∵|■-■|≥|■|-|■|

∴■≥■-■≥3■-■=2■

即（a-b）■+（■-■）■≥8當且僅當b■=■即b=±3時取等號

故（a-b）■+（■-■）■的最小值為8.

例3：證明柯西-施瓦茲（Cauchy-Schwarz）不等式（■a■·b■）■≤■a■■·■b■■

證明：設■={a■，a■，a■，…，a■}，■={b■，b■，b■，…，b■}

∵■·■=■a■·b■ |■|=■ |■|=■

又∵|■·■|≤|■|·|■|

∴|■a■·b■|≤■

∴（■a■·b■）■≤■a■■·■b■■

評注：用向量證明不等式或用向量求函數的最值（或值域）的依據是我們常用的幾個結論：

（1）由■·■=|■|·|■|·cosθ（其中θ是兩向量的夾角）可知：

①■·■=|■|·|■|（當且僅當■，■同向時取等號）；

②|■·■|≤|■|·|■|（當且僅當■，■平行時取等號）；

③（■·■）≤|■|■·|■|■（當且僅當■，■平行時取等號）.

（2）|■|-|■|≤|■+■|≤|■|+|■|，當■，■同向時右邊不等式取等號，當■，■反向時左邊不等式取等號.

（3）|■|-|■|≤|■-■|≤|■|+|■|，當■，■反向時右邊不等式取等號，當■，■同向時左邊不等式取等號.

三、在三角函數中的應用

問題的解決必須找到最佳切入點，用向量解決問題.最佳切入口是分析向量結構，即研究向量之間關系.

例4：證明cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ

分析：可以用類比聯想的方法把cosαcosβ+sinαsinβ與x■x■+y■y■看做向量■=（x■，y■）與■=（x■，y■）的數量積，即■·■=x■x■+y■y■.因此cosαcosβ+sinαsinβ可以看做是兩個向量的數量積.又從cos（α-β）入手，可以把（α-β）看做向量夾角.由數量積公式■·■=|■|·|■|·cos<■，■>，若|■|=1，■=1，則有■·■=cos<■·■>，利用單位圓即可解決.

證明：如圖，設角α，β的終邊與單位圓相交于A、B，則向量：

■=（cosα，sinα），■=（cosβ，sinβ），于是：

■·■=|■|·|■|·cos（α-β）=cos（α-β）

又∵■·■=cosαcosβ+sinαsinβ

∴cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ

例5：證明余弦定理

證明：如圖所示設■=■，■=■，■=■

由■+■+■=■，得-■=■+■

∴（-■）■=（■+■）■

∴（■）■=（■）■+（■）■+2■·■

=（■）■+（■）■+2|■|·|■|cos（π-C）

=|■|■+|■|■+2|■|·|■|·cosc

∴c■=a■+b■-2abcosC

同理可得：a■=b■+c■-2bccosA b■=c■+a■-2cacosB

評注：通過構造向量解決三角函數問題，解法新穎而精巧，成功地將較繁瑣的三角函數問題轉化為向量問題，解法簡潔流暢.解這類問題時，關鍵是要熟練地掌握向量數量積的坐標運算公式，通過公式，將向量問題轉化為一般的數學問題進行求解，體現了“向量問題函數化，函數問題向量化”的等價轉化思想.其中，模的平方與向量數量積之間的關系|■|■=■·■=x■+y■，■=（x，y）是向量與實數互換的依據和橋梁，也是重要的轉化思想.

四、在平面幾何中的應用

例6：（點到直線的距離公式的證明）

問題：已知點P（x■，y■）到直線l：Ax+By+C=0的距離為d，求證：d=■.

證明：設Q（x，y），Q■（x■，y■）是直線l上任意兩個不同的點，則■■=（x-x■，y-y■）

∵A、B不同時為零

∴記非零向量■=（A，B）endprint

∵Q■，Q都是直線l上的點

∴Ax+By+C=0Ax■+By■+C=0

∴A（x-x■）+B（y-y■）=0即■·■■=0

∴■與直線l垂直

設■·■=|■|·cosθ，則點P到l的距離為：

d=|QP|·cosθ=■=■=■

例7：已知一個圓的直徑的端點分別為A（x■y■），B（x■，y■），求證：圓的方程是（x-x■）（x-x■）+（y-y■）（y-y■）=0.

證明：設P（x，y）是圓上任意一點，則

■=（x-x■，y-y■） ■=（x-x■，y-y■）

∵■⊥■

∴■·■=0即（x-x■）（x-x■）+（y-y■）（y-y■）=0

評注：用向量方法處理幾何問題，既能反映對象之間的數量關系，又能體現它們之間的位置關系，從而能運用數形結合的方法研究幾何問題.但是利用向量方法解決幾何問題時，要注意緊密結合平面圖形中的已知的位置關系和數量關系，如有垂直關系時，應注意聯想應用向量的數量積等于0；與線段比值有關的問題，應注意聯想定比分點知識或者共線向量；與夾角有關時，應注意聯想應用向量的數量積的定義等進行求解.

五、在數列中的應用

例8：等差數列{a■}中，已知a■=p，a■=q（m≠n），求a■的值.

分析：由通項公式a■=a■+（n-1）d可整理為a■=dn+a■-d可知點列（n，a■）n∈n■均落在直線y=dx-a■-d，即直線的斜率即為公差，可用向量共線處理.

解：由題意知A（m，a■），B（n，a■），C（m+n，a■）

即A（m，p），B（n，q），C（m+n，a■）共線

∵■=（n-m，q-p） ■=（n，a■-p）

又∵■∥■

∴（n-m）（a■-p）=n（q-p）

∵m≠n

解得a■=■n+p

例9：給定正整數n和正數M，對滿足條件a■■+a■■≤M的所有等差數列a■，a■，a■，…，，試求S=a■+a■+a■+…+a■的最大值.

解：由等差數列可知S=■

∵a■+a■=2a■

∴S=■（3a■-a■）

于是設■=（3，1），■=（a■，a■）

∵|■·■|≤|■|·|■|

∴■|3a■-a■|≤■■·■≤■■

當3a■-a■>0，3a■=-a■且a■■+a■■=M時

上式兩等號同時成立，此時S■=■（3a■-a■）=■■.

評注：用向量的方法解決數列結合的問題，首先就是利用“坐標”，進而運用平面向量的模、數量積等相關知識，實現形到數的轉化，但是在轉化過程中要注意，向量的坐標表示向量的大小和方向，并不表示向量的位置，這與點的坐標的意義是不同的.

向量是現代數學的重要標志之一，被引入中學教材后，大大豐富了中學數學知識和結構體系，拓展了中學數學問題的思維空間.由于向量融數與形于一體，因此成了中學數學中的一個重要工具，得到了廣泛應用.

參考文獻：

[1]全日制普通高級中學教科書數學第一冊（下）.人民教育出版社.

[2]黃愛民.向量的數量積求解數學問題的探究.試題與研究.中學學習報社.

[3]莊瑞國.向量數量積的一個性質的應用.高中數學教與學.endprint

∵Q■，Q都是直線l上的點

∴Ax+By+C=0Ax■+By■+C=0

∴A（x-x■）+B（y-y■）=0即■·■■=0

∴■與直線l垂直

設■·■=|■|·cosθ，則點P到l的距離為：

d=|QP|·cosθ=■=■=■

例7：已知一個圓的直徑的端點分別為A（x■y■），B（x■，y■），求證：圓的方程是（x-x■）（x-x■）+（y-y■）（y-y■）=0.

證明：設P（x，y）是圓上任意一點，則

■=（x-x■，y-y■） ■=（x-x■，y-y■）

∵■⊥■

∴■·■=0即（x-x■）（x-x■）+（y-y■）（y-y■）=0

評注：用向量方法處理幾何問題，既能反映對象之間的數量關系，又能體現它們之間的位置關系，從而能運用數形結合的方法研究幾何問題.但是利用向量方法解決幾何問題時，要注意緊密結合平面圖形中的已知的位置關系和數量關系，如有垂直關系時，應注意聯想應用向量的數量積等于0；與線段比值有關的問題，應注意聯想定比分點知識或者共線向量；與夾角有關時，應注意聯想應用向量的數量積的定義等進行求解.

五、在數列中的應用

例8：等差數列{a■}中，已知a■=p，a■=q（m≠n），求a■的值.

分析：由通項公式a■=a■+（n-1）d可整理為a■=dn+a■-d可知點列（n，a■）n∈n■均落在直線y=dx-a■-d，即直線的斜率即為公差，可用向量共線處理.

解：由題意知A（m，a■），B（n，a■），C（m+n，a■）

即A（m，p），B（n，q），C（m+n，a■）共線

∵■=（n-m，q-p） ■=（n，a■-p）

又∵■∥■

∴（n-m）（a■-p）=n（q-p）

∵m≠n

解得a■=■n+p

例9：給定正整數n和正數M，對滿足條件a■■+a■■≤M的所有等差數列a■，a■，a■，…，，試求S=a■+a■+a■+…+a■的最大值.

解：由等差數列可知S=■

∵a■+a■=2a■

∴S=■（3a■-a■）

于是設■=（3，1），■=（a■，a■）

∵|■·■|≤|■|·|■|

∴■|3a■-a■|≤■■·■≤■■

當3a■-a■>0，3a■=-a■且a■■+a■■=M時

上式兩等號同時成立，此時S■=■（3a■-a■）=■■.

評注：用向量的方法解決數列結合的問題，首先就是利用“坐標”，進而運用平面向量的模、數量積等相關知識，實現形到數的轉化，但是在轉化過程中要注意，向量的坐標表示向量的大小和方向，并不表示向量的位置，這與點的坐標的意義是不同的.

向量是現代數學的重要標志之一，被引入中學教材后，大大豐富了中學數學知識和結構體系，拓展了中學數學問題的思維空間.由于向量融數與形于一體，因此成了中學數學中的一個重要工具，得到了廣泛應用.

參考文獻：

[1]全日制普通高級中學教科書數學第一冊（下）.人民教育出版社.

[2]黃愛民.向量的數量積求解數學問題的探究.試題與研究.中學學習報社.

[3]莊瑞國.向量數量積的一個性質的應用.高中數學教與學.endprint

∵Q■，Q都是直線l上的點

∴Ax+By+C=0Ax■+By■+C=0

∴A（x-x■）+B（y-y■）=0即■·■■=0

∴■與直線l垂直

設■·■=|■|·cosθ，則點P到l的距離為：

d=|QP|·cosθ=■=■=■

例7：已知一個圓的直徑的端點分別為A（x■y■），B（x■，y■），求證：圓的方程是（x-x■）（x-x■）+（y-y■）（y-y■）=0.

證明：設P（x，y）是圓上任意一點，則

■=（x-x■，y-y■） ■=（x-x■，y-y■）

∵■⊥■

∴■·■=0即（x-x■）（x-x■）+（y-y■）（y-y■）=0

評注：用向量方法處理幾何問題，既能反映對象之間的數量關系，又能體現它們之間的位置關系，從而能運用數形結合的方法研究幾何問題.但是利用向量方法解決幾何問題時，要注意緊密結合平面圖形中的已知的位置關系和數量關系，如有垂直關系時，應注意聯想應用向量的數量積等于0；與線段比值有關的問題，應注意聯想定比分點知識或者共線向量；與夾角有關時，應注意聯想應用向量的數量積的定義等進行求解.

五、在數列中的應用

例8：等差數列{a■}中，已知a■=p，a■=q（m≠n），求a■的值.

分析：由通項公式a■=a■+（n-1）d可整理為a■=dn+a■-d可知點列（n，a■）n∈n■均落在直線y=dx-a■-d，即直線的斜率即為公差，可用向量共線處理.

解：由題意知A（m，a■），B（n，a■），C（m+n，a■）

即A（m，p），B（n，q），C（m+n，a■）共線

∵■=（n-m，q-p） ■=（n，a■-p）

又∵■∥■

∴（n-m）（a■-p）=n（q-p）

∵m≠n

解得a■=■n+p

例9：給定正整數n和正數M，對滿足條件a■■+a■■≤M的所有等差數列a■，a■，a■，…，，試求S=a■+a■+a■+…+a■的最大值.

解：由等差數列可知S=■

∵a■+a■=2a■

∴S=■（3a■-a■）

于是設■=（3，1），■=（a■，a■）

∵|■·■|≤|■|·|■|

∴■|3a■-a■|≤■■·■≤■■

當3a■-a■>0，3a■=-a■且a■■+a■■=M時

上式兩等號同時成立，此時S■=■（3a■-a■）=■■.

評注：用向量的方法解決數列結合的問題，首先就是利用“坐標”，進而運用平面向量的模、數量積等相關知識，實現形到數的轉化，但是在轉化過程中要注意，向量的坐標表示向量的大小和方向，并不表示向量的位置，這與點的坐標的意義是不同的.

向量是現代數學的重要標志之一，被引入中學教材后，大大豐富了中學數學知識和結構體系，拓展了中學數學問題的思維空間.由于向量融數與形于一體，因此成了中學數學中的一個重要工具，得到了廣泛應用.

參考文獻：

[1]全日制普通高級中學教科書數學第一冊（下）.人民教育出版社.

[2]黃愛民.向量的數量積求解數學問題的探究.試題與研究.中學學習報社.

[3]莊瑞國.向量數量積的一個性質的應用.高中數學教與學.endprint