基于年金特征的內部收益率速算研究

摘要：新企業會計準則規定，借款或債券的溢折價等只能采用實際利率法攤銷，采用實際利率法攤銷的關鍵之一便是確定實際利率亦即內部收益率。現行計算內部收益率的方法為插值法或Excel環境下的插入函數法，插值法計算過程繁瑣，插入函數法需要借助計算機。為達到簡化計算，本文針對未來各期現金流量相等即具有年金特征的情形，提出年金現值率的概念，根據內部收益率計算原理建立數學模型，借助計算機編程，利用“二分法”列方程求解實根，得到具有年金特征的各種組合情況下的內部收益率，并將內部收益率計算結果設計成表格形式。針對具體問題而言，直接查表便可得到所需的內部收益率，從而克服了插值法計算內部收益率的復雜性。

關鍵詞：年金 年金現值率 插值法 內部收益率

一、引言及文獻回顧

借款或債券的溢折價攤銷方法有直線法和實際利率法。直線法就是將溢折價在借款期內或債券存續期內平均攤銷，簡明易懂，在會計實務中被廣泛采用。根據我國新會計準則，借款或債券的溢折價等不再使用直線法而只能采用實際利率法攤銷。實際利率法體現了投資收益與籌資成本同實際收益率之間的關系，但其計算過程比較復雜。

對于實際利率法涉及的如何簡化攤銷額或利息調整計算問題，吳良海分別給出了分期付息到期還本債券和到期一次還本付息債券各期溢（折）價攤銷額的計算公式；呂志明給出了債券溢（折）價攤銷模型；張敦力等給出了基于實際利率法的利息調整Excel解決方案。對于實際利率法涉及的實際利率即內部收益率計算問題，袁小明等根據插值法的原理，給出了內部收益率的計算模型；榮莉研究了用Excel計算內部收益率和相關投融資費用或收益的攤銷；王婧通過模型的一般化表述，給出了內部收益率的抽象函數；肖琳利用金融工具箱實現了對持有至到期投資中的內部收益率計算，并通過Matlab的Excellink功能提供了對Excel的命令接口，最后在Excel中實現了求解持有至到期投資收益計算的通用模型。

現有研究都是針對某一具體問題，從理論上給出了各期攤銷額或利息調整的計算公式，或通過模型求解內部收益率。運用實際利率法攤銷的關鍵之一就是確定內部收益率，除了通過Excel應用軟件可以達到內部收益率的簡化計算外，其余研究中的內部收益率計算都還沒有脫離插值法，采用插值法計算內部收益率，需要進行多次試算，還要借助年金現值系數表、復利現值系數表，計算過程繁瑣。本文的目的，就是假定未來各期現金流量相等即具有年金特征，通過年金現值率概念的提出，利用“二分法”列方程求解實根，借助計算機編程，得到具有年金特征的各種組合情況下的內部收益率，并將內部收益率計算結果設計成表格形式，從而克服了插值法計算內部收益率的復雜性。

二、問題描述及相關假設

為了簡化計算模型，本文所研究問題的內部收益率是指未來各期現金流入或流出的金額相等，并假定在不考慮資金時間價值時，未來現金流入或流出的合計大于現值。以下用P表示未來現金流入或流出的金額即年金，A表示現值，n表示期限數，則具有年金特征的內部收益率業務現金流量如圖1所示：

下列具體會計準則所涉及業務的內部收益率均具備年金特征：

（一）固定資產準則中涉及的具有融資性質的分次等額支付貨款的采購業務。企業購買固定資產的價款超過正常信用條件延期支付，具有融資性質的，應以購買價款的折現值作為固定資產的入賬價值。將來實際支付的價款與購買價款的現值之間的差額，除按照借款費用準則允許資本化的以外，應當在信用期間內按實際利率法攤銷計入財務費用。

（二）無形資產準則中涉及的具有融資性質的分次等額支付價款的購買業務。企業購買無形資產的價款超過正常信用條件延期支付，具有融資性質的，應以購買價款的折現值作為固定資產的入賬價值。將來實際支付的價款與購買價款的現值之間的差額，除按照借款費用準則允許資本化的以外，應當在信用期間內按實際利率法攤銷計入財務費用。

（三）借款費用準則中涉及的一次借款分期等額償還的信貸業務。借款存在溢價或者折價的，其溢價或折價應在借款期內按實際利率法攤銷，調整每期利息金額。

（四）收入準則中涉及的具有融資性質的分次等額收取貨款的銷售業務。企業銷售商品采取遞延方式收取貨款且具有融資性質的，應按現銷價款確定銷售收入，合同或協議應收的價款與現銷價款之間的差額，應當在合同或協議期間內按實際利率法攤銷計入財務費用。

（五）租賃準則中涉及的租金等額收取或支付的融資租賃業務。承租方：租入資產的入賬價值按資產公允價值與最低租賃付款額現值兩者中較低者確定，長期應收款按最低租賃付款額確定，兩者之間的差額作為未確認融資費用，在租賃期內按實際利率法攤銷計入財務費用。出租方：應收融資租賃款的入賬價值按最低租賃收款額確定，假定無初始直接費用和未擔保余值，最低租賃收款額與租出資產的原賬面價值之間的差額作為未實現融資收益，在租賃期內按實際利率法攤銷計入財務費用。

上述5項具體準則所述業務涉及的實際利率，就是財務管理中項目投資的內部收益率或內含報酬率，這里的項目投資是指一次投資、分期等額收回的投資業務。內部收益率就是使項目投資的現金流入現值與現金流出現值相等即凈現值等于零時的折現（貼現）率，反映投資項目的真實報酬率。

三、研究設計

設現值為P，各期現金流入或流出為A，期數為n，假定n×A>P。凈現值為零時的貼現率即內部收益率i表達式如下：

P-[A/（1+A）+ A/（1+A）2+… A/（1+A）n]=0 （1）

當n≥3時，從式（1）中無法求得i的計算公式。只能通過多次試算，求得i的近似值，這便是插值法，或通過Excel環境下的插入函數法計算得到i的值。為了實現內部收益率i的快速計算，需另辟蹊徑。

式（1）化簡得到計算內部收益率i的數學模型：endprint

P/A=[1-（1+i）-n]/i （2）

式（2）中的變量有2個：期限數n，現值與年金的比值P/A。其中，變量n的范圍是可控的，如可以設定為1，2，3，…；但變量P/A是不可控的，只能視具體問題計算確定。本文將P/A定義為年金現值比率或年金現值率。能否將變量P/A由不可控轉變為相對可控，是首先需要研究的問題之一。

從式（2）不難看出，[1-（1+i）-n]/i 就是財務管理中的“1元的年金現值系數”。現就討論的內部收益率計算而言，當n從1到30、i從1%到30%便可滿足大多數實際問題的需要，相當于這樣一個范圍的項目投資：投資期在1至30年、實際收益率在1%至30%之間。當然，n和i的范圍完全可以繼續擴大。通過觀察“1元的年金現值系數表”，n從1至30、i從1%至30%范圍內的年金現值系數，最小值是（P/A，32%，1）=0.7576，最大值是（P/A，1%，30）=25.8077，因此，可以將P/A界定在0.7576至25.8077之間。以下將年金現值率P/A設定為0.75，0.76，0.77，…，25.80，25.81，相鄰兩個年金現值率之間的間隔為0.01。由于2個變量n和P/A都可以在一定范圍內設定，因此可以利用這個設定來計算內部收益率。

四、編程計算與實際利率表的設計制作

從數學角度看，當n=1，2時，從式（2）可以求得i的計算公式，但當n≥3時，便無法從式（2）中求出實際利率i的計算公式。

設f（i）=[1-（1+i）-n]/i-P/A，應用“二分法”解方程f（i）=0。手工計算工作量巨大甚至難以進行，可運用計算機編程來求解此方程（此處略去求解實根的程序源代碼）。

通過程序的運行，可得到期限數n=1，2，…，20 ；年金現值率P/A=0.75，0.76，…，25.81的內部收益率i。i取小數點后四位，第五位四舍五入，凡i≤0的，因其無實際意義，計算結果以“-”表示，將整列都是“-”的列刪去。

將期限數n自表首從左向右排列，年金現值率P/A自表左從上往下排列。經過整理得到內部收益率計算結果的表格，稱為“年金特征的內部收益率表”。由于該表篇幅太大，以下選取該表的部分結果進行列示，見下頁表1。

本文將計算出的具有年金特征的內部收益率記為IRR（P/A，n）。

這樣一來，對于具有年金特征的內部收益率不需采用插值法或插入函數法計算，直接查表即可。另外，插值法由于在局部區間用直線近似代替曲線，計算的內部收益率是一個近似值，存在一定誤差。而本文得到的內部收益利率是利用“二分法”，通過計算機編程多次循環計算，其結果要比插值法更為精確。

五、實證檢驗

（一）先看一個延期收款銷售的業務。某公司于2012年7月1日采用遞延收款方式向甲公司銷售一套設備，合同約定的銷售價格為2 000萬元，分5次于次年6月30日等額收取。該設備成本為1 540萬元。在現款銷售方式下，該設備的售價為1 600萬元。假定該公司發出商品時，其有關的增值稅納稅義務尚未發生；在合同約定的收款日期，發生有關的增值稅納稅義務。

通常情況下，該公司應按從甲公司應收或已收的合同或協議價款確定為收入，由于收取的貨款采取分期方式，具有融資性質，相當于甲公司在實現銷售收入的同時，為乙公司提供了1 600萬元、期限為5年、每年還本付息400萬元的融資合同，對由此產生的貨幣時間價值，需采用實際利率法進行攤銷。

首先計算內部收益率，設內部收益率為i，用插值法計算：

400×年金現值系數（P/A，i，5）=1 600

當i=7%時，上式左邊=400×4.1002=1 640.08>1 600

當i=8%時，上式左邊=400×3.9927=1 597.08<1 600

采用插值法，列方程：（1 640.08-1 600）/（7%-i）=（1 640.08-1 597.08）/（7%-8%），解得i=7.93%。

上述業務涉及的內部收益率屬于年金特征的內部收益率，期限數n=5，年金現值率P/A=1 600/400=4，查“年金特征的內部收益率表”，得到內部收益率IRR（4，5）=0.0793=7.93%。

查表得到的結果與插值法計算的結果完全一致。有關賬務處理略。

（二）再看一個有關項目投資的業務。某投資方案壽命期為6年，每年的凈現金流量均為10 000元，初始投資額為39 400元。要求：計算該方案的內含報酬率。

先用插值法計算該方案的內含報酬率i；內含報酬率就是凈現值等于零的貼現率。

年金現值系數=39 400÷10 000=3.94

查年金現值系數表，可知內含報酬率介于12%-14%之間。

當i=12%時，凈現值=10 000×（P/A，12%，6）-39 400=1 714>0

當i=14%時，凈現值=10 000×（P/A，14%，6）-39 400=-513<0

按等比關系列出方程：（i-12%）/（0-1 714）=（14%-12%）/（-513-1 714），解得i=0.1354即該方案的內含報酬率為13.54%。

本例中的內含報酬率屬于年金特征的內部收益率，期限數n=6，年金現值率P/A=39 400/10 000=3.94，查“年金特征的內部收益率表”，得到內部收益率即該方案的內含報酬率IRR（3.94，6）=0.135 2=13.52%。

查表得到的結果13.52%與插值法計算的結果13.54%相差0.0002。采用插值法如果用13%和14%的年金現值系數結果進行測試，結果更為準確，但由于財務管理教科書“1元的年金現值系數表”大多沒有列示13%的年金現值系數，只有12%的年金現值系數，因此只能用12%與14%的年金現值系數結果進行測試，這樣會加大誤差。筆者對本例采用Excel插入函數法計算的結果為13.50%。

六、結語

本文提出的方法，對于具體問題，只要計算年金現值率，結合已知的期限數，通過查詢“年金特征的內部收益率表”便可得到所需的內部收益率，從而避免了插值法計算的繁雜性。本文提供的年金特征的內部收益率表，如同復利終值（現值）系數表、年金終值（現值）系數表一樣，給財經人員業務學習和實務操作帶來便利，既可節省時間，又能消除計算錯誤、減少計算誤差。隨著計算機技術的迅速發展，如何結合計算機軟、硬件技術，設計并開發出低成本的實時計算工具，即帶有內部收益率計算功能的計算器，這些都是未來需要進一步研究的問題。J

參考文獻：

1.吳良海.債券溢折價實際利率攤銷法的再探討[J].安徽工業大學學報（社會科學版），2006，（5）.

2.袁小明，李文輝.新準則中實際利率法的采用與簡便算法[J].中國總會計師，2008，（1）.

3.王婧.債券溢折價攤銷的實際利率法[J].財會月刊（理論），2008，（4）.

4.肖琳.Excel與Matlab持有至到期投資收益模型淺析[J].財會通訊（綜合），2010，（4）.

5.葉璋禮.實際利率及其算法研究[M].合肥：中國科學技術大學出版社，2013.

6.財政部會計資格評價中心.中級會計實務[M].北京：經濟科學出版社，2013.

7.財政部會計資格評價中心.財務管理[M].北京：中國財政經濟出版社，2011.endprint

P/A=[1-（1+i）-n]/i （2）

式（2）中的變量有2個：期限數n，現值與年金的比值P/A。其中，變量n的范圍是可控的，如可以設定為1，2，3，…；但變量P/A是不可控的，只能視具體問題計算確定。本文將P/A定義為年金現值比率或年金現值率。能否將變量P/A由不可控轉變為相對可控，是首先需要研究的問題之一。

從式（2）不難看出，[1-（1+i）-n]/i 就是財務管理中的“1元的年金現值系數”。現就討論的內部收益率計算而言，當n從1到30、i從1%到30%便可滿足大多數實際問題的需要，相當于這樣一個范圍的項目投資：投資期在1至30年、實際收益率在1%至30%之間。當然，n和i的范圍完全可以繼續擴大。通過觀察“1元的年金現值系數表”，n從1至30、i從1%至30%范圍內的年金現值系數，最小值是（P/A，32%，1）=0.7576，最大值是（P/A，1%，30）=25.8077，因此，可以將P/A界定在0.7576至25.8077之間。以下將年金現值率P/A設定為0.75，0.76，0.77，…，25.80，25.81，相鄰兩個年金現值率之間的間隔為0.01。由于2個變量n和P/A都可以在一定范圍內設定，因此可以利用這個設定來計算內部收益率。

四、編程計算與實際利率表的設計制作

從數學角度看，當n=1，2時，從式（2）可以求得i的計算公式，但當n≥3時，便無法從式（2）中求出實際利率i的計算公式。

設f（i）=[1-（1+i）-n]/i-P/A，應用“二分法”解方程f（i）=0。手工計算工作量巨大甚至難以進行，可運用計算機編程來求解此方程（此處略去求解實根的程序源代碼）。

通過程序的運行，可得到期限數n=1，2，…，20 ；年金現值率P/A=0.75，0.76，…，25.81的內部收益率i。i取小數點后四位，第五位四舍五入，凡i≤0的，因其無實際意義，計算結果以“-”表示，將整列都是“-”的列刪去。

將期限數n自表首從左向右排列，年金現值率P/A自表左從上往下排列。經過整理得到內部收益率計算結果的表格，稱為“年金特征的內部收益率表”。由于該表篇幅太大，以下選取該表的部分結果進行列示，見下頁表1。

本文將計算出的具有年金特征的內部收益率記為IRR（P/A，n）。

這樣一來，對于具有年金特征的內部收益率不需采用插值法或插入函數法計算，直接查表即可。另外，插值法由于在局部區間用直線近似代替曲線，計算的內部收益率是一個近似值，存在一定誤差。而本文得到的內部收益利率是利用“二分法”，通過計算機編程多次循環計算，其結果要比插值法更為精確。

五、實證檢驗

（一）先看一個延期收款銷售的業務。某公司于2012年7月1日采用遞延收款方式向甲公司銷售一套設備，合同約定的銷售價格為2 000萬元，分5次于次年6月30日等額收取。該設備成本為1 540萬元。在現款銷售方式下，該設備的售價為1 600萬元。假定該公司發出商品時，其有關的增值稅納稅義務尚未發生；在合同約定的收款日期，發生有關的增值稅納稅義務。

通常情況下，該公司應按從甲公司應收或已收的合同或協議價款確定為收入，由于收取的貨款采取分期方式，具有融資性質，相當于甲公司在實現銷售收入的同時，為乙公司提供了1 600萬元、期限為5年、每年還本付息400萬元的融資合同，對由此產生的貨幣時間價值，需采用實際利率法進行攤銷。

首先計算內部收益率，設內部收益率為i，用插值法計算：

400×年金現值系數（P/A，i，5）=1 600

當i=7%時，上式左邊=400×4.1002=1 640.08>1 600

當i=8%時，上式左邊=400×3.9927=1 597.08<1 600

采用插值法，列方程：（1 640.08-1 600）/（7%-i）=（1 640.08-1 597.08）/（7%-8%），解得i=7.93%。

上述業務涉及的內部收益率屬于年金特征的內部收益率，期限數n=5，年金現值率P/A=1 600/400=4，查“年金特征的內部收益率表”，得到內部收益率IRR（4，5）=0.0793=7.93%。

查表得到的結果與插值法計算的結果完全一致。有關賬務處理略。

（二）再看一個有關項目投資的業務。某投資方案壽命期為6年，每年的凈現金流量均為10 000元，初始投資額為39 400元。要求：計算該方案的內含報酬率。

先用插值法計算該方案的內含報酬率i；內含報酬率就是凈現值等于零的貼現率。

年金現值系數=39 400÷10 000=3.94

查年金現值系數表，可知內含報酬率介于12%-14%之間。

當i=12%時，凈現值=10 000×（P/A，12%，6）-39 400=1 714>0

當i=14%時，凈現值=10 000×（P/A，14%，6）-39 400=-513<0

按等比關系列出方程：（i-12%）/（0-1 714）=（14%-12%）/（-513-1 714），解得i=0.1354即該方案的內含報酬率為13.54%。

本例中的內含報酬率屬于年金特征的內部收益率，期限數n=6，年金現值率P/A=39 400/10 000=3.94，查“年金特征的內部收益率表”，得到內部收益率即該方案的內含報酬率IRR（3.94，6）=0.135 2=13.52%。

查表得到的結果13.52%與插值法計算的結果13.54%相差0.0002。采用插值法如果用13%和14%的年金現值系數結果進行測試，結果更為準確，但由于財務管理教科書“1元的年金現值系數表”大多沒有列示13%的年金現值系數，只有12%的年金現值系數，因此只能用12%與14%的年金現值系數結果進行測試，這樣會加大誤差。筆者對本例采用Excel插入函數法計算的結果為13.50%。

六、結語

本文提出的方法，對于具體問題，只要計算年金現值率，結合已知的期限數，通過查詢“年金特征的內部收益率表”便可得到所需的內部收益率，從而避免了插值法計算的繁雜性。本文提供的年金特征的內部收益率表，如同復利終值（現值）系數表、年金終值（現值）系數表一樣，給財經人員業務學習和實務操作帶來便利，既可節省時間，又能消除計算錯誤、減少計算誤差。隨著計算機技術的迅速發展，如何結合計算機軟、硬件技術，設計并開發出低成本的實時計算工具，即帶有內部收益率計算功能的計算器，這些都是未來需要進一步研究的問題。J

參考文獻：

1.吳良海.債券溢折價實際利率攤銷法的再探討[J].安徽工業大學學報（社會科學版），2006，（5）.

2.袁小明，李文輝.新準則中實際利率法的采用與簡便算法[J].中國總會計師，2008，（1）.

3.王婧.債券溢折價攤銷的實際利率法[J].財會月刊（理論），2008，（4）.

4.肖琳.Excel與Matlab持有至到期投資收益模型淺析[J].財會通訊（綜合），2010，（4）.

5.葉璋禮.實際利率及其算法研究[M].合肥：中國科學技術大學出版社，2013.

6.財政部會計資格評價中心.中級會計實務[M].北京：經濟科學出版社，2013.

7.財政部會計資格評價中心.財務管理[M].北京：中國財政經濟出版社，2011.endprint

P/A=[1-（1+i）-n]/i （2）

式（2）中的變量有2個：期限數n，現值與年金的比值P/A。其中，變量n的范圍是可控的，如可以設定為1，2，3，…；但變量P/A是不可控的，只能視具體問題計算確定。本文將P/A定義為年金現值比率或年金現值率。能否將變量P/A由不可控轉變為相對可控，是首先需要研究的問題之一。

從式（2）不難看出，[1-（1+i）-n]/i 就是財務管理中的“1元的年金現值系數”。現就討論的內部收益率計算而言，當n從1到30、i從1%到30%便可滿足大多數實際問題的需要，相當于這樣一個范圍的項目投資：投資期在1至30年、實際收益率在1%至30%之間。當然，n和i的范圍完全可以繼續擴大。通過觀察“1元的年金現值系數表”，n從1至30、i從1%至30%范圍內的年金現值系數，最小值是（P/A，32%，1）=0.7576，最大值是（P/A，1%，30）=25.8077，因此，可以將P/A界定在0.7576至25.8077之間。以下將年金現值率P/A設定為0.75，0.76，0.77，…，25.80，25.81，相鄰兩個年金現值率之間的間隔為0.01。由于2個變量n和P/A都可以在一定范圍內設定，因此可以利用這個設定來計算內部收益率。

四、編程計算與實際利率表的設計制作

從數學角度看，當n=1，2時，從式（2）可以求得i的計算公式，但當n≥3時，便無法從式（2）中求出實際利率i的計算公式。

設f（i）=[1-（1+i）-n]/i-P/A，應用“二分法”解方程f（i）=0。手工計算工作量巨大甚至難以進行，可運用計算機編程來求解此方程（此處略去求解實根的程序源代碼）。

通過程序的運行，可得到期限數n=1，2，…，20 ；年金現值率P/A=0.75，0.76，…，25.81的內部收益率i。i取小數點后四位，第五位四舍五入，凡i≤0的，因其無實際意義，計算結果以“-”表示，將整列都是“-”的列刪去。

將期限數n自表首從左向右排列，年金現值率P/A自表左從上往下排列。經過整理得到內部收益率計算結果的表格，稱為“年金特征的內部收益率表”。由于該表篇幅太大，以下選取該表的部分結果進行列示，見下頁表1。

本文將計算出的具有年金特征的內部收益率記為IRR（P/A，n）。

這樣一來，對于具有年金特征的內部收益率不需采用插值法或插入函數法計算，直接查表即可。另外，插值法由于在局部區間用直線近似代替曲線，計算的內部收益率是一個近似值，存在一定誤差。而本文得到的內部收益利率是利用“二分法”，通過計算機編程多次循環計算，其結果要比插值法更為精確。

五、實證檢驗

（一）先看一個延期收款銷售的業務。某公司于2012年7月1日采用遞延收款方式向甲公司銷售一套設備，合同約定的銷售價格為2 000萬元，分5次于次年6月30日等額收取。該設備成本為1 540萬元。在現款銷售方式下，該設備的售價為1 600萬元。假定該公司發出商品時，其有關的增值稅納稅義務尚未發生；在合同約定的收款日期，發生有關的增值稅納稅義務。

通常情況下，該公司應按從甲公司應收或已收的合同或協議價款確定為收入，由于收取的貨款采取分期方式，具有融資性質，相當于甲公司在實現銷售收入的同時，為乙公司提供了1 600萬元、期限為5年、每年還本付息400萬元的融資合同，對由此產生的貨幣時間價值，需采用實際利率法進行攤銷。

首先計算內部收益率，設內部收益率為i，用插值法計算：

400×年金現值系數（P/A，i，5）=1 600

當i=7%時，上式左邊=400×4.1002=1 640.08>1 600

當i=8%時，上式左邊=400×3.9927=1 597.08<1 600

采用插值法，列方程：（1 640.08-1 600）/（7%-i）=（1 640.08-1 597.08）/（7%-8%），解得i=7.93%。

上述業務涉及的內部收益率屬于年金特征的內部收益率，期限數n=5，年金現值率P/A=1 600/400=4，查“年金特征的內部收益率表”，得到內部收益率IRR（4，5）=0.0793=7.93%。

查表得到的結果與插值法計算的結果完全一致。有關賬務處理略。

（二）再看一個有關項目投資的業務。某投資方案壽命期為6年，每年的凈現金流量均為10 000元，初始投資額為39 400元。要求：計算該方案的內含報酬率。

先用插值法計算該方案的內含報酬率i；內含報酬率就是凈現值等于零的貼現率。

年金現值系數=39 400÷10 000=3.94

查年金現值系數表，可知內含報酬率介于12%-14%之間。

當i=12%時，凈現值=10 000×（P/A，12%，6）-39 400=1 714>0

當i=14%時，凈現值=10 000×（P/A，14%，6）-39 400=-513<0

按等比關系列出方程：（i-12%）/（0-1 714）=（14%-12%）/（-513-1 714），解得i=0.1354即該方案的內含報酬率為13.54%。

本例中的內含報酬率屬于年金特征的內部收益率，期限數n=6，年金現值率P/A=39 400/10 000=3.94，查“年金特征的內部收益率表”，得到內部收益率即該方案的內含報酬率IRR（3.94，6）=0.135 2=13.52%。

查表得到的結果13.52%與插值法計算的結果13.54%相差0.0002。采用插值法如果用13%和14%的年金現值系數結果進行測試，結果更為準確，但由于財務管理教科書“1元的年金現值系數表”大多沒有列示13%的年金現值系數，只有12%的年金現值系數，因此只能用12%與14%的年金現值系數結果進行測試，這樣會加大誤差。筆者對本例采用Excel插入函數法計算的結果為13.50%。

六、結語

本文提出的方法，對于具體問題，只要計算年金現值率，結合已知的期限數，通過查詢“年金特征的內部收益率表”便可得到所需的內部收益率，從而避免了插值法計算的繁雜性。本文提供的年金特征的內部收益率表，如同復利終值（現值）系數表、年金終值（現值）系數表一樣，給財經人員業務學習和實務操作帶來便利，既可節省時間，又能消除計算錯誤、減少計算誤差。隨著計算機技術的迅速發展，如何結合計算機軟、硬件技術，設計并開發出低成本的實時計算工具，即帶有內部收益率計算功能的計算器，這些都是未來需要進一步研究的問題。J

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