單位圓在誘導(dǎo)公式教學(xué)中的應(yīng)用

高志國

可以說，單位圓是三角函數(shù)部分知識(shí)的核心與精髓，沒有單位圓，就沒有三角函數(shù)的一切。誘導(dǎo)公式是其集中體現(xiàn)之一，在實(shí)際教學(xué)中我們發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生總是機(jī)械性的，不加以理解的去記憶背誦這些公式，結(jié)果會(huì)導(dǎo)致在實(shí)際應(yīng)用中經(jīng)常出現(xiàn)錯(cuò)誤。事實(shí)上，誘導(dǎo)公式雖然表現(xiàn)形式上為四組或是六組，但其實(shí)質(zhì)只是終邊具有一定特殊對(duì)稱位置關(guān)系的角的三角函數(shù)之間的關(guān)系的體現(xiàn)，真可謂是實(shí)至名歸。

先引導(dǎo)學(xué)生在平面直角坐標(biāo)系中畫出與角α終邊具有一定特殊對(duì)稱關(guān)系的其他角的終邊，并指出相對(duì)應(yīng)的角用 α 如何表示，然后指出各個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)，便可以輕松自然地得出各組的誘導(dǎo)公式了。

設(shè)任意角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)為P1（x，y），則由任意角的三角函數(shù)的定義有：sinα=y，cosα=x。此時(shí)交點(diǎn)也可以表示為P1（cosα，sinα）。

據(jù)此定義可以繼續(xù)得出：其他角α依次關(guān)于x軸，對(duì)稱的角與單位圓的三個(gè)交點(diǎn)P2、P3、P4的坐標(biāo)分別為：P2[cos（-α），sin

（-α）]；P3[cos（？仔+α），sin（？仔+α）]；P4[cos（？仔-α），sin（？仔-α）]。于是，比較P2、P3、P4各點(diǎn)與P1（x，y）的坐標(biāo)關(guān)系，很自然地得出四組誘導(dǎo)公式：

（1）終邊相同的角的三角函數(shù)關(guān)系：sin（α+2k？仔）=sinα，cos

（α+2k？仔）=cosα（k？綴z）。

（2）終邊關(guān)于x軸對(duì)稱的角的三角函數(shù)關(guān)系：sin（-α）=-sinα，

cos（-α）=-cosα。

（3）終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的角的三角函數(shù)關(guān)系：sin（？仔-α）=

-sinα，cos（？仔-α）=-cosα。

（4）終邊關(guān)于對(duì)稱的角的三角函數(shù)關(guān)系：sin（？仔-α）=sinα，cos（？仔-α）=-cosα。

同理，由于■-α與α終邊關(guān)于直線y=x對(duì)稱，且P5[cos（■-α），sin（■-α）]，得出另外兩組公式：？

（5）終邊關(guān)于y=x對(duì)稱的角的三角函數(shù)關(guān)系：sin（■-α）=cosα，

cos（■-α）=sinα。

接著，以-α代入公式（5），便可以得出另一組公式（6）sin（■+α）=cosα，cos（■+α）=-sinα。

至此，各組誘導(dǎo)公式就這樣非常之自然地全部出現(xiàn)了！但不管是四組或是六組，與其說稱之為公式倒不如說是數(shù)學(xué)樸實(shí)自然之美的體現(xiàn)。

（遼寧省瓦房店第八高級(jí)中學(xué)）