大學物理中矢量函數的微積分問題

張樂

（武漢工程大學 郵電與信息工程學院，湖北 武漢 430073）

大學物理中矢量函數的微積分問題

張樂

（武漢工程大學 郵電與信息工程學院，湖北 武漢 430073）

矢量和微積分是大學物理中極其重要的數學方法，也是一種物理思維能力。本文主要討論矢量和微積分的基本思想以及矢量函數的微積分的應用。

大學物理；矢量；矢量分析；微積分

一、引言

矢量和微積分的應用是學好大學物理的前提，它更嚴格地定義物理概念、表達物理規律。大學物理中，作為變量的物理量通常是以矢量函數表示。描述物理矢量的連續性變化問題必須應用矢量函數的微積分，這是大學物理學習的重點和難點。學生在學習過程中理解了矢量和微積分的思想和實質，反過來可以系統地掌握物理學的基本概念和基本規律，甚至形成整個物理學的知識框架和思維方法。

二、理解矢量的本質

在大學物理中，廣泛應用矢量理論來研究物理概念和規律，它可以幫助人們研究物理量的方向變化問題。矢量理論主要包括矢量代數和矢量分析。但很多初學者都不能很好地理解矢量的本質，只是單純地把矢量理解為“既有大小，又有方向”的物理量，而忽略矢量代數和矢量分析的重要含義[1]。矢量代數的法則主要是平行四邊形法則和矢量的點乘和叉乘。平行四邊形法則是矢量的加法運算法則，主要用于離散分布的物理矢量的疊加問題。矢量的點乘可以得到一個標量，它廣泛地應用于物理量的定義中，如磁感應強度與面積的點乘定義磁通量Φm，數學形式為d。矢量的叉乘反映三維空間中矢量的關系，兩個矢量通過叉乘得到一個新的矢量，其方向遵循右手螺旋定則。如角動量的定義式物理中連續性問題用到矢量函數的定積分形式。

矢量分析就是在坐標系中把矢量函數進行正交分解，也就是把矢量函數轉換為坐標軸上的標量函數。這樣，矢量函數的求導和積分計算就轉換成學生們所熟知的高等數學中標量函數的微積分問題。例如在直角坐標系中，位置矢量，則速度

學生要想學好大學物理就必須理解矢量的本質，掌握矢量代數和矢量分析。很多學生在物理形成標量運算的定式思維，忽略了矢量問題。主要問題有以下幾點：（1）矢量函數作為變量，大小和方向都隨時間變化。而有些學生在矢量函數的運算中忽略了方向變量所產生的問題。（2）在矢量函數的微積分計算中，矢量分析的思想要先把矢量函數進行坐標分解。但部分學生常常直接對矢量函數進行微積分運算。（3）在矢量點乘或叉乘的運算中，學生容易忘記兩個矢量的夾角，這個夾角可能是變量，需要參與導數或積分的計算。

三、掌握微積分的思想

微積分廣泛應用于物理問題的研究中，許多重要的物理規律都必須以微積分的形式來表示。微積分的主要思想和方法：把物理問題所研究的對象在時間或空間上進行分割成小量，對小量進行近似處理，這些近似處理在無限次分割的情況下趨近于物理問題的真實結果。這就是微分的思想，由無限分割所得到的小量稱為微分元（微元）。而把這些無限小的微元進行連續性求和，就是積分。把物理對象分割成微元后，不均勻量變成均勻量，變量可看作常量，這樣復雜問題就簡單化。例如一般曲線運動的瞬時速度→（t）=，實質是把時間間隔進行無限分割，取微元Δt→0的極限，位移的微元Δ→也近似于位置矢量的微元d→。有部分學生不能正常理解微積分的基本思想和方法，不會取合理的微分元，不能把微積分應用與物理模型結合起來。

另外，矢量函數的微積分問題，必須結合微積分方法和矢量分析，這使得物理問題中的微積分的應用更有難度。這需要在大學物理教學中，通過具體物理模型的分析，使學生熟練地應用微積分方法分析物理問題，包括矢量問題。接下來，我們將以實例分析講解大學物理中矢量函數的微積分的應用。

四、矢量函數的微積分的應用

大學物理中矢量函數的微積分問題雖然涉及的物理內容不同，但是利用數學方法解決問題的思維方式相同。其主要思路是：（1）根據物理問題，確定相應的微元；（2）建立合理的坐標系，用矢量分析的方法處理需要處理的矢量函數；（3）結合物理規律和公式，將物理模型轉換為數學模型（在積分問題中，還需要確定積分上、下限）；（4）應用微積分的性質統一變量，進行計算。

矢量函數的微積分從選取的微元上來看可以分為兩類形式：一是時間微元。這類問題較簡單，其核心思想是矢量分析。因為根據物理學公式，很容易確定時間微元dt。例如沖量是力在時間上的累積效果。這些問題只需要學生們掌握物理公式的含義，并能選取合適的坐標系分解矢量函數，再解標量函數的微積分式。最后，對新得到物理量的各個分量式以平行四邊形法則合成即可。二是空間微元。這類問題形式較多。空間微元分為線元、面元、體元，需要選擇合理的微元。而且這類問題一般變量較多，需要統一變量。因此，解決這類問題必須綜合利用矢量分析和微積分。以空間微元形式的微分問題，主要是以下三種運算法則：梯度、散度和旋度，在大學物理中的應用較少。而積分問題在力學和電磁學中都有很重要的應用，是學習大學物理的重難點。積分問題分為線積分、面積分和體積分。要想解決這類問題，學生必須具有扎實的數學基礎和物理思維能力。因此，在課堂上充分利用經典物理模型，給學生總結解決問題的步驟和方法。加強對學生的思維方法和能力的培養，包括解決問題的數學能力。下面以動生電動勢的經典模型為例介紹矢量函數的微積分的思維步驟和方法。

例[2]：如圖所示，一長直導線中通有向上的穩恒電流I，在長直導線旁平行放置一線圈ABCD，AB邊可在兩導軌CE、DF上滑行，線圈靠近直導線的一邊到直導線的距離為d，AB邊長為a，當AB邊以速度v勻速向下運動。求線圈中的感應電動勢。

解：首先，BA邊處于非均勻磁場中，空間磁感應強度分布由無限長通電直導線產生：根據動生電動勢的定義式：，在BA導線上選取無限小的微線元d，其方向從B指向A。這樣每個線元上d→的磁感應強度都可以視作均勻的。

其次，選取沿導線BA方向作x坐標軸，坐標原點在長直導線上。則線元d→上產生的動生電動勢dε的大小表示為：其中，為矢量→和的夾角，θ2=0為矢量和線元的夾角。

第三步，在x坐標軸中，統一變量，并對整個BA導線在x軸上進行積分。確定積分上下限。綜上分析，BA邊上的動生電動勢的數學公式表示為：最后，計算得到。并確定電動勢的方向是從B指向A的。

在分析和求解這道題的過程中，重點是讓學生掌握將物理模型轉換為數學模型的思維步驟和方法。學生在高等數學中掌握的微積分知識，只能解決最后一步。前面三步的物理思維能力，是大學物理課程的重點。教師要在課程上引導學生從矢量分析和微積分的基本思想出發分析和解決物理模型。

矢量和微積分在大學物理中的應用是學習大學物理的一種思維能力。本文首先分析了矢量和微積分的基本思想和方法，再通過實例分析介紹大學物理中矢量函數的微積分問題的思維步驟和方法。以供學習者參考借鑒。

[1]熊青玲.大學物理中關于矢量的應用問題探討[J].高校之窗，2008，（3）.

[2]黃祝明，吳鋒.簡明大學物理[M].上海：同濟大學出版社，2013.

G642.4

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1674-9324（2014）11-0108-02