具有無窮遠奇點的Z2－等變平面七次哈密頓向量場的全局相圖及其分類 (Ⅰ)

李艷梅

(楚雄師范學院數學與統計學院，云南 楚雄 675000)

極限環的數量和分布問題一直是微分方程定性理論研究的一個重要內容，而擾動方法是研究極限環問題的一個常用的方法。但是，用擾動的方法研究極限環的數量和分布時，需要先得到未擾動系統的相圖。最近幾年來，關于七次平面哈密頓向量場的研究結果在逐漸增多［1—7］，但仍然有許多系統尚待研究。本文將對如下的具有Z2－等變性質的七次哈密頓向量場的相圖進行分類

得到一些新的相圖，其中α＞0是一個參數。

1 系統(1)的奇點及其性質

系統(1)的雅可比行列式是

其中

關于系統(1)，我們有以下的相關結果:

引理 1［7］對正數 a，b，c，l，m，n，系統

在一、二象限內有兩個無窮遠奇點。

由(2)式及引理1，我們得到

定理1 在上半平面內，奇點(0，0)，(± b，0)，(0，m)，(± a，l)，(± c，l)，(± b，m)，(± a，n)和(±c，n)是系統(1)的鞍點，其他奇點是系統(1)的中心。此外，系統(1)有四個無窮遠奇點。

2 系統(1)的相圖及其分類

系統(1)的哈密頓量是

不難看出，函數 H(x，y)滿足等式 H(x，y)=H(x，0)+H(0，y)并且有

若分別記 H(0，0)，H(± a，0)，H(± b，0)，H(± c，0)，H(0，l)，H(0，m)，H(0，n)為 h00，ha0，hb0，hc0，h0l，h0m，h0n，則有

顯然，hb0＜ ha0，h0l＜ h0m，h0n＜ h0m.

比較奇點處的哈密頓量，可以得到下列結果:

定理2

(1)當0＜α＜0.05時，系統(1)的相圖為1(1)。

(2)當α=0.05時，系統(1)的相圖為1(2)。

(3)當0.05＜α＜0.318542時，系統(1)的相圖為1(3)。

(4)當α=0.318542時，系統(1)的相圖為1(4)。

(5)當0.318542＜α＜0.391746時，系統(1)的相圖為1(5)。

(6)當α=0.391746時，系統(1)的相圖為1(6)。

(7)當0.391746＜α＜1.21859時，系統(1)的相圖為1(7)。

(8)當α=1.21859時，系統(1)的相圖為1(8)。

(9)當1.21859＜α＜1.65258時，系統(1)的相圖為1(9)。

(10)當α=1.65258時，系統(1)的相圖為1(10)。

(11)當1.65258＜α＜1.75389時，系統(1)的相圖為1(11)。

(12)當α=1.75389時，系統(1)的相圖為1(12)。

(13)當α＞1.75389時，系統(1)的相圖為1(13)。

證明 為了節省篇幅，下面只證明(2)、(4)、(6)、(8)、(10)和(12)幾種情形，其它情形的證明類似。

(2)當α=0.05時，h0l=h0n，且奇點處的哈密頓量滿足不等式h0l=h0n＜hbl=hbn＜hal=han=hcl=hcn＜h00＜hb0＜ha0=hc0＜h0m＜hbm＜ham=hcm，由此得到系統(1)的相圖1(2)。

(4)當α=0.318542時，相應地有hcn=h0m，且奇點處的哈密頓量滿足不等式h0l＜hbl＜hal=hcl＜h0n＜hbn＜han=hcn=h0m＜hbm＜ham=hcm＜h00＜hb0＜ha0=hc0，由此得到系統(1)的相圖1(4)。

(6)當α=0.391746時，hal=h0m，且奇點處的哈密頓量滿足不等式h0l＜h0n＜hbl＜hal=hcl=h0m＜hbn＜han=hcn＜hbm＜ham=hcm＜h00＜hb0＜ha0=hc0，由此得到系統(1)的相圖1(6)。

(8)當α=1.21859時，han=hbm，且奇點處的哈密頓量滿足不等式h0l＜h0n＜h0m＜hbl＜hal=hcl＜hbn＜han=hcn=hbm＜ham=hcm＜h00＜hb0＜ha0=hc0，由此得到系統(1)的相圖1(8)。

(10)當α=1.65258時，hal=h00，且奇點處的哈密頓量滿足不等式h0l＜h0n＜h0m＜hbl＜hal=hcl=h00＜hbn＜hbm＜han=hcn＜ham=hcm＜hb0＜ha0=hc0，由此得到系統(1)的相圖1(10)。

(12)當α=1.75389時，hal=hbm，且奇點處的哈密頓量滿足不等式h0l＜h0n＜h0m＜h00＜hbl＜hbn＜hal=hcl=hbm＜han=hcn＜ham=hcm＜hb0＜ha0=hc0，由此得到系統(1)的相圖1(12)。

圖1 (1)～(13)系統(1)的相圖

本文所得到的相圖與其他文章所得到的都不一樣，是關于七次哈密頓系統相圖研究的新結果。

［1］李艷梅.具有Z8－等變性質的平面七次哈密頓向量場的一般形式及其相圖 ［J］.楚雄師范學院學報，2010，25(12):32—35.

［2］Li Jibin.Hilbert’s 16thproblems and Bifurcations of Planar Polynomial Vector Fields ［J］.International Journal of Bifurcations and Chaos，2003，13(1):47—106.

［3］Li Jibin et al.Bifurcations of Limit Cycles in a Z2－ equivariant Planar Polynomial Vector Field of Degree 7 ［J］.International Journal of Bifurcations and Chaos，2006，16(4):925—943.

［4］Li Yanmei.The Phase Portraits of a type of Planar Septic Hamiltonian Vector Field with Z2－Equivariant Property［J］.Journal of Chuxiong Normal University，2011，26(9):47—50.

［5］Li Yanmei.Classification of Phase Portraits of a Z2－ Equivariant Planar Hamiltonian Vector Field of Degree 7(Ⅰ)［J］.Journal of Chuxiong Normal University，2012，27(6):1—5.

［6］Li Yanmei.Classification of Phase Portraits of a Z2－ Equivariant Planar Hamiltonian Vector Field of Degree 7(Ⅱ)［J］.Journal of Chuxiong Normal University，2012，27(9):1—5.

［7］李艷梅.一類具有Z2－等變性質的平面七次哈密頓向量場的全局相圖及其分類 ［J］.井岡山大學學報，2013，34(2):7—12.