加油機(jī)器人操作臂的設(shè)計(jì)及運(yùn)動(dòng)學(xué)研究

文/祝 冉 李著信 蘇 毅

隨著我國(guó)國(guó)民經(jīng)濟(jì)的飛速發(fā)展，機(jī)動(dòng)車輛的數(shù)量不斷增多，許多加油站正變得不堪重負(fù)，為提高加油站的工作效率，減少污染，節(jié)省人才成本，未來將更多地使用加油機(jī)器人來完成加油工作。加油機(jī)器人由一個(gè)可移動(dòng)平臺(tái)和一個(gè)操作臂組成。可移動(dòng)平臺(tái)負(fù)責(zé)將整個(gè)機(jī)器人運(yùn)送到需要加油的機(jī)動(dòng)車位置，而操作臂則將加油槍準(zhǔn)確地插入機(jī)動(dòng)車油箱口，完成加油工作。可見，操作臂在整個(gè)系統(tǒng)中起著核心決定性作用。因此，本文主要針對(duì)操作臂進(jìn)行研究。

1.操作臂的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

操作臂是加油機(jī)器人的執(zhí)行機(jī)構(gòu)，要求能夠在工作空間內(nèi)靈活地到達(dá)任意位置。根據(jù)實(shí)際情況，設(shè)計(jì)四自由度的操作臂如圖1所示。

該操作臂由基座1、大臂2、小臂3、手部4共四個(gè)部分以及基座關(guān)節(jié)、肩關(guān)節(jié)、肘關(guān)節(jié)、腕關(guān)節(jié)共四個(gè)關(guān)節(jié)組成。整個(gè)結(jié)構(gòu)為空間關(guān)節(jié)型，四個(gè)關(guān)節(jié)均是轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)。其中，基座關(guān)節(jié)實(shí)現(xiàn)整個(gè)操作臂繞基座軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)；肩關(guān)節(jié)和肘關(guān)節(jié)帶動(dòng)大臂、小臂一起作俯仰運(yùn)動(dòng)；作為末端執(zhí)行器的加油槍固結(jié)在手部上，且加油槍的軸線與手部軸線重合，腕關(guān)節(jié)不需作搖擺運(yùn)動(dòng)和繞自軸的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，只作俯仰運(yùn)動(dòng)。由以上四個(gè)關(guān)節(jié)即可確定加油槍相對(duì)于基座的位置與姿態(tài)。

圖1 加油機(jī)器人操作臂結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖及D-H坐標(biāo)系

2.操作臂運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的建立

Denavit和Hartenberg在1995年提出了一種對(duì)機(jī)器人進(jìn)行建模的通用方法，即D-H表示法。它的核心思想是：在機(jī)器人的每個(gè)桿件上都固定一個(gè)坐標(biāo)系，然后用4*4的齊次變換矩陣來表示機(jī)器人相鄰兩桿件之間的位姿關(guān)系，再通過依次變換，最終推導(dǎo)出機(jī)器人手部相對(duì)基座坐標(biāo)系的位姿矩陣。

若用齊次坐標(biāo)變換矩陣（位姿矩陣）M表示機(jī)器人手部在空間相對(duì)基座坐標(biāo)系的位置和姿態(tài)，并將機(jī)器人中n個(gè)活動(dòng)關(guān)節(jié)抽象為關(guān)節(jié)變量 (i=1,2,…,n)，則機(jī)器人手部的位姿矩陣與關(guān)節(jié)變量之間有一定的函數(shù)，即

2.1 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)正問題

在式（1）中，若已知機(jī)器人各個(gè)關(guān)節(jié)變量qi，求機(jī)器人手部相對(duì)于基座坐標(biāo)系的位姿M，則稱為機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)正問題。

在圖1中建立桿件標(biāo)準(zhǔn)D-H坐標(biāo)系，其D-H參數(shù)如表1所示。

表1 加油機(jī)器人操作臂D-H參數(shù)

在每個(gè)桿件上都固定一個(gè)直角坐標(biāo)系，且固定于每個(gè)桿件的上端（編號(hào)大的）關(guān)節(jié)處，桿件的編號(hào)從基座開始，基座為0號(hào)桿件，與其相連接的桿件為1號(hào)，其余依次為2,3,…,n號(hào)桿件，桿件上固結(jié)的坐標(biāo)系與該桿件同號(hào)。機(jī)器人的關(guān)節(jié)編號(hào)從第一個(gè)關(guān)節(jié)開始，依次計(jì)為1,2,3,…,n。用齊次變換矩陣01M表示第1桿系相對(duì)于基座坐標(biāo)系的位姿，12M表示第2桿系相對(duì)于第1桿系的位姿，表示第i桿系相對(duì)第i-1桿系的位姿，其余依次類推。

則機(jī)器人手部相對(duì)于基座坐標(biāo)系的變換矩陣為：

將表1中給出的D-H參數(shù)代入式（2）、式（3）中，可得加油機(jī)器人操作臂的正運(yùn)動(dòng)學(xué)方程

給定一組關(guān)節(jié)變量和參數(shù)的值，我們就可以利用式（4）計(jì)算出位姿矩陣中每個(gè)元素的值，得到一個(gè)唯一的位姿矩陣M。

2.2 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)逆問題

在式（1）中，若已知機(jī)器人手部相對(duì)于基座坐標(biāo)系的位姿M，求機(jī)器人各個(gè)關(guān)節(jié)變量qi的值，則稱為機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)逆問題。

其求解方法是利用機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程兩端矩陣元素應(yīng)相等的原理得到一組多變量的三角函數(shù)方程，通過求解這組方程來確定機(jī)器人各個(gè)關(guān)節(jié)變量的值。逆問題的解不是唯一的，當(dāng)存在多個(gè)解時(shí)，應(yīng)根據(jù)實(shí)際關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)范圍的限制舍去一些解，在余下的有效解中，根據(jù)最接近原則，選取出一個(gè)最接近于當(dāng)前機(jī)器人操作臂的逆解。

根據(jù)式（2）中矩陣兩邊元素相等，可建立帶有關(guān)節(jié)變量的6個(gè)函數(shù)方程（5—10）：

由（5）（6）兩式可得

又由（7）（8）兩式可得

聯(lián)立（9）（10）兩式，先移項(xiàng)，再將其兩邊平方相加，即可解出

將（9）（10）兩式中的23cθ ，23sθ 展開，可得方程組

由于已知 c θ23，因此也可求得，即可將

cθ23，sθ23視為已知數(shù)代入方程組（14）中，可得

根據(jù)式（12），可得

綜上可知，式(11) 、(13)、(15)、(16)即為逆運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。

3.正、逆運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的驗(yàn)證

通過利用MATLAB軟件中的機(jī)器人工具箱Robotics Toolbox來作計(jì)算，以此來驗(yàn)證我們所建立的加油機(jī)器人操作臂正、逆運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的正確性。

3.1 正運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的驗(yàn)證

根據(jù)實(shí)際工作情況和操作臂的工作空間限制，對(duì)各關(guān)節(jié)參數(shù)與變量賦予初值：

代入（4）中，得出位姿矩陣中各元素的值。

圖2 三維建模圖

圖3 滑動(dòng)控制框

可知，矩陣F中各元素的值與式（17）中各元素的值是相等的，所以加油機(jī)器人操作臂的正運(yùn)動(dòng)學(xué)方程是正確的。

3.2 逆運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的驗(yàn)證

現(xiàn)假設(shè)已知位姿矩陣F，我們將F中各元素的值代入式（11）、（13）、（15）、（16）中，可得兩個(gè)解

或

然后，我們利用函數(shù)ikine來求解關(guān)節(jié)變量

>> qr=ikine(r,F)

qr=-0.0000 0.5236 0.2618 0.2618

即qr = 0 pi/6 pi/12 pi/12

可知，我們利用MATLAB求出的解是逆方程式求出的兩個(gè)解（式18）的其中之一，所以加油機(jī)器人操作臂的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)方程是正確的。

4.結(jié)束語

本文針對(duì)加油機(jī)器人操作臂進(jìn)行了結(jié)構(gòu)與參數(shù)設(shè)計(jì)，采用標(biāo)準(zhǔn)D-H坐標(biāo)系建立了運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，利用兩端矩陣元素應(yīng)相等的原理求出逆解，然后以MATLAB中的Robotics Toolbox為工具，并編寫建模與計(jì)算程序，驗(yàn)證了正、逆運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，證明了所建立的加油機(jī)器人操作臂模型是正確的，為下一步動(dòng)力學(xué)分析與軌跡規(guī)劃奠定了基礎(chǔ)。

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