基于Plackett—Burman對星點試驗設計理論優(yōu)化

摘要：星點設計主要解決了水平數(shù)過多的試驗條件，合理地選取水平數(shù)，應用Design expert這一軟件進行擬合分析，最終在效應面中對于最優(yōu)的方案進行選取。文章基于Plackett-Burman設計對星點設計進行補充改進優(yōu)化，有效地解決因素數(shù)目的問題。

關鍵詞：試驗設計；星點設計；Plackett-Burman設計；效應面

中圖分類號：R284 文獻標識碼：A 文章編號：1009-2374（2014）15-0022-02

1 概述

試驗設計這門起源于20世紀20年代并發(fā)展至今的學科正在越來越多的被應用于實際的各行各業(yè)，以提高產(chǎn)量；減少質(zhì)量的波動，提高產(chǎn)品質(zhì)量水準；大大縮短新產(chǎn)品試驗周期；降低成本；試驗設計延長產(chǎn)品壽命等目的發(fā)揮著它的作用。經(jīng)過多年的發(fā)展試驗設計也由早期的正交設計和均勻設計發(fā)展出了一些新的設計方法。星點設計就是這其中之一，但正是由于星點設計是近些年才被提出來的，這種方法仍然有很大的發(fā)展空間。

星點設計主要解決了對于因素數(shù)適中，水平數(shù)過多的試驗條件，合理地篩選水平數(shù)，同時結合效應面方法對試驗結果進行擬合，借助計算機分析數(shù)據(jù)，主要是Design expert這一軟件進行分析，最終在效應面中對于最優(yōu)的方案進行選取。但這種方法的前提是因素的數(shù)量適中控制在4到5個以內(nèi)。但是在實際操作中這種情況可能不如人意，在涉及到很多因素的時候我們很難決定因素的取舍。我們可以做到在水平的選取上科學，但在因素數(shù)上也同樣不可忽視，正因如此本文基于Plackett-Burman設計對星點設計進行補充改進優(yōu)化，有效地解決因素數(shù)目的問題。

Plackett-Burman試驗就是篩選試驗設計，主要針對因素數(shù)較多，且未確定眾因素相對于響應變量的顯著影響，采用的試驗設計方法。篩選試驗設計對顯著影響的因素可以確定出來，從而達到篩選的目的，避免在后期的優(yōu)化試驗中由于因素數(shù)太多或部分因素不顯著而浪費試驗資源。這兩者的結合可以有效地同時解決實際實驗中出現(xiàn)的因素數(shù)目多，水平較多的情況。

在未來發(fā)展中，隨著科學技術的高速發(fā)展，試驗設計以適應這種高速發(fā)展必定會更加復雜，用科學的方法變復雜為簡單是試驗設計的一個目的，相信這種方法會在未來被更多地應用于實際實驗中，同樣對這種方法更深入的研究也會是試驗設計的一個新的突破。

2 星點試驗設計的發(fā)展與原理

傳統(tǒng)的正交設計會由于之前提到的兩種缺陷，即試驗精度的選擇的試驗取值僅僅是接近的最佳取值，無法精確到最佳；不能靈敏地考察各個因素間的交互作用。由此我們提出效應面法，即通過對一些部分水平值進行試驗，通過回歸擬合可以擬合出全部水平對應的試驗結果指標。該方法的優(yōu)點在于試驗次數(shù)少，同時這種方法又消除了回歸系數(shù)間的相關性。但是僅僅憑效應面設計還不足以最佳的改良傳統(tǒng)的試驗設計的方法，也帶來了一個副作用。如果我們用這個效應面進行預測的時候，方差會依賴于試驗點在因素空間中的位置，這是由于我們把原本平面化的結果立體化，在空間中考查它們之間的關系結果。由于殘差是我們衡量精度的一個重要標準，正是由于這種誤差項的干擾，試驗者不能根據(jù)預測值找到最優(yōu)方案。

我們考慮如果在二次設計上添加旋轉(zhuǎn)性，我們設計一個旋轉(zhuǎn)中心。使與試驗中心距離相等的點上的預測值的方差相等，就可以解決在空間位置帶來的方差干擾。但是同時考慮到已有的試驗設計表示完全考慮正交性的，如果此時我們改變試驗設計表那么我們必定會破壞原有的正交性。此時我們究竟是要正交性還是旋轉(zhuǎn)性，在因素水平較高的時候，用犧牲部分正交性換來旋轉(zhuǎn)性的方法是必要的。

中心組合設計方案中的試驗點有三部分組成，第一是將編碼值-1，1都看成每個因素的兩個水平，如同一次回歸的正交設計那樣，采用二水平正交表安排設計。這部分試驗次數(shù)為mc=2k。第二是在每一個因素的坐標軸上取兩個試驗點，該因素的編碼值分別為-γ，其他因素編碼值為0，由于有k個因素，因此這部分試驗點共有2k個，稱這種試驗點為星號點。γ=。第三是試驗區(qū)域的中心進行m0次重復試驗，這時每個因素的編碼值均為0。這里值得說明的是，以上在選取水平值中應用到的編碼值是對于標準差的度量，1代表距離中值相差一個標準差，這是在具體試驗中會用到的。

正如之前所述，星點設計解決了因素水平較多的問題，比如在實際試驗應用中，有類似比例的指標，比例的指標取值是無窮無盡的，我們不可能窮盡每一個水平試驗。由此我們要用某種科學的方法來抽取試驗的水平值，在正交試驗的試驗點選取的基礎上選取的新的實驗值我們稱之為星點，也正因此這種選取水平的設計試驗方法被稱為星點設計，結合之后的擬合效應面，也就是星點設計效應面法。

正如之前所說，由于對于方差問題解決力度不同，星點設計有三種設計方案，如果確定一個試驗，那么在此時試驗因素數(shù)目，因素水平的選取都是一定的了，此時只有最后一部分可以進行調(diào)節(jié)以滿足不同需要，即中心點重復的次數(shù)。

2.1 二次回歸正交旋轉(zhuǎn)組合設計

二次回歸正交旋轉(zhuǎn)組合設計是星點設計中對方差誤差干擾這一問題處理最弱的一種方法，只是能保證所有相對于中心距離相等的點的預測的方差近似相等。對于那些相對于中心的距離有些許差別的試驗點的預測方差可能會有很大的差異。

2.2 二次回歸通用旋轉(zhuǎn)組合設計

二次回歸通用旋轉(zhuǎn)設計之所以有一定的通用性，在于其在對于方差的處理方面又做了更進一步的改進，同樣也失去了一定的正交性。其改進在于對于編碼中心距離小于1的任意點上的預測值的方差都會近似相等，不會再局限于只是對于相對于中心距離相等的點。

2.3 二次回歸的均勻精度旋轉(zhuǎn)組合設計

二次回歸的均勻精度旋轉(zhuǎn)組合設計，在整個星點設計中是對于方差誤差的處理最嚴格的一種設計方法，同時也最多地犧牲了正交性。這種方法是建立在之前的通用性的基礎之上通過適當?shù)淖鴺俗兓D(zhuǎn)化為任意球內(nèi)的均勻精度旋轉(zhuǎn)設計。

三者比較來看，通過通用旋轉(zhuǎn)設計的試驗次數(shù)適中，同時又不會過分地失去正交性，也就是說我們由此相信在星點設計中，通用旋轉(zhuǎn)設計會更多地應用于實際試驗中。其結果也會更有說服力，預測的結果會更加有效。

3 Plackett-Burman設計對星點設計的優(yōu)化

對于因素水平過多導致的精度不準等問題已經(jīng)被星點設計這一方法在一定程度上很好的解決了。但同時我們還會面臨一個問題就是因素本身數(shù)量過多的問題。

Plackett-Burman試驗就是篩選試驗設計，主要針對因素數(shù)較多，且未確定眾因素相對于響應變量的顯著影響，采用的試驗設計方法。方法主要通過對每個因素取兩水平來進行分析，通過比較各個因素兩水平的差異與整體的差異來確定因素的顯著性。篩選試驗設計不能區(qū)分主效應與交互作用的影響，但對顯著影響的因素可以確定出來，從而達到篩選的目的，避免在后期的優(yōu)化試驗中由于因素數(shù)太多或部分因素不顯著而浪費試驗資源。

4 基于Plackett-Burman對星點設計的優(yōu)化的應用說明

對于試驗設計中可能會遇到的兩大問題，因素數(shù)和水平數(shù)對于試驗設計的影響，通過Plackett-Burman設計以及星點設計可以很好的解決這兩個問題。但是正如本文題目所示，這里只是一個在理論上的證述。具體實際應用并沒有付諸實踐，因為查閱資料時很少有學者將這兩者聯(lián)系起來進行實際操作，而二者分開的研究卻是數(shù)不勝數(shù)。由此對于這個改進是否有價值。在實際試驗中究竟會不會碰到因素數(shù)與水平數(shù)都難以選擇的情況，此處還不能體現(xiàn)。但我相信，假以時日這種方法在當今科技高速發(fā)展，各行業(yè)的科技技術都處在高速發(fā)展的階段，因素數(shù)與水平數(shù)的取舍定會成為一個問題，那時這種星點設計的改進定會體現(xiàn)它的價值。

5 結語

通過本文的初步研究，得出的結論是基于Plackett-Burman設計可以與星點設計很好地結合在一起。鑒于星點設計主要是解決因素數(shù)適當?shù)綌?shù)過多的情況，Plackett-Burman設計則是主要解決因素數(shù)過多的情況。如果可以將這兩者結合起來使用，那么試驗設計中的兩大問題就可以很好地被解決。可以預見基于Plackett-Burman改進的星點設計方法由于科學技術的高速發(fā)展，未來的研究還可以在從這一方面進行深入，或者對二者的方法再進行改進，相信會有更大的突破。

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作者簡介：張雙（1993—），女（滿族），遼寧錦州人，中南財經(jīng)政法大學統(tǒng)計與數(shù)學學院學生，研究方向：數(shù)學統(tǒng)計。