線性唯象傳熱時不可逆卡諾制冷機的生態學最優性能

朱小芹，眭永興

(江蘇理工學院數理學院，江蘇 常州 213001)

0 引言

自上世紀七十年代以來，許多學者用有限時間熱力學方法分析研究了熱力系統的性能優化問題[1－4]。Angulo—Brown[5]在研究熱機時證明，熱機循環熵產率σ與低溫熱源溫度TL之積TLσ反映了熱機的功率耗散，故以式

為目標討論熱機的性能優化，P為輸出功率。由于E目標在一定意義上與生態學的長期目標有相似性，故稱其為“生態學”最優性能[6－9]。因為沒有注意到能量(熱量)與(功)的本質區別，式(1)隱含了矛盾，即將功率()與非損失放在一起作了比較是不完備的，文獻[9]對此作出了訂正。陳林根等[10]基于分析的觀點，建立了各種熱力循環統一的分析生態學目標函數為

對制冷機而言

式中為QL吸熱量，QH為放熱量，TH、TL分別為高、低溫熱源溫度。因為制冷系數 ε =QL/(QH－ QL)，制冷率 R=QL/τ，故有[10]

此后，不少文獻討論了牛頓傳熱規律下內可逆和不可逆卡諾熱機[11－16]、制冷機[17]和熱泵[18]的生態學性能，還有一些學者研究了 Brayton[19－21]、Stirling 和 Ericsson[22]熱機，Brayton[23－24]和 Ericsson[25]制冷機，內可逆[26－27]、不可逆[28]簡單空氣熱泵和回熱式空氣熱泵[29－30]，不可逆布雷森循環[31]的生態學性能。但實際熱機、制冷機和熱泵中工質與熱源間的傳熱并非都服從牛頓(線性)定律。一些文獻研究了傳熱規律(包括線性唯象傳熱規律 Q∝Δ(T－1)，輻射傳熱規律 Q∝Δ(T4)，Dulong—Petit傳熱規律 Q∝Δ(T1.25)，廣義對流傳熱規律Q∝Δ(T)m和廣義輻射傳熱規律Q∝Δ(Tm)對內可逆和不可逆卡諾熱機[32－37]、制冷機和熱泵生態學性能的影響[38－41]，文獻[42]研究了復雜傳熱規律下內可逆正反向兩熱源循環的生態學最優性能，本文將進一步研究線性唯象傳熱時不可逆卡諾制冷機生態學最優性能，研究結果對實際制冷機的設計工作具有理論指導意義。

1 制冷機模型

如圖1所示的制冷機滿足以下四個條件:

圖1 不可逆制冷機模型

(1)制冷機中工質作定常態連續流動，循環由兩個等溫和兩個絕熱過程組成。

(2)由于熱阻的存在，工質的吸、放熱溫度TLC，THC，不同于低，高溫熱源溫度TL，TH且有

傳熱規律滿足線性唯象傳熱規律Q∝Δ(1/T)。

換熱器換熱面積有限，高、低溫側換熱器面積F1與F2之和為常數F，即有

(3)兩熱源間存在常數為q=Ci(1/TL－1/TH)的熱漏流率(Ci為熱漏系數)。設工質通過高、低溫側換熱器交換吸放熱流率為QHC、QLC，則實際高溫熱源的供熱率QH和低溫熱源的吸熱率QL分別為

(4)除熱阻、熱漏外，制冷機中還存在其它的不可逆性。因此，在相同的制冷率R下，進行這樣的循環時，不可逆制冷機要比僅有熱阻時的制冷機多輸入一部分功率，所以在相同的R下，高溫側換熱器中工質的放熱率QHC就大于僅存在熱阻損失時的放熱率QHC，引進不可逆因子Φ

表示制冷機中除熱阻和熱漏外的其它不可逆性，如摩擦、渦流和非平衡等各種不可逆效應，顯然，在以上模型中，若q=0且Φ=1，即為內可逆模型;若q＞0但Φ=1，即為熱阻加熱漏模型;若q=0但Φ＞1即為熱阻加內不可逆模型。

2 最優特性關系

根據以上模型，由熱力學第二定律，當循環中僅有熱阻時，有

由(9)和(10)式有

由熱力學第一定律，

制冷系數

制冷率

設傳熱服從線性唯象定律:

α、β分別為工質與熱源間的傳熱系數(α、β均小于零)，F1、F2為高、低側換熱器的傳熱面積，定義面積比f和工質溫比x，

由(7)～(17)知

由(12)～(19)式可得

式中 aL=2T0/TL－1，aH=2T0/TH－1。

可見E、σ、R、ε均為面積比f和溫比x的函數，由dE/df=0、dη/df=0或dR/df=0均可得當f=f0=(Φβ/α)0.5/x時，有一定溫比x下制冷機的最佳制冷率、最佳制冷系數、最佳熵產率和最佳E目標值:

式中，B= βF/[1+(βΦ)0.5/xα0.5]2。

3 討論

(1)若q=0且Φ=1，即為內可逆模型;則(24)～(27)式變為

式中 B1= βF/[1+(β/α)0.5/x]2。

(2)若q=0但Φ＞1，即為熱阻加內不可逆模型，則(24)～(27)式變為:

(3)若q＞0但Φ=1，即為熱阻加熱漏模型，則(24)～(27)式變為:

(4)由(27)式可知，最佳E目標值與x之間有極值關系，由dE/dx=0知，當x=xE，

(A=(βΦ/α)0.5)時，E 有最大值 Emax，

將此xE代入(23)－(25)式可得對應于最大E目標值時的制冷率RE、制冷系數εE和熵產率σE。由dσ/dx=0 可知，當 x=xσ，

時σ取最小值σmax，

將此xσ代入(23)、(24)及(26)式可得對應于最小熵產率時的制冷率Rσ、制冷系數εσE目標值Eσ。

同理可求得 xE及相應的 εmax、Rε、σε和Eε，這里不作贅述。

圖2 不同參數下E與ε的關系

圖3 不同參數下E與R的關系

取 α=β，αF=400 000kW/K，TH=300K，TL=260K，T0=290K，Φ =1.0～1.2，Ci=0～400kW/K 進行計算。圖2、圖3分別給出了不同Φ及Ci下制冷機生態學E目標值與制冷系數、制冷率的關系曲線。圖2表明:內可逆制冷機生態學E目標值隨制冷系數的變化呈拋物線型，隨著不可逆因子的增加，E目標值明顯下降，但曲線的拋物線形狀不變，除了最大目標點之外，對應于某一E目標值，有兩個制冷系數ε值，但熱漏對生態學E目標值的影響則從根本上把曲線的拋物線形狀改變為扭葉型，可見熱漏q與不可逆因子Φ對制冷機生態學E目標值的影響效果截然不同。由圖3可知，生態學E目標值隨制冷率的變化呈拋物線型，除了最大E目標點之外，對應于某一E目標值，制冷率R有兩個值，我們應使制冷機工作于R較大的狀態點，E目標值隨著不可逆因子的增加而下降，熱漏對制冷機的影響也呈類似變化。

圖4 生態學目標、熵產率輸出及制冷率與制冷系數的關系

4 結論

本文用生態學優化方法，綜合考慮熱阻、熱漏及其它內不可逆性對線性唯象傳熱規律下不可逆卡諾制冷機性能的影響，導出了Q∝Δ(1/T)時不可逆卡諾制冷機機的生態學最優性能，并由數值算例對不同損失情況下的制冷機性能變化規律進行了比較，得到的一系列關系曲線有助于更深入了解熱阻、熱漏、內不可逆性對制冷機性能的影響規律，本文結果給制冷機設計提供了一個最優的折衷備選方案。

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